A juzgar por la popularidad de la solicitud "Teorema de Fermat: una prueba breve", este problema matemático es realmente de interés para muchos. Este teorema fue establecido por primera vez por Pierre de Fermat en 1637 en el borde de una copia de Aritmética, donde afirmó que tenía una solución que era demasiado grande para caber en el borde.
La primera prueba exitosa se publicó en 1995 - fue la prueba completa del Teorema de Fermat por Andrew Wiles. Se ha descrito como un "progreso asombroso" y llevó a Wiles a recibir el Premio Abel en 2016. Aunque se describió de manera relativamente breve, la prueba del teorema de Fermat también demostró gran parte del teorema de modularidad y abrió nuevos enfoques para muchos otros problemas y métodos efectivos para levantar la modularidad. Estos logros han avanzado las matemáticas 100 años en el futuro. La demostración del pequeño teorema de Fermat hoy no eses algo fuera de lo común.
El problema sin resolver estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la búsqueda de una prueba del teorema de modularidad en el siglo XX. Este es uno de los teoremas más notables en la historia de las matemáticas, y hasta la prueba de división completa del Último Teorema de Fermat, estuvo en el Libro Guinness de los Récords como "el problema matemático más difícil", una de cuyas características es que tiene el mayor número de pruebas fallidas.
Antecedentes históricos
Ecuación de Pitágoras x2 + y2=z2 tiene un número infinito de soluciones enteras para x, y y z. Estas soluciones se conocen como trinidades pitagóricas. Alrededor de 1637, Fermat escribió en el borde del libro que la ecuación más general a + b =cno tiene soluciones en números naturales si n es un número entero mayor que 2. Aunque el propio Fermat afirmó tener una solución a su problema, no dejó detalles sobre su demostración. La demostración elemental del teorema de Fermat, reivindicada por su creador, fue más bien su jactanciosa invención. El libro del gran matemático francés fue descubierto 30 años después de su muerte. Esta ecuación, llamada Último Teorema de Fermat, permaneció sin resolver en matemáticas durante tres siglos y medio.
El teorema finalmente se convirtió en uno de los problemas sin resolver más notables de las matemáticas. Los intentos de probar esto provocaron un desarrollo significativo de la teoría de números, y con el pasajetiempo, el último teorema de Fermat se hizo conocido como un problema sin resolver en matemáticas.
Una breve historia de la evidencia
Si n=4, como lo demuestra el mismo Fermat, basta para probar el teorema para índices n que son números primos. Durante los siguientes dos siglos (1637-1839) la conjetura solo se demostró para los números primos 3, 5 y 7, aunque Sophie Germain actualizó y demostró un enfoque que se aplicaba a toda la clase de números primos. A mediados del siglo XIX, Ernst Kummer amplió esto y demostró el teorema para todos los números primos regulares, mediante el cual los números primos irregulares se analizaban individualmente. Con base en el trabajo de Kummer y utilizando una investigación informática sofisticada, otros matemáticos pudieron extender la solución del teorema, con el objetivo de cubrir todos los exponentes principales hasta cuatro millones, pero la prueba de todos los exponentes aún no estaba disponible (lo que significa que los matemáticos normalmente se considera que la solución del teorema es imposible, extremadamente difícil o inalcanzable con los conocimientos actuales).
El trabajo de Shimura y Taniyama
En 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama sospecharon que había una conexión entre las curvas elípticas y las formas modulares, dos ramas muy diferentes de las matemáticas. Conocido en ese momento como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weyl y (en última instancia) como el teorema de la modularidad, existía por sí solo, sin conexión aparente con el último teorema de Fermat. En sí mismo fue ampliamente considerado como un importante teorema matemático, pero se consideró (como el teorema de Fermat) imposible de probar. A esoAl mismo tiempo, la demostración del último teorema de Fermat (dividiendo y aplicando fórmulas matemáticas complejas) se llevó a cabo solo medio siglo después.
