Los poliedros atrajeron la atención de matemáticos y científicos incluso en la antigüedad. Los egipcios construyeron las pirámides. Y los griegos estudiaron "poliedros regulares". A veces se les llama sólidos platónicos. Los "poliedros tradicionales" consisten en caras planas, aristas rectas y vértices. Pero la pregunta principal siempre ha sido qué reglas deben cumplir estas partes separadas, así como qué condiciones globales adicionales deben cumplirse para que un objeto califique como poliedro. La respuesta a esta pregunta se presentará en el artículo.
Problemas en la definición
¿En qué consiste esta figura? Un poliedro es una forma sólida cerrada que tiene caras planas y aristas rectas. Por lo tanto, el primer problema de su definición puede llamarse precisamente los lados de la figura. No todas las caras que se encuentran en planos son siempre un signo de un poliedro. Tomemos como ejemplo el "cilindro triangular". ¿En qué consiste? Parte de su superficie tres en paresLos planos verticales que se cortan no pueden considerarse polígonos. La razón es que no tiene vértices. La superficie de tal figura se forma sobre la base de tres rayos que se encuentran en un punto.
Un problema más: los aviones. En el caso del "cilindro triangular" se encuentra en sus partes ilimitadas. Una figura se considera convexa si el segmento de línea que conecta dos puntos cualesquiera del conjunto también se encuentra en ella. Presentemos una de sus propiedades importantes. Para conjuntos convexos, es que el conjunto de puntos comunes al conjunto es el mismo. Hay otro tipo de figuras. Estos son poliedros 2D no convexos que tienen muescas o agujeros.
Formas que no son poliedros
Un conjunto plano de puntos puede ser diferente (por ejemplo, no convexo) y no satisfacer la definición habitual de un poliedro. Incluso a través de él, está limitado por secciones de líneas. Las líneas de un poliedro convexo consisten en figuras convexas. Sin embargo, este enfoque de la definición excluye una figura que va al infinito. Un ejemplo de esto serían tres rayos que no se encuentran en el mismo punto. Pero al mismo tiempo, están conectados a los vértices de otra figura. Tradicionalmente, era importante para un poliedro que constara de superficies planas. Pero con el tiempo, el concepto se expandió, lo que condujo a una mejora significativa en la comprensión de la clase original de poliedros "más estrecha", así como a la aparición de una definición nueva y más amplia.
Correcto
Introduzcamos una definición más. Un poliedro regular es aquel en el que cada cara es un regular congruentepolígonos convexos, y todos los vértices son "iguales". Esto significa que cada vértice tiene el mismo número de polígonos regulares. Utilice esta definición. Entonces puedes encontrar cinco poliedros regulares.
Primeros pasos del teorema de Euler para poliedros
Los griegos conocían el polígono, que hoy se llama pentagrama. Este polígono podría llamarse regular porque todos sus lados tienen la misma longitud. También hay otra nota importante. El ángulo entre dos lados consecutivos es siempre el mismo. Sin embargo, cuando se dibuja en un plano, no define un conjunto convexo y los lados del poliedro se cortan entre sí. Sin embargo, esto no siempre fue así. Los matemáticos han considerado durante mucho tiempo la idea de poliedros regulares "no convexos". El pentagrama fue uno de ellos. También se permitieron los "polígonos de estrella". Se han descubierto varios ejemplos nuevos de "poliedros regulares". Ahora se llaman poliedros de Kepler-Poinsot. Posteriormente, G. S. M. Coxeter y Branko Grünbaum ampliaron las reglas y descubrieron otros "poliedros regulares".
Fórmula poliédrica
El estudio sistemático de estas figuras comenzó relativamente temprano en la historia de las matemáticas. Leonhard Euler fue el primero en notar que una fórmula que relaciona el número de sus vértices, caras y aristas es válida para poliedros 3D convexos.
Se ve así:
V + F - E=2, donde V es el número de vértices poliédricos, F es el número de aristas del poliedro y E es el número de caras.
Leonhard Euler es suizomatemático que es considerado uno de los científicos más grandes y productivos de todos los tiempos. Ha estado ciego la mayor parte de su vida, pero la pérdida de la vista le dio una razón para volverse aún más productivo. Hay varias fórmulas que llevan su nombre, y la que acabamos de ver a veces se llama fórmula de poliedros de Euler.
