En este artículo, el método se considera como una forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales (SLAE). El método es analítico, es decir, le permite escribir un algoritmo de solución general y luego sustituir valores de ejemplos específicos allí. A diferencia del método matricial o de las fórmulas de Cramer, al resolver un sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, también se puede trabajar con aquellas que tienen infinitas soluciones. O no tenerlo en absoluto.
¿Qué significa resolver por el método de Gauss?
Primero, necesitamos escribir nuestro sistema de ecuaciones como una matriz. Se parece a esto. El sistema se toma:
Los coeficientes se escriben en forma de tabla, ya la derecha en una columna separada: miembros libres. La columna con miembros libres está separada por conveniencia por una barra vertical. Una matriz que incluye esta columna se llama extendida.
A continuación, la matriz principal con coeficientes debe reducirse a la forma triangular superior. Este es el punto principal de resolver el sistema por el método de Gauss. En pocas palabras, después de ciertas manipulaciones, la matriz debería verse así, de modo que solo haya ceros en su parte inferior izquierda:
Entonces, si vuelve a escribir la nueva matriz como un sistema de ecuaciones, notará que la última línea ya contiene el valor de una de las raíces, que luego se sustituye en la ecuación anterior, se encuentra otra raíz, y así sucesivamente.
Esta es una descripción de la solución gaussiana en los términos más generales. ¿Y qué pasa si de repente el sistema no tiene solución? ¿O hay un número infinito de ellos? Para responder a estas y muchas preguntas más, es necesario considerar por separado todos los elementos utilizados en la solución por el método de Gauss.
Matrices, sus propiedades
No hay un significado oculto en la matriz. Es solo una forma conveniente de registrar datos para operaciones posteriores. Ni siquiera los escolares deberían tenerles miedo.
La matriz siempre es rectangular porque es más conveniente. Incluso en el método de Gauss, donde todo se reduce a construir una matriz triangular, aparece un rectángulo en la entrada, solo con ceros en el lugar donde no hay números. Los ceros se pueden omitir, pero están implícitos.
Matrix tiene tamaño. Su "ancho" es el número de filas (m), su "largo" es el número de columnas (n). Entonces, el tamaño de la matriz A (generalmente se usan letras latinas mayúsculas para su designación) se denotará como Am×n. Si m=n, entonces esta matriz es cuadrada, ym=n - su orden. En consecuencia, cualquier elemento de la matriz A puede ser denotado por el número de su fila y columna: axy; x - número de fila, cambio [1, m], y - número de columna, cambio [1, n].
En el método Gaussiano, las matrices no son el punto principal de la solución. En principio, todas las operaciones se pueden realizar directamente con las propias ecuaciones, sin embargo, la notación será mucho más engorrosa y será mucho más fácil confundirse en ella.
Calificador
La matriz también tiene un determinante. Esta es una característica muy importante. Descubrir su significado ahora no vale la pena, simplemente puede mostrar cómo se calcula y luego decir qué propiedades de la matriz determina. La forma más fácil de encontrar el determinante es a través de las diagonales. Se dibujan diagonales imaginarias en la matriz; los elementos ubicados en cada uno de ellos se multiplican y luego se suman los productos resultantes: diagonales con una pendiente hacia la derecha - con un signo "más", con una pendiente hacia la izquierda - con un signo "menos".
Es extremadamente importante tener en cuenta que el determinante solo se puede calcular para una matriz cuadrada. Para una matriz rectangular, puede hacer lo siguiente: elija el menor entre el número de filas y el número de columnas (que sea k), y luego marque al azar k columnas y k filas en la matriz. Los elementos ubicados en la intersección de las columnas y filas seleccionadas formarán una nueva matriz cuadrada. Si el determinante de dicha matriz es un número distinto de cero, entonces se llamará el menor básico de la matriz rectangular original.
Antescómo empezar a resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss, no está de más calcular el determinante. Si resulta ser cero, inmediatamente podemos decir que la matriz tiene un número infinito de soluciones o que no hay ninguna. En un caso tan triste, debe ir más allá y averiguar el rango de la matriz.
Clasificación de sistemas
Existe el rango de una matriz. Este es el orden máximo de su determinante distinto de cero (recordando la base menor, podemos decir que el rango de una matriz es el orden de la base menor).
Tal como son las cosas con el rango, SLOW se puede dividir en:
- Conjunto. Para sistemas conjuntos, el rango de la matriz principal (compuesta únicamente por coeficientes) coincide con el rango de la extendida (con una columna de términos libres). Dichos sistemas tienen una solución, pero no necesariamente una, por lo tanto, los sistemas conjuntos se dividen adicionalmente en:
- - definitivo - que tiene una solución única. En ciertos sistemas, el rango de la matriz y el número de incógnitas son iguales (o el número de columnas, que es lo mismo);
- - indefinido - con un número infinito de soluciones. El rango de las matrices en tales sistemas es menor que el número de incógnitas.