En 1984, Gerhard Frey notó una conexión obvia entre estos dos problemas previamente no relacionados y sin resolver. Una confirmación completa de que los dos teoremas estaban estrechamente relacionados fue publicada en 1986 por Ken Ribet, quien se basó en una prueba parcial de Jean-Pierre Serra, quien demostró todo menos una parte, conocida como la "hipótesis épsilon". En pocas palabras, estos trabajos de Frey, Serra y Ribe mostraron que si el teorema de la modularidad podía demostrarse, al menos para una clase semiestable de curvas elípticas, tarde o temprano también se descubriría la demostración del último teorema de Fermat. Cualquier solución que pueda contradecir el último teorema de Fermat también puede usarse para contradecir el teorema de modularidad. Por lo tanto, si el teorema de la modularidad resulta ser cierto, entonces, por definición, no puede haber una solución que contradiga el último teorema de Fermat, lo que significa que debería haberse demostrado pronto.
Aunque ambos teoremas eran problemas difíciles en matemáticas, considerados irresolubles, el trabajo de los dos japoneses fue la primera sugerencia de cómo el último teorema de Fermat podría extenderse y probarse para todos los números, no solo para algunos. Importante para los investigadores que eligieron el tema de estudio fue el hecho de que, en contraste con el último teorema de Fermat, el teorema de modularidad fue la principal área activa de investigación, para la cualse desarrollaron pruebas, y no solo rarezas históricas, por lo que el tiempo dedicado a su trabajo podría justificarse desde un punto de vista profesional. Sin embargo, el consenso general fue que resolver la conjetura de Taniyama-Shimura resultó ser inapropiado.
El último teorema de Farm: prueba de Wiles
Después de enterarse de que Ribet había demostrado que la teoría de Frey era correcta, el matemático inglés Andrew Wiles, que ha estado interesado en el último teorema de Fermat desde la infancia y tiene experiencia trabajando con curvas elípticas y dominios adyacentes, decidió probar la teoría de Taniyama-Shimura La conjetura como forma de demostrar el último teorema de Fermat. En 1993, seis años después de anunciar su objetivo, mientras trabajaba en secreto en el problema de resolver el teorema, Wiles logró probar una conjetura relacionada, que a su vez le ayudaría a probar el último teorema de Fermat. El documento de Wiles era enorme en tamaño y alcance.
Se descubrió una falla en una parte de su artículo original durante la revisión por pares y requirió otro año de colaboración con Richard Taylor para resolver el teorema de manera conjunta. Como resultado, la demostración final de Wiles del último teorema de Fermat no se hizo esperar. En 1995, se publicó en una escala mucho menor que el trabajo matemático anterior de Wiles, lo que ilustra que no se equivocó en sus conclusiones anteriores sobre la posibilidad de probar el teorema. El logro de Wiles fue ampliamente publicitado en la prensa popular y popularizado en libros y programas de televisión. Las partes restantes de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, que ahora han sido probadas yconocido como el teorema de la modularidad, fueron probados posteriormente por otros matemáticos que se basaron en el trabajo de Wiles entre 1996 y 2001. Por su logro, Wiles ha sido honrado y recibido numerosos premios, incluido el Premio Abel 2016.
La prueba de Wiles del último teorema de Fermat es un caso especial de resolución del teorema de modularidad para curvas elípticas. Sin embargo, este es el caso más famoso de una operación matemática a gran escala. Además de resolver el teorema de Ribe, el matemático británico también obtuvo una demostración del último teorema de Fermat. Los matemáticos modernos consideraban casi universalmente que el último teorema de Fermat y el teorema de la modularidad no eran demostrables, pero Andrew Wiles pudo demostrarle al mundo científico que incluso los expertos pueden estar equivocados.
Wyles anunció por primera vez su descubrimiento el miércoles 23 de junio de 1993 en una conferencia en Cambridge titulada "Formas modulares, curvas elípticas y representaciones de Galois". Sin embargo, en septiembre de 1993 se descubrió que sus cálculos contenían un error. Un año después, el 19 de septiembre de 1994, en lo que él llamaría "el momento más importante de su vida laboral", Wiles se topó con una revelación que le permitió fijar la solución del problema hasta el punto en que pudiera satisfacer las necesidades matemáticas. comunidad.
