La geometría es hermosa porque, a diferencia del álgebra, donde no siempre está claro lo que piensas y por qué, le da visibilidad al objeto. Este maravilloso mundo de varios cuerpos está decorado con poliedros regulares.
Información general sobre poliedros regulares
Según muchos, los poliedros regulares, o como también se les llama sólidos platónicos, tienen propiedades únicas. Varias hipótesis científicas están asociadas con estos objetos. Cuando comienzas a estudiar estos cuerpos geométricos, comprendes que no sabes prácticamente nada sobre un concepto como los poliedros regulares. La presentación de estos objetos en la escuela no siempre es interesante, por lo que muchos ni siquiera recuerdan cómo se llaman. La mayoría de la gente solo recuerda el cubo. Ninguno de los cuerpos en geometría es tan perfecto como los poliedros regulares. Todos los nombres de estos cuerpos geométricos se originaron en la Antigua Grecia. Significan el número de caras: tetraedro - de cuatro lados, hexaedro - de seis lados, octaedro - octaédrico, dodecaedro - de doce lados, icosaedro - de veinte lados. Todos estos cuerpos geométricosocupó un lugar importante en el concepto de Platón del universo. Cuatro de ellos personificaban los elementos o entidades: el tetraedro - fuego, el icosaedro - agua, el cubo - tierra, el octaedro - aire. El dodecaedro encarnaba todo lo que existe. Se consideraba el principal, porque era un símbolo del universo.
Generalización del concepto de poliedro
Un poliedro es una colección de un número finito de polígonos tal que:
- cada uno de los lados de cualquiera de los polígonos es al mismo tiempo el lado de otro polígono del mismo lado;
- desde cada uno de los polígonos puedes llegar a los demás pasando por los polígonos adyacentes.
Los polígonos que forman un poliedro son sus caras y sus lados sus aristas. Los vértices de los poliedros son los vértices de los polígonos. Si el concepto de polígono se entiende como líneas discontinuas planas y cerradas, entonces se llega a una definición de poliedro. En el caso de que este concepto signifique una parte del plano que está delimitada por líneas discontinuas, entonces debe entenderse una superficie formada por piezas poligonales. Un poliedro convexo es un cuerpo que se encuentra sobre un lado de un plano adyacente a su cara.
Otra definición de un poliedro y sus elementos
Un poliedro es una superficie formada por polígonos que limita un cuerpo geométrico. Ellos son:
- no convexo;
- convexo (correcto e incorrecto).
Un poliedro regular es un poliedro convexo con máxima simetría. Elementos de poliedros regulares:
- tetraedro: 6 aristas, 4 caras, 5 vértices;
- hexaedro (cubo): 12, 6, 8;
- dodecaedro: 30, 12, 20;
- octaedro: 12, 8, 6;
- icosaedro: 30, 20, 12.
Teorema de Euler
Establece una relación entre el número de aristas, vértices y caras topológicamente equivalentes a una esfera. Al sumar el número de vértices y caras (B + D) de varios poliedros regulares y compararlos con el número de aristas, se puede establecer un patrón: la suma del número de caras y vértices es igual al número de aristas (P) aumentado por 2. Puede derivar una fórmula simple:
B + D=R + 2
Esta fórmula es válida para todos los poliedros convexos.
Definiciones básicas
El concepto de poliedro regular no se puede describir en una oración. Es más significativo y voluminoso. Para que un organismo sea reconocido como tal, debe cumplir una serie de definiciones. Entonces, un cuerpo geométrico será un poliedro regular si se cumplen las siguientes condiciones:
- es convexo;
- el mismo número de aristas convergen en cada uno de sus vértices;
- todas sus caras son polígonos regulares, iguales entre sí;
- todos sus ángulos diedros son iguales.
Propiedades de los poliedros regulares
Hay 5 tipos diferentes de poliedros regulares:
- Cubo (hexaedro) - tiene un ángulo plano en la parte superior de 90°. Tiene un ángulo de 3 lados. La suma de los ángulos planos en la parte superior es 270°.
- Tetraedro - ángulo plano en la parte superior - 60°. Tiene un ángulo de 3 lados. La suma de los ángulos planos en la parte superior es 180°.
- Octaedro - ángulo de vértice plano - 60°. Tiene una esquina de 4 lados. La suma de los ángulos planos en la parte superior es 240°.
- Dodecaedro - ángulo plano en el vértice 108°. Tiene un ángulo de 3 lados. La suma de los ángulos planos en la parte superior es 324°.
- Icosaedro - tiene un ángulo plano en la parte superior - 60°. Tiene un ángulo de 5 lados. La suma de los ángulos planos en la parte superior es 300°.