- Incompatible. Para tales sistemas, los rangos de las matrices principal y extendida no coinciden. Los sistemas incompatibles no tienen solución.
El método de Gauss es bueno porque te permite obtener una prueba inequívoca de la inconsistencia del sistema (sin calcular los determinantes de matrices grandes) o una solución general para un sistema con un número infinito de soluciones.
Transformaciones elementales
Antescómo proceder directamente a la solución del sistema, puede hacerlo menos engorroso y más conveniente para los cálculos. Esto se logra a través de transformaciones elementales, de modo que su implementación no cambie la respuesta final de ninguna manera. Cabe señalar que algunas de las transformaciones elementales anteriores son válidas solo para matrices, cuya fuente fue precisamente la SLAE. Aquí hay una lista de estas transformaciones:
- Cambiar cadenas. Es obvio que si cambiamos el orden de las ecuaciones en el registro del sistema, esto no afectará la solución de ninguna manera. Por lo tanto, también es posible intercambiar filas en la matriz de este sistema, sin olvidar, por supuesto, la columna de miembros libres.
- Multiplicar todos los elementos de una cadena por algún factor. ¡Muy útil! Con él, puede reducir números grandes en la matriz o eliminar ceros. El conjunto de soluciones, como de costumbre, no cambiará y será más conveniente realizar más operaciones. Lo principal es que el coeficiente no debe ser igual a cero.
- Eliminar líneas con coeficientes proporcionales. Esto se sigue en parte del párrafo anterior. Si dos o más filas en la matriz tienen coeficientes proporcionales, al multiplicar / dividir una de las filas por el coeficiente de proporcionalidad, se obtienen dos (o, nuevamente, más) filas absolutamente idénticas, y puede eliminar las adicionales, dejando solo uno.
- Eliminar la línea nula. Si en el curso de las transformaciones se obtiene una cadena en alguna parte en la que todos los elementos, incluido el miembro libre, son cero, entonces esa cadena puede llamarse cero y eliminarse de la matriz.
- Sumar a los elementos de una fila elementos de otra (segúncolumnas correspondientes) multiplicado por algún coeficiente. La transformación más oscura e importante de todas. Vale la pena detenerse en ello con más detalle.
Sumar una cadena multiplicada por un factor
Para facilitar la comprensión, vale la pena desmontar este proceso paso a paso. Se toman dos filas de la matriz:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Digamos que necesita sumar el primero multiplicado por el coeficiente "-2" al segundo.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Luego, la segunda fila de la matriz se reemplaza por una nueva, mientras que la primera permanece sin cambios.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Cabe señalar que el factor de multiplicación se puede elegir de tal forma que, como resultado de sumar dos cadenas, uno de los elementos de la nueva cadena sea igual a cero. Por lo tanto, es posible obtener una ecuación en el sistema, donde habrá una incógnita menos. Y si obtienes dos ecuaciones de este tipo, entonces la operación se puede realizar de nuevo y obtener una ecuación que ya contendrá dos incógnitas menos. Y si cada vez volvemos a cero un coeficiente para todas las filas que son más bajas que la original, entonces podemos, como pasos, ir hasta el final de la matriz y obtener una ecuación con una incógnita. Se llamaresolver el sistema usando el método de Gauss.
Generalmente
Que haya un sistema. Tiene m ecuaciones y n raíces desconocidas. Puedes escribirlo así:
La matriz principal se compila a partir de los coeficientes del sistema. Se agrega una columna de miembros libres a la matriz expandida y separados por una barra para mayor comodidad.
Siguiente:
- la primera fila de la matriz se multiplica por el coeficiente k=(-a21/a11);
- se suma la primera fila modificada y la segunda fila de la matriz;
- en lugar de la segunda fila, se inserta en la matriz el resultado de la suma del párrafo anterior;
- ahora el primer coeficiente en la nueva segunda línea es a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Ahora se realiza la misma serie de transformaciones, solo están involucradas la primera y la tercera línea. En consecuencia, en cada paso del algoritmo, el elemento a21 se reemplaza por a31. Entonces todo se repite para a41, … am1. El resultado es una matriz donde el primer elemento de las filas [2, m] es igual a cero. Ahora debe olvidarse de la línea número uno y realizar el mismo algoritmo a partir de la segunda línea:
- k coeficiente=(-a32/a22);
- la segunda línea modificada se agrega a la línea "actual";
- el resultado de la suma se sustituye en la tercera, cuarta y así sucesivamente líneas, mientras que la primera y la segunda permanecen sin cambios;
- en las filas [3, m] de la matriz, los dos primeros elementos ya son iguales a cero.
