Los poliedros no solo ocupan un lugar destacado en la geometría, sino que también ocurren en la vida diaria de cada persona. Sin mencionar los artículos para el hogar creados artificialmente en forma de varios polígonos, comenzando con una caja de cerillas y terminando con elementos arquitectónicos, cristales en forma de cubo (sal), prisma (cristal), pirámide (scheelita), octaedro (diamante), etc. e.
El concepto de poliedro, tipos de poliedros en geometría
La geometría como ciencia contiene una sección de estereometría que estudia las características y propiedades de las figuras tridimensionales. Los cuerpos geométricos, cuyos lados en el espacio tridimensional están formados por planos limitados (caras), se denominan "poliedros". Los tipos de poliedros incluyen más de una docena de representantes, que difieren en el número y la forma de las caras.
Sin embargo, todos los poliedros tienen propiedades comunes:
- Todos tienen 3 componentes esenciales: rostro(superficie de un polígono), vértice (esquinas formadas en la unión de caras), arista (lado de una figura o segmento formado en la unión de dos caras).
- Cada arista de un polígono conecta dos y sólo dos caras que son adyacentes entre sí.
- Convexidad significa que el cuerpo está completamente ubicado solo en un lado del plano en el que se encuentra una de las caras. La regla se aplica a todas las caras del poliedro. Tales figuras geométricas en estereometría se llaman poliedros convexos. La excepción son los poliedros en forma de estrella, que son derivados de sólidos geométricos poliédricos regulares.
Los poliedros se pueden dividir condicionalmente en:
- Tipos de poliedros convexos, que consisten en las siguientes clases: ordinarios o clásicos (prisma, pirámide, paralelepípedo), regulares (también llamados sólidos platónicos), semirregulares (segundo nombre: sólidos de Arquímedes).
- Poliedros no convexos (en forma de estrella).
Prisma y sus propiedades
La estereometría como rama de la geometría estudia las propiedades de las figuras tridimensionales, tipos de poliedros (un prisma es uno de ellos). Un prisma es un cuerpo geométrico que necesariamente tiene dos caras absolutamente idénticas (también llamadas bases) que se encuentran en planos paralelos, y el n-ésimo número de caras laterales en forma de paralelogramos. A su vez, el prisma también tiene varias variedades, incluidos tipos de poliedros como:
- Paralelepípedo - formado si la base es un paralelogramo -polígono con 2 pares de ángulos opuestos iguales y 2 pares de lados opuestos congruentes.
- Un prisma recto tiene aristas perpendiculares a la base.
- El prisma inclinado se caracteriza por la presencia de ángulos no rectos (distintos de 90) entre las caras y la base.
- Un prisma regular se caracteriza por bases en forma de polígono regular con caras laterales iguales.
Propiedades básicas de un prisma:
- Bases congruentes.
- Todos los bordes del prisma son iguales y paralelos entre sí.
- Todas las caras laterales tienen forma de paralelogramo.
Pirámide
La pirámide es un cuerpo geométrico, que consta de una base y un número n-ésimo de caras triangulares, conectadas en un punto: la parte superior. Cabe señalar que si las caras laterales de la pirámide están necesariamente representadas por triángulos, entonces la base puede ser un polígono triangular, un cuadrángulo o un pentágono, y así hasta el infinito. En este caso, el nombre de la pirámide corresponderá al polígono de la base. Por ejemplo, si un triángulo está en la base de una pirámide, es una pirámide triangular, un cuadrilátero es un cuadrangular, etc.
Las pirámides son poliedros en forma de cono. Los tipos de poliedros de este grupo, además de los enumerados anteriormente, también incluyen los siguientes representantes:
- Una pirámide regular tiene un polígono regular en su base y su altura se proyecta hacia el centroun círculo inscrito en la base o circunscrito alrededor de ella.
- Una pirámide rectangular se forma cuando uno de los lados se cruza con la base en ángulo recto. En este caso, también es justo llamar a este borde la altura de la pirámide.
Propiedades de la pirámide:
- Si todas las aristas laterales de la pirámide son congruentes (de la misma altura), entonces todas se cruzan con la base en el mismo ángulo, y alrededor de la base puedes dibujar un círculo con un centro que coincida con la proyección de la cima de la pirámide.
- Si la base de la pirámide es un polígono regular, entonces todos los lados son congruentes y las caras son triángulos isósceles.
Poliedro regular: tipos y propiedades de los poliedros
En estereometría, los cuerpos geométricos con caras absolutamente iguales, en cuyos vértices están conectados el mismo número de aristas, ocupan un lugar especial. Estos sólidos se denominan sólidos platónicos o poliedros regulares. Los tipos de poliedros con tales propiedades tienen solo cinco formas:
- Tetraedro.
- Hexaedro.
- Octaedro.
- Dodecaedro.
- Icosaedro.