Hay una aclaración. La fórmula de Euler, sin embargo, solo funciona para poliedros que siguen ciertas reglas. Se encuentran en el hecho de que la forma no debe tener agujeros. Y es inaceptable que se perjudique. Un poliedro tampoco puede estar formado por dos partes unidas, como dos cubos con el mismo vértice. Euler mencionó el resultado de su investigación en una carta a Christian Goldbach en 1750. Más tarde, publicó dos artículos en los que describía cómo trató de encontrar pruebas de su nuevo descubrimiento. De hecho, hay formas que dan una respuesta diferente a V + F - E. La respuesta a la suma F + V - E=X se llama característica de Euler. Ella tiene otro aspecto. Algunas formas incluso pueden tener una característica de Euler que es negativa
Teoría de grafos
A veces se afirma que Descartes derivó el teorema de Euler antes. Aunque este científico descubrió hechos sobre poliedros tridimensionales que le permitirían derivar la fórmula deseada, no dio este paso adicional. Hoy, a Euler se le atribuye el "padre" de la teoría de grafos. Resolvió el problema del puente de Konigsberg usando sus ideas. Pero el científico no miró el poliedro en contexto. Teoría de grafos. Euler trató de dar una prueba de una fórmula basada en la descomposición de un poliedro en partes más simples. Este intento no cumple con los estándares modernos de prueba. Aunque Euler no dio la primera justificación correcta de su fórmula, no se pueden probar conjeturas que no se hayan hecho. Sin embargo, los resultados, que fueron fundamentados posteriormente, permiten utilizar el teorema de Euler también en la actualidad. La primera demostración la obtuvo el matemático Adrian Marie Legendre.
Prueba de la fórmula de Euler
Euler primero formuló la fórmula poliédrica como un teorema sobre poliedros. Hoy en día, a menudo se trata en el contexto más general de grafos conectados. Por ejemplo, como estructuras que consisten en puntos y segmentos de línea que los conectan, que están en la misma parte. Augustin Louis Cauchy fue la primera persona en encontrar esta importante conexión. Sirvió como prueba del teorema de Euler. Él, en esencia, notó que el gráfico de un poliedro convexo (o lo que hoy se llama así) es topológicamente homeomorfo a una esfera, tiene un gráfico conexo plano. ¿Lo que es? Un grafo plano es aquel que ha sido dibujado en el plano de tal manera que sus aristas se encuentran o intersecan solo en un vértice. Aquí es donde se encontró la conexión entre el teorema de Euler y los gráficos.
Una indicación de la importancia del resultado es que David Epstein pudo recopilar diecisiete pruebas diferentes. Hay muchas formas de justificar la fórmula poliédrica de Euler. En cierto sentido, las pruebas más obvias son métodos que utilizan la inducción matemática. El resultado se puede probardibujándolo a lo largo del número de aristas, caras o vértices del gráfico.
Prueba de Rademacher y Toeplitz
Particularmente atractiva es la siguiente prueba de Rademacher y Toeplitz, basada en el enfoque de Von Staudt. Para justificar el teorema de Euler, supongamos que G es un grafo conexo incrustado en un plano. Si tiene esquemas, es posible excluir una arista de cada uno de ellos de forma que se conserve la propiedad de que permanece conectado. Existe una correspondencia biunívoca entre las partes eliminadas para ir al grafo conexo sin cierre y las que no son una arista infinita. Esta investigación condujo a la clasificación de las "superficies orientables" en términos de la denominada característica de Euler.
Curva Jordan. Teorema
La tesis principal, que se utiliza directa o indirectamente en la demostración de la fórmula de los poliedros del teorema de Euler para grafos, depende de la curva de Jordan. Esta idea está relacionada con la generalización. Dice que toda curva cerrada simple divide el plano en tres conjuntos: puntos sobre él, dentro y fuera de él. A medida que se desarrolló el interés por la fórmula poliédrica de Euler en el siglo XIX, se hicieron muchos intentos para generalizarla. Esta investigación sentó las bases para el desarrollo de la topología algebraica y la conectó con el álgebra y la teoría de números.