Se debe repetir el algoritmo hasta que aparezca el coeficiente k=(-am, m-1/amm). Esto significa que el algoritmo se ejecutó por última vez solo para la ecuación inferior. Ahora la matriz se ve como un triángulo o tiene una forma escalonada. La línea inferior contiene la ecuación amn × x =bm. Se conocen el coeficiente y el término libre, y la raíz se expresa a través de ellos: x =bm/amn. La raíz resultante se sustituye en la fila superior para encontrar xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. Y así por analogía: en cada línea siguiente hay una nueva raíz y, habiendo llegado a la "cima" del sistema, se puede encontrar un conjunto de soluciones [x1, … x ]. Será el único.
Cuando no hay soluciones
Si en una de las filas de la matriz todos los elementos, excepto el término libre, son iguales a cero, entonces la ecuación correspondiente a esta fila se verá como 0=b. No tiene solución. Y dado que tal ecuación está incluida en el sistema, entonces el conjunto de soluciones de todo el sistema está vacío, es decir, es degenerado.
Cuando hay un número infinito de soluciones
Puede resultar que en la matriz triangular reducida no haya filas con un elemento, el coeficiente de la ecuación, y otro, un miembro libre. Solo hay cadenas que, cuando se reescriben, se verían como una ecuación con dos o más variables. Esto significa que el sistema tiene un número infinito de soluciones. En este caso, la respuesta se puede dar en forma de una solución general. ¿Cómo hacerlo?
TodosLas variables de la matriz se dividen en básicas y libres. Básico: estos son los que se encuentran "en el borde" de las filas en la matriz escalonada. El resto son gratis. En la solución general, las variables básicas se escriben en función de las libres.
Por conveniencia, la matriz se vuelve a escribir primero en un sistema de ecuaciones. Luego, en el último de ellos, donde exactamente solo quedaba una variable básica, se queda en un lado y todo lo demás se transfiere al otro. Esto se hace para cada ecuación con una variable básica. Luego, en el resto de ecuaciones, en lo posible, en lugar de la variable básica, se sustituye la expresión obtenida para la misma. Si el resultado es nuevamente una expresión que contiene solo una variable básica, se expresa a partir de ahí nuevamente, y así sucesivamente, hasta que cada variable básica se escribe como una expresión con variables libres. Esta es la solución general de SLAE.
También puede encontrar la solución básica del sistema: asigne cualquier valor a las variables libres y luego calcule los valores de las variables básicas para este caso particular. Hay infinitas soluciones particulares.
Solución con ejemplos específicos
Este es un sistema de ecuaciones.
Para mayor comodidad, es mejor hacer su matriz de inmediato
Se sabe que al resolver por el método de Gauss, la ecuación correspondiente a la primera fila permanecerá sin cambios al final de las transformaciones. Por lo tanto, será más rentable si el elemento superior izquierdo de la matriz es el más pequeño, luego los primeros elementosel resto de las filas después de las operaciones se convertirá en cero. Esto significa que en la matriz compilada será beneficioso colocar la segunda fila en lugar de la primera.
A continuación, debe cambiar la segunda y la tercera línea para que los primeros elementos se conviertan en cero. Para ello, súmalos al primero, multiplicándolos por un coeficiente:
segunda línea: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
tercera línea: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Ahora, para no confundirse, debe escribir una matriz con resultados intermedios de transformaciones.
Obviamente, dicha matriz se puede hacer más legible con la ayuda de algunas operaciones. Por ejemplo, puede eliminar todos los "menos" de la segunda línea multiplicando cada elemento por "-1".
También vale la pena señalar que en la tercera línea todos los elementos son múltiplos de tres. Entonces tú puedescorte la cadena por este número, multiplicando cada elemento por "-1/3" (menos - al mismo tiempo para eliminar los valores negativos).
Se ve mucho mejor. Ahora debemos dejar en paz la primera línea y trabajar con la segunda y la tercera. La tarea es sumar la segunda fila a la tercera fila, multiplicada por un factor tal que el elemento a32 se convierta en cero.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (si durante algunas transformaciones en la respuesta resultó no ser un número entero, se recomienda dejarlo "como está", en forma de fracción ordinaria, y solo entonces, cuando se reciben las respuestas, decidir si redondear y convertir a otra forma de notación)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
Se vuelve a escribir la matriz con nuevos valores.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Como puede ver, la matriz resultante ya tiene una forma escalonada. Por lo tanto, no se requieren más transformaciones del sistema por el método de Gauss. Lo que se puede hacer aquí es eliminar el coeficiente general "-1/7" de la tercera línea.