Descripción del trabajo
La prueba del teorema de Fermat por Andrew Wiles utiliza muchos métodos de la geometría algebraica y la teoría de números y tiene muchas ramificaciones en estosáreas de las matemáticas. También utiliza las construcciones estándar de la geometría algebraica moderna, como la categoría de esquemas y la teoría de Iwasawa, así como otros métodos del siglo XX que no estaban al alcance de Pierre de Fermat.
Los dos artículos que contienen la evidencia tienen 129 páginas y fueron escritos a lo largo de siete años. John Coates describió este descubrimiento como uno de los mayores logros de la teoría de números, y John Conway lo llamó el mayor logro matemático del siglo XX. Wiles, para probar el último teorema de Fermat demostrando el teorema de modularidad para el caso especial de curvas elípticas semiestables, desarrolló poderosos métodos para elevar la modularidad y abrió nuevos enfoques para muchos otros problemas. Por resolver el último teorema de Fermat, fue nombrado caballero y recibió otros premios. Cuando se supo que Wiles había ganado el Premio Abel, la Academia de Ciencias de Noruega describió su logro como "una demostración deliciosa y elemental del último teorema de Fermat".
Cómo fue
Una de las personas que revisó el manuscrito original de Wiles con la solución al teorema fue Nick Katz. En el curso de su revisión, le hizo al británico una serie de preguntas aclaratorias que llevaron a Wiles a admitir que su trabajo claramente contiene un vacío. En una parte crítica de la prueba, se cometió un error que dio una estimación del orden de un grupo en particular: el sistema de Euler utilizado para extender el método de Kolyvagin y Flach estaba incompleto. El error, sin embargo, no hizo que su trabajo fuera inútil: cada pieza del trabajo de Wiles fue muy significativa e innovadora en sí misma, al igual que muchosdesarrollos y métodos que creó en el curso de su trabajo y que afectaron solo una parte del manuscrito. Sin embargo, este trabajo original, publicado en 1993, no tenía realmente una demostración del último teorema de Fermat.
Wyles pasó casi un año tratando de redescubrir una solución al teorema, primero solo y luego en colaboración con su antiguo alumno Richard Taylor, pero todo parecía ser en vano. A fines de 1993, habían circulado rumores de que la prueba de Wiles había fallado en la prueba, pero no se sabía qué tan grave era esa falla. Los matemáticos comenzaron a presionar a Wiles para que revelara los detalles de su trabajo, ya sea que se hiciera o no, para que la comunidad más amplia de matemáticos pudiera explorar y usar todo lo que él pudiera lograr. En lugar de corregir rápidamente su error, Wiles solo descubrió aspectos difíciles adicionales en la demostración del último teorema de Fermat y finalmente se dio cuenta de lo difícil que era.
Wyles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994, estuvo a punto de darse por vencido y rendirse, y estaba casi resignado a fallar. Estaba listo para publicar su trabajo inacabado para que otros pudieran construir sobre él y encontrar dónde estaba equivocado. El matemático inglés decidió darse una última oportunidad y analizó el teorema por última vez para tratar de entender las principales razones por las que su enfoque no funcionaba, cuando de repente se dio cuenta de que el enfoque de Kolyvagin-Flac no funcionaría hasta quetambién incluirá la teoría de Iwasawa en el proceso de prueba, haciendo que funcione.
El 6 de octubre, Wiles pidió a tres colegas (incluido F altins) que revisaran su nuevo trabajo y el 24 de octubre de 1994 envió dos manuscritos: "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" y "Propiedades teóricas de la anillo de algunas álgebras de Hecke", el segundo de los cuales Wiles coescribió con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones para justificar el paso corregido en el artículo principal.