Grupo Moebius
Pronto se descubrió que algunas superficies solo se podían "orientar" de manera consistente localmente, no globalmente. El conocido grupo de Möbius sirve como ilustración de talsuperficies. Fue descubierto algo antes por Johann Listing. Este concepto incluye la noción de género de un grafo: el menor número de descriptores g. Debe agregarse a la superficie de la esfera y puede incrustarse en la superficie extendida de tal manera que los bordes solo se unan en los vértices. Resulta que cualquier superficie orientable en el espacio euclidiano se puede considerar como una esfera con un cierto número de asas.
Diagrama de Euler
El científico hizo otro descubrimiento, que todavía se usa hoy. Este llamado diagrama de Euler es una representación gráfica de círculos, generalmente utilizada para ilustrar relaciones entre conjuntos o grupos. Los gráficos suelen incluir colores que se mezclan en áreas donde los círculos se superponen. Los conjuntos se representan precisamente mediante círculos u óvalos, aunque también se pueden utilizar otras figuras para ellos. Una inclusión se representa mediante una superposición de elipses llamadas círculos de Euler.
Representan conjuntos y subconjuntos. La excepción son los círculos que no se superponen. Los diagramas de Euler están estrechamente relacionados con otras representaciones gráficas. A menudo se confunden. Esta representación gráfica se llama diagramas de Venn. Dependiendo de los conjuntos en cuestión, ambas versiones pueden tener el mismo aspecto. Sin embargo, en los diagramas de Venn, los círculos superpuestos no indican necesariamente similitudes entre conjuntos, sino solo una posible relación lógica si sus etiquetas no están encírculo de intersección. Ambas opciones fueron adoptadas para la enseñanza de la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático de la década de 1960.
Teoremas de Fermat y Euler
Euler dejó una huella notable en la ciencia matemática. La teoría algebraica de números se enriqueció con un teorema que lleva su nombre. También es consecuencia de otro descubrimiento importante. Este es el llamado teorema algebraico general de Lagrange. El nombre de Euler también está asociado con el pequeño teorema de Fermat. Dice que si p es un número primo y a es un número entero no divisible por p, entonces:
ap-1 - 1 es divisible por p.
A veces, el mismo descubrimiento tiene un nombre diferente, que se encuentra con mayor frecuencia en la literatura extranjera. Suena como el teorema de Navidad de Fermat. Es que el descubrimiento se conoció gracias a una carta de un científico enviada la víspera del 25 de diciembre de 1640. Pero la declaración misma se ha encontrado antes. Fue utilizado por otro científico llamado Albert Girard. Fermat solo trató de probar su teoría. El autor insinúa en otra carta que se inspiró en el método del descenso infinito. Pero no aportó ninguna prueba. Más tarde, Eider también recurrió al mismo método. Y después de él, muchos otros científicos famosos, incluidos Lagrange, Gauss y Minkosky.
Características de las identidades
El pequeño teorema de Fermat también se llama un caso especial de un teorema de la teoría de números debido a Euler. En esta teoría, la función de identidad de Euler cuenta los números enteros positivos hasta un número entero dado n. son coprimos con respecto anorte. El teorema de Euler en teoría de números se escribe con la letra griega φ y se parece a φ(n). Puede definirse más formalmente como el número de enteros k en el rango 1 ≦ k ≦ n para los cuales el máximo común divisor mcd(n, k) es 1. La notación φ(n) también puede denominarse función phi de Euler. Los enteros k de esta forma a veces se denominan totales. En el corazón de la teoría de números, la función identidad de Euler es multiplicativa, lo que significa que si dos números m y n son coprimos, entonces φ(mn)=φ(m)φ(n). También juega un papel clave en la definición del sistema de encriptación RSA.
La función de Euler se introdujo en 1763. Sin embargo, en ese momento el matemático no eligió ningún símbolo específico para ella. En una publicación de 1784, Euler estudió esta función con más detalle y eligió la letra griega π para representarla. James Sylvester acuñó el término "total" para esta característica. Por lo tanto, también se conoce como total de Euler. El total φ(n) de un entero positivo n mayor que 1 es el número de enteros positivos menores que n que son primos relativos hasta n. φ(1) se define como 1. La función de Euler o función phi(φ) es una función teórica de números muy importante profundamente relacionada con los números primos y el llamado orden de los números enteros.