Ahora todosbonito. El punto es pequeño: escriba la matriz nuevamente en forma de un sistema de ecuaciones y calcule las raíces
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
El algoritmo mediante el cual se encontrarán ahora las raíces se llama movimiento inverso en el método de Gauss. La ecuación (3) contiene el valor z:
z=61/9
A continuación, vuelve a la segunda ecuación:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
Y la primera ecuación te permite encontrar x:
x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Tenemos derecho a llamar a tal sistema conjunto, e incluso definitivo, es decir, que tiene una solución única. La respuesta se escribe de la siguiente forma:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Ejemplo de un sistema indefinido
Se ha analizado la variante de resolver un determinado sistema por el método de Gauss, ahora es necesario considerar el caso si el sistema es indefinido, es decir, se pueden encontrar infinitas soluciones para él.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
La forma misma del sistema ya es alarmante, porque el número de incógnitas es n=5, y el rango de la matriz del sistema ya es exactamente menor que este número, porque el número de filas es m=4, es decir, el orden más grande del determinante cuadrado es 4. Entonces,Hay infinidad de soluciones, y debemos buscar su forma general. El método de Gauss para ecuaciones lineales te permite hacer esto.
Primero, como siempre, se compila la matriz aumentada.
Segunda línea: coeficiente k=(-a21/a11)=-3. En la tercera línea, el primer elemento está antes de las transformaciones, por lo que no necesita tocar nada, debe dejarlo como está. Cuarta línea: k=(-a41/a11)=-5
Multiplicando los elementos de la primera fila por cada uno de sus coeficientes y sumándolos a las filas requeridas, obtenemos una matriz de la siguiente forma:
Como puede ver, las filas segunda, tercera y cuarta consisten en elementos proporcionales entre sí. El segundo y el cuarto son generalmente iguales, por lo que uno de ellos puede eliminarse inmediatamente y el resto multiplicado por el coeficiente "-1" y obtener la línea número 3. Y nuevamente, deje una de dos líneas idénticas.
El resultado es una matriz de este tipo. El sistema aún no se ha escrito, aquí es necesario determinar las variables básicas, situándose en los coeficientes a11=1 y a22=1, y gratis - todo lo demás.
Solo hay una variable básica en la segunda ecuación - x2. Por lo tanto, se puede expresar a partir de ahí, escribiendo a través de las variables x3, x4, x5, que son gratis.
Sustituye la expresión resultante en la primera ecuación.
Resultó una ecuación en la quela única variable básica es x1. Hagamos con él lo mismo que con x2.
Todas las variables básicas, de las cuales hay dos, se expresan en términos de tres libres, ahora puedes escribir la respuesta en forma general.
También puede especificar una de las soluciones particulares del sistema. Para tales casos, por regla general, los ceros se eligen como valores para variables libres. Entonces la respuesta será:
-16, 23, 0, 0, 0.
Un ejemplo de un sistema inconsistente
La solución de sistemas de ecuaciones inconsistentes por el método de Gauss es la más rápida. Termina tan pronto como en una de las etapas se obtiene una ecuación que no tiene solución. Es decir, desaparece la etapa con el cálculo de las raíces, que es bastante larga y monótona. Se está considerando el siguiente sistema:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Como de costumbre, la matriz se compila:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Y reducido a forma escalonada:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Después de la primera transformación, la tercera línea contiene una ecuación de la forma
0=7, sin solución. Por lo tanto, el sistemaes inconsistente, y la respuesta es el conjunto vacío.
Ventajas y desventajas del método
Si elige qué método resolver SLAE en papel con un bolígrafo, entonces el método que se consideró en este artículo parece el más atractivo. En transformaciones elementales, es mucho más difícil confundirse que si tienes que buscar manualmente el determinante o alguna matriz inversa engañosa. Sin embargo, si usa programas para trabajar con datos de este tipo, por ejemplo, hojas de cálculo, resulta que dichos programas ya contienen algoritmos para calcular los parámetros principales de las matrices: las matrices determinantes, menores, inversas y transpuestas, etc.. Y si está seguro de que la máquina calculará estos valores por sí misma y no se equivocará, es más conveniente utilizar el método matricial o las fórmulas de Cramer, porque su aplicación comienza y termina con el cálculo de determinantes y matrices inversas.
Solicitud
Dado que la solución gaussiana es un algoritmo y la matriz es, de hecho, un arreglo bidimensional, se puede usar en programación. Pero dado que el artículo se posiciona como una guía "para tontos", se debe decir que el lugar más fácil para colocar el método son las hojas de cálculo, por ejemplo, Excel. Nuevamente, Excel considerará cualquier SLAE ingresado en una tabla en forma de matriz como una matriz bidimensional. Y para operaciones con ellos, hay muchos buenos comandos: suma (¡solo puede agregar matrices del mismo tamaño!), Multiplicación por un número, multiplicación de matrices (también conciertas restricciones), encontrar las matrices inversa y transpuesta y, lo más importante, calcular el determinante. Si esta laboriosa tarea se reemplaza por un solo comando, es mucho más rápido determinar el rango de una matriz y, por lo tanto, establecer su compatibilidad o inconsistencia.
