La paradoja de Bertrand es un problema en la interpretación clásica de la teoría de la probabilidad. Joseph lo introdujo en su obra Calcul des probabilités (1889) como un ejemplo de que las probabilidades no pueden definirse bien si un mecanismo o método produce una variable aleatoria.
Enunciado del problema
La paradoja de Bertrand es la siguiente.
Primero, considera un triángulo equilátero inscrito en un círculo. En este caso, el diámetro se elige al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea más largo que el lado del triángulo?
Bertrand planteó tres argumentos, todos los cuales parecen ser correctos, pero arrojan resultados diferentes.
Método de punto final aleatorio
Necesitas seleccionar dos lugares en el círculo y dibujar un arco que los conecte. Para el cálculo se considera la paradoja de probabilidad de Bertrand. Es necesario imaginar que se gira el triángulo de modo que su vértice coincida con uno de los extremos de la cuerda. Vale la pena pagartenga en cuenta que si la otra parte está en un arco entre dos lugares, el círculo es más largo que el lado del triángulo. La longitud del arco es un tercio del círculo, por lo que la probabilidad de que una cuerda aleatoria sea más larga es 1/3.
Método de selección
Es necesario seleccionar el radio del círculo y un punto sobre él. Después de eso, debe construir un cordón a través de este lugar, perpendicular al diámetro. Para calcular la considerada paradoja de Bertrand de la teoría de la probabilidad, hay que imaginar que se gira el triángulo de modo que el lado sea perpendicular al radio. La cuerda es más larga que el cateto si el punto seleccionado está más cerca del centro del círculo. Y en este caso, el lado del triángulo biseca el radio. Por tanto, la probabilidad de que la cuerda sea más larga que el lado de la figura inscrita es 1/2.
Acordes aleatorios
Método del punto medio. Es necesario elegir un lugar en el círculo y crear un acorde con un medio dado. El eje es más largo que el borde del triángulo inscrito, si la ubicación seleccionada está dentro de un círculo concéntrico de radio 1/2. El área del círculo más pequeño es un cuarto de la figura más grande. Por lo tanto, la probabilidad de una cuerda aleatoria es más larga que el lado del triángulo inscrito y es igual a 1/4.
Como se presentó anteriormente, los métodos de selección difieren en el peso que dan a ciertas cuerdas, que son diámetros. En el método 1, cada cuerda se puede seleccionar exactamente de una manera, sea o no un diámetro.
En el método 2, cada línea recta se puede seleccionar de dos maneras. Mientras que cualquier otro acorde será elegidosolo una de las posibilidades.
En el método 3, cada selección de punto medio tiene un solo parámetro. Excepto por el centro del círculo, que es el punto medio de todos los diámetros. Estos problemas se pueden evitar "ordenando" todas las preguntas para excluir parámetros sin afectar las probabilidades resultantes.
Los métodos seleccionados también se pueden visualizar de la siguiente manera. Una cuerda que no es un diámetro se identifica únicamente por su punto medio. Cada uno de los tres métodos de selección presentados arriba produce una distribución diferente del medio. Y las opciones 1 y 2 proporcionan dos particiones no uniformes diferentes, mientras que el método 3 proporciona una distribución uniforme.
La paradoja clásica de resolver el problema de Bertrand depende del método por el cual se elige el acorde "al azar". Resulta que si se especifica de antemano un método de selección aleatoria, el problema tiene una solución bien definida. Esto se debe a que cada método individual tiene su propia distribución de acordes. Los tres fallos mostrados por Bertrand corresponden a diferentes modos de selección y, en ausencia de más información, no hay razón para favorecer uno sobre el otro. En consecuencia, el problema planteado no tiene una única solución.
Un ejemplo de cómo hacer que una respuesta general sea única es especificar que los extremos de la cuerda estén espaciados uniformemente entre 0 y c, donde c es la circunferencia del círculo. Esta distribución es la misma que en el primer argumento de Bertrand y la probabilidad única resultante será 1/3.
Esta paradoja de Bertrand Russell y otras singularidades de la música clásicalas interpretaciones de posibilidad justifican formulaciones más rigurosas. Incluye frecuencia de probabilidad y teoría bayesiana subjetivista.
Lo que subyace a la paradoja de Bertrand
En su artículo de 1973 "El problema bien planteado", Edwin Jaynes ofreció su solución única. Señaló que la paradoja de Bertrand se basa en una premisa basada en el principio de "ignorancia máxima". Esto significa que no debe usar ninguna información que no se proporcione en el enunciado del problema. Jaynes señaló que el problema de Bertrand no determina la posición o el tamaño del círculo. Y argumentó que, por lo tanto, cualquier decisión definitiva y objetiva debe ser "indiferente" al tamaño y la posición.
Con fines ilustrativos
Suponiendo que todos los acordes se colocan al azar en un círculo de 2 cm, ahora debes arrojarle pajitas desde lejos.
Luego debe tomar otro círculo con un diámetro más pequeño (por ejemplo, 1 centímetro), que se ajuste a una figura más grande. Entonces la distribución de cuerdas en este círculo más pequeño debe ser la misma que en el máximo. Si la segunda figura también se mueve dentro de la primera, la probabilidad, en principio, no debería cambiar. Es muy fácil ver que para el método 3 ocurrirá el siguiente cambio: la distribución de cuerdas en el círculo rojo pequeño será cualitativamente diferente de la distribución en el círculo grande.
Lo mismo sucede con el método 1. Aunque es más difícil de ver en la vista gráfica.
El método 2 es el únicoque resulta ser tanto una escala como una traducción invariante.
El método número 3 parece ser simplemente extensible.
El método 1 no es ninguno.