Los poliedros regulares deben su nombre al antiguo filósofo griego Platón, quien describió estos cuerpos geométricos en sus escritos y los relacionó con los elementos naturales: tierra, agua, fuego, aire. A la quinta figura se le otorgó la similitud con la estructura del universo. En su opinión, los átomos de los elementos naturales se asemejan en forma a los tipos de poliedros regulares. Debido a su propiedad más emocionante -simetría, estos cuerpos geométricos fueron de gran interés no sólo para los antiguos matemáticos y filósofos, sino también para los arquitectos, artistas y escultores de todos los tiempos. La presencia de solo 5 tipos de poliedros con simetría absoluta fue considerada un descubrimiento fundamental, incluso se les adjudicó una conexión con el principio divino.
El hexaedro y sus propiedades
En forma de hexágono, los sucesores de Platón asumieron una similitud con la estructura de los átomos de la tierra. Por supuesto, en la actualidad, esta hipótesis ha sido completamente refutada, lo que, sin embargo, no impide que las figuras atraigan la mente de personajes famosos con su estética en los tiempos modernos.
En geometría, un hexaedro, también conocido como cubo, se considera un caso especial de un paralelepípedo, que, a su vez, es una especie de prisma. En consecuencia, las propiedades del cubo están relacionadas con las propiedades del prisma, con la única diferencia de que todas las caras y esquinas del cubo son iguales entre sí. Las siguientes propiedades se derivan de esto:
- Todas las aristas del cubo son congruentes y se encuentran en planos paralelos entre sí.
- Todas las caras son cuadrados congruentes (hay 6 en total en un cubo), cualquiera de los cuales puede tomarse como base.
- Todos los ángulos de interfaz son 90.
- Un número igual de aristas emana de cada vértice, a saber, 3.
- El cubo tiene 9 ejes de simetría, que se cortan en el punto de intersección de las diagonales del hexaedro, llamado centro de simetría.
Tetraedro
Un tetraedro es un tetraedro con caras iguales en forma de triángulos, cada uno de cuyos vérticeses el punto de unión de tres caras.
Propiedades del tetraedro regular:
- Todas las caras de un tetraedro son triángulos equiláteros, lo que significa que todas las caras de un tetraedro son congruentes.
- Como la base está representada por una figura geométrica regular, es decir, tiene lados iguales, las caras del tetraedro convergen en el mismo ángulo, es decir, todos los ángulos son iguales.
- La suma de los ángulos planos en cada uno de los vértices es 180, dado que todos los ángulos son iguales, entonces cualquier ángulo de un tetraedro regular es 60.
- Cada uno de los vértices se proyecta al punto de intersección de las alturas de la cara opuesta (ortocentro).
El octaedro y sus propiedades
Al describir los tipos de poliedros regulares, uno no puede dejar de notar un objeto como un octaedro, que puede representarse visualmente como dos pirámides regulares cuadrangulares unidas por bases.
Propiedades del octaedro:
- El mismo nombre de un cuerpo geométrico sugiere el número de sus caras. El octaedro está formado por 8 triángulos equiláteros congruentes, en cada uno de cuyos vértices confluye igual número de caras, a saber 4.
- Dado que todas las caras de un octaedro son iguales, sus ángulos de interfaz también son iguales, cada uno de los cuales es igual a 60, y la suma de los ángulos planos de cualquiera de los vértices es, por lo tanto, 240.
Dodecaedro
Si imaginamos que todas las caras de un cuerpo geométrico son un pentágono regular, entonces obtenemos un dodecaedro -una figura de 12 polígonos.
Propiedades del dodecaedro:
- Tres caras se intersecan en cada vértice.
- Todas las caras son iguales y tienen la misma longitud de arista y la misma área.
- El dodecaedro tiene 15 ejes y planos de simetría, y cualquiera de ellos pasa por el vértice de la cara y el medio de la arista opuesta.
Icosaedro
No menos interesante que el dodecaedro, la figura del icosaedro es un cuerpo geométrico tridimensional con 20 caras iguales. Entre las propiedades de un veinteedro regular, se pueden señalar las siguientes:
- Todas las caras del icosaedro son triángulos isósceles.
- Cinco caras convergen en cada vértice del poliedro, y la suma de los ángulos adyacentes del vértice es 300.
- El icosaedro, como el dodecaedro, tiene 15 ejes y planos de simetría que pasan por los puntos medios de las caras opuestas.
Polígonos semirregulares
Además de los sólidos platónicos, el grupo de los poliedros convexos también incluye los sólidos de Arquímedes, que son poliedros regulares truncados. Los tipos de poliedros de este grupo tienen las siguientes propiedades:
- Los cuerpos geométricos tienen caras iguales por pares de varios tipos, por ejemplo, un tetraedro truncado tiene 8 caras, como un tetraedro regular, pero en el caso de un sólido de Arquímedes, 4 caras serán triangulares y 4 serán hexagonales.
- Todos los ángulos de un vértice son congruentes.
Poliedros estrella
Los representantes de tipos no volumétricos de cuerpos geométricos son poliedros estrellados cuyas caras se cortan entre sí. Se pueden formar fusionando dos sólidos 3D regulares o extendiendo sus caras.
Así, tales poliedros estrellados se conocen como: formas estrelladas del octaedro, dodecaedro, icosaedro, cuboctaedro, icosododecaedro.