Área de poliedros regulares
El área superficial de estos cuerpos geométricos (S) se calcula como el área de un polígono regular multiplicado por el número de sus caras (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
El volumen de un poliedro regular
Este valor se calcula multiplicando el volumen de una pirámide regular, en cuya base hay un polígono regular, por el número de caras, y su altura es el radio de la esfera inscrita (r):
V=1: 3rS
Volúmenes de poliedros regulares
Como cualquier otro cuerpo geométrico, los poliedros regulares tienen diferentes volúmenes. A continuación se muestran las fórmulas mediante las cuales puede calcularlos:
- tetraedro: α x 3√2: 12;
- octaedro: α x 3√2: 3;
- icosaedro; α x 3;
- hexaedro (cubo): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodecaedro: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elementos de poliedros regulares
El hexaedro y el octaedro son cuerpos geométricos duales. Es decir, se pueden obtener unos de otros si se toma el centro de gravedad de la cara de uno como vértice del otro, y viceversa. El icosaedro y el dodecaedro también son duales. Sólo el tetraedro es dual consigo mismo. De acuerdo con el método de Euclides, puedes obtener un dodecaedro de un hexaedro construyendo "techos" en las caras de un cubo. Los vértices de un tetraedro serán 4 vértices cualesquiera de un cubo que no sean adyacentes en pares a lo largo de una arista. Del hexaedro (cubo) se pueden obtener otros poliedros regulares. A pesar de que hay innumerables polígonos regulares, solo hay 5 poliedros regulares.
Radio de polígonos regulares
Hay 3 esferas concéntricas asociadas a cada uno de estos cuerpos geométricos:
- descrito, pasando por sus cimas;
- inscrito, tocando cada una de sus caras en su centro;
- mediana, tocando todos los bordes en el medio.
El radio de la esfera descrita se calcula mediante la siguiente fórmula:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
El radio de una esfera inscrita se calcula mediante la fórmula:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
donde θ es el ángulo diedro entre caras adyacentes.
El radio de la esfera mediana se puede calcular con la siguiente fórmula:
ρ=a cos π/p: 2 sen π/h,
donde valor h=4, 6, 6, 10 ó 10. La proporción de radios circunscritos e inscritos es simétrica con respecto a p y q. Esocalculado por la fórmula:
R/r=tg π/p x tg π/q
Simetría de poliedros
La simetría de los poliedros regulares provoca el principal interés en estos cuerpos geométricos. Se entiende como tal movimiento del cuerpo en el espacio, que deja igual número de vértices, caras y aristas. En otras palabras, bajo el efecto de una transformación de simetría, una arista, vértice o cara conserva su posición original o se mueve a la posición original de otra arista, vértice o cara.
Los elementos de simetría de los poliedros regulares son característicos de todos los tipos de estos cuerpos geométricos. Aquí estamos hablando de una transformación idéntica que deja cualquiera de los puntos en su posición original. Entonces, cuando rotas un prisma poligonal, puedes obtener varias simetrías. Cualquiera de ellos puede representarse como producto de reflexiones. Una simetría que es el producto de un número par de reflexiones se llama línea recta. Si es el producto de un número impar de reflexiones, entonces se llama inversa. Por lo tanto, todas las rotaciones alrededor de una línea son simetría directa. Cualquier reflexión de un poliedro es una simetría inversa.
Para comprender mejor los elementos de simetría de los poliedros regulares, podemos tomar el ejemplo de un tetraedro. Toda recta que pase por uno de los vértices y el centro de esta figura geométrica pasará también por el centro de la cara opuesta a ella. Cada uno de los giros de 120° y 240° alrededor de la línea es plural.simetría del tetraedro. Como tiene 4 vértices y 4 caras, solo hay ocho simetrías directas. Cualquiera de las líneas que pasa por el medio de la arista y el centro de este cuerpo pasa por el medio de su arista opuesta. Cualquier rotación de 180°, llamada media vuelta, alrededor de una línea recta es una simetría. Como el tetraedro tiene tres pares de aristas, hay tres simetrías más directas. Con base en lo anterior, podemos concluir que el número total de simetrías directas, incluida la transformación idéntica, llegará a doce. El tetraedro no tiene otras simetrías directas, pero tiene 12 simetrías inversas. Por tanto, el tetraedro se caracteriza por un total de 24 simetrías. Para mayor claridad, puede construir un modelo de un tetraedro regular de cartón y asegurarse de que este cuerpo geométrico realmente tenga solo 24 simetrías.
El dodecaedro y el icosaedro son los más cercanos a la esfera del cuerpo. El icosaedro tiene el mayor número de caras, el mayor ángulo diedro y puede presionarse con mayor fuerza contra una esfera inscrita. El dodecaedro tiene el defecto angular más pequeño, el ángulo sólido más grande en el vértice. Puede llenar al máximo su esfera descrita.
Barridos de poliedros
Los poliedros regulares sin envolver, que todos pegamos juntos en la infancia, tienen muchos conceptos. Si hay una colección de polígonos, cada uno de los cuales se identifica con un solo lado del poliedro, entonces la identificación de los lados debe cumplir dos condiciones:
- de cada polígono, puede repasar los polígonos que tienenlado identificado;
- los lados identificados deben tener la misma longitud.
Al conjunto de polígonos que satisfacen estas condiciones se le llama desarrollo del poliedro. Cada uno de estos cuerpos tiene varios de ellos. Entonces, por ejemplo, un cubo tiene 11 de ellos.