Estos dos artículos fueron revisados y finalmente publicados como una edición de texto completo en Annals of Mathematics de mayo de 1995. Los nuevos cálculos de Andrew fueron ampliamente analizados y eventualmente aceptados por la comunidad científica. En estos documentos, se estableció el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de su creación.
Historia del Gran Problema
Resolver este teorema ha sido considerado el mayor problema de las matemáticas durante muchos siglos. En 1816 y en 1850 la Academia Francesa de Ciencias ofreció un premio por una demostración general del Último Teorema de Fermat. En 1857, la Academia otorgó 3.000 francos y una medalla de oro a Kummer por sus investigaciones sobre los números ideales, aunque no se presentó al premio. Otro premio le fue ofrecido en 1883 por la Academia de Bruselas.
Premio Wolfskell
En 1908, el industrial y matemático aficionado alemán Paul Wolfskel legó 100.000 marcos de oro (una gran cantidad para la época)Academia de Ciencias de Göttingen, para que este dinero se convierta en premio a la demostración completa del último teorema de Fermat. El 27 de junio de 1908, la Academia publicó nueve reglas de premios. Entre otras cosas, estas reglas requerían que la prueba se publicara en una revista revisada por pares. El premio se otorgaría solo dos años después de la publicación. La competencia debía expirar el 13 de septiembre de 2007, aproximadamente un siglo después de que comenzó. El 27 de junio de 1997, Wiles recibió el premio en metálico de Wolfschel y luego otros 50.000 dólares. En marzo de 2016, recibió 600 000 € del gobierno noruego como parte del Premio Abel por "una demostración asombrosa del último teorema de Fermat con la ayuda de la conjetura de modularidad para curvas elípticas semiestables, que abre una nueva era en la teoría de números". Fue el triunfo mundial del humilde inglés.
Antes de la prueba de Wiles, el teorema de Fermat, como se mencionó anteriormente, se consideró absolutamente irresoluble durante siglos. Se presentaron miles de pruebas incorrectas en varios momentos al comité de Wolfskell, lo que equivale a aproximadamente 10 pies (3 metros) de correspondencia. Solo en el primer año de existencia del premio (1907-1908) se presentaron 621 solicitudes que pretendían resolver el teorema, aunque para la década de 1970 su número había disminuido a unas 3-4 solicitudes por mes. Según F. Schlichting, revisor de Wolfschel, la mayor parte de la evidencia se basó en métodos elementales que se enseñan en las escuelas y, a menudo, se presentaba como "personas con formación técnica pero carreras sin éxito". Según el historiador de las matemáticas Howard Aves, la últimaEl teorema de Fermat ha establecido una especie de récord: este es el teorema con el mayor número de demostraciones incorrectas.
Los laureles de la granja fueron para los japoneses
Como se mencionó anteriormente, alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama descubrieron una posible conexión entre dos ramas aparentemente completamente diferentes de las matemáticas: las curvas elípticas y las formas modulares. El teorema de modularidad resultante (entonces conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) establece que cada curva elíptica es modular, lo que significa que puede asociarse con una forma modular única.
La teoría se descartó inicialmente como improbable o altamente especulativa, pero se tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia para respaldar las conclusiones japonesas. Como resultado, la hipótesis a menudo se conoce como la hipótesis de Taniyama-Shimura-Weil. Se convirtió en parte del programa Langlands, que es una lista de hipótesis importantes que deben probarse en el futuro.
Incluso después de un escrutinio serio, los matemáticos modernos han reconocido que la conjetura es extremadamente difícil, o tal vez inaccesible para la demostración. Ahora este teorema en particular está esperando a su Andrew Wiles, quien podría sorprender al mundo entero con su solución.
Teorema de Fermat: prueba de Perelman
A pesar del mito popular, el matemático ruso Grigory Perelman, a pesar de su genialidad, no tiene nada que ver con el teorema de Fermat. Lo que, sin embargo, no le resta valor.numerosas contribuciones a la comunidad científica.