Sin embargo, Janes no usó invariantes fácilmente para aceptar o rechazar estos métodos. Esto dejaría la posibilidad de que exista otro método no descrito que se ajuste a sus aspectos de significado razonable. Jaynes aplicó ecuaciones integrales que describen invariancias. Determinar directamente la distribución de probabilidad. En su problema, las ecuaciones integrales sí tienen una solución única, y esto es exactamente lo que se llamó el método del segundo radio aleatorio arriba.
En un artículo de 2015, Alon Drory argumenta que el principio de Jaynes también puede generar otras dos soluciones de Bertrand. El autor asegura que la implementación matemática de las propiedades de invariancia anteriores no es única, sino que depende del procedimiento básico de selección aleatoria que una persona decida utilizar. Muestra que cada una de las tres soluciones de Bertrand se puede obtener usando invariancia rotacional, de escala y traslacional. Al mismo tiempo, concluyendo que el principio de Jaynes está tan sujeto a interpretación como el propio modo de indiferencia.
Experimentos físicos
El método 2 es la única solución que satisface las invariantes de transformación que están presentes en conceptos fisiológicos específicos, como la mecánica estadística y la estructura de los gases. También en la propuestaEl experimento de Janes de lanzar pajitas desde un pequeño círculo.
Sin embargo, se pueden diseñar otros experimentos prácticos que proporcionen respuestas de acuerdo con otros métodos. Por ejemplo, para llegar a una solución del primer método de punto final aleatorio, puede colocar un contador en el centro del área. Y deje que los resultados de dos rotaciones independientes res alten los lugares finales del acorde. Para llegar a una solución al tercer método, uno puede cubrir el círculo con melaza, por ejemplo, y marcar el primer punto en el que se posa la mosca como la cuerda del medio. Varios contempladores han creado estudios para sacar diferentes conclusiones y han confirmado los resultados empíricamente.
Últimos eventos
En su artículo de 2007 "La paradoja de Bertrand y el principio de indiferencia", Nicholas Shackel argumenta que más de un siglo después, el problema sigue sin resolverse. Continúa refutando el principio de indiferencia. Además, en su artículo de 2013, "Revisión de la paradoja de Bertrand Russell: por qué todas las soluciones no son prácticas", Darrell R. Robottom muestra que todas las decisiones propuestas no tienen nada que ver con su propia pregunta. Entonces resultó que la paradoja sería mucho más difícil de resolver de lo que se pensaba.
Shackel enfatiza que hasta ahora muchos científicos y personas alejadas de la ciencia han tratado de resolver la paradoja de Bertrand. Todavía se supera con la ayuda de dos enfoques diferentes.
Aquellas en las que se consideró la diferencia entre problemas no equivalentes, y aquellas en las que siempre se consideró correcto el problema. Shackel cita a Louis en sus libros. Marinoff (como exponente típico de la estrategia de diferenciación) y Edwin Jaynes (como autor de una teoría bien pensada).
Sin embargo, en su reciente trabajo Solving a Complex Problem, Diederik Aerts y Massimiliano Sassoli de Bianchi creen que para resolver la paradoja de Bertrand hay que buscar las premisas en una estrategia mixta. Según estos autores, el primer paso es solucionar el problema indicando claramente la naturaleza de la entidad que se aleatoriza. Y solo después de hacer esto, cualquier problema puede considerarse correcto. Eso es lo que piensa Janes.
Entonces se puede usar el principio de máxima ignorancia para resolverlo. Para ello, y dado que el problema no especifica cómo debe elegirse un acorde, el principio se aplica no al nivel de las diversas posibilidades, sino a un nivel mucho más profundo.
Selección de piezas
Esta parte del problema requiere el cálculo de un metapromedio sobre todas las formas posibles, que los autores llaman la media universal. Para hacer frente a esto, utilizan el método de discretización. Inspirado en lo que se está haciendo al definir la ley de probabilidad en los procesos de Wiener. Su resultado es consistente con el corolario numérico de Jaynes, aunque su problema bien planteado difiere del del autor original.
En economía y comercio, la paradoja de Bertrand, llamada así por su creador Joseph Bertrand, describe una situación en la que dos jugadores (empresas) alcanzan un equilibrio de Nash. Cuando ambas empresas fijan un precio igual al costo marginal(MS).
La paradoja de Bertrand se basa en una premisa. Yace en que en modelos como el de competencia de Cournot, un aumento en el número de empresas está asociado a la convergencia de precios con costos marginales. En estos modelos alternativos, la paradoja de Bertrand está en un oligopolio de un pequeño número de empresas que obtienen beneficios positivos cobrando precios por encima del coste.
Para empezar, vale la pena suponer que dos empresas A y B venden un producto homogéneo, cada una de las cuales tiene el mismo costo de producción y distribución. De ello se deduce que los compradores eligen un producto únicamente sobre la base del precio. Esto significa que la demanda es infinitamente elástica al precio. Ni A ni B fijarán un precio más alto que los demás, porque eso provocaría el colapso de toda la paradoja de Bertrand. Uno de los participantes del mercado cederá ante su competidor. Si fijan el mismo precio, las empresas se repartirán los beneficios.
Por otro lado, si una empresa baja su precio aunque sea ligeramente, obtendrá todo el mercado y un rendimiento significativamente mayor. Dado que A y B saben esto, cada uno de ellos intentará socavar al competidor hasta que el producto se venda sin beneficio económico.
Un trabajo reciente ha demostrado que puede haber un equilibrio adicional en la paradoja de la estrategia mixta de Bertrand, con beneficios económicos positivos, siempre que la suma del monopolio sea infinita. Para el caso de la ganancia final, se demostró que un aumento positivo bajo competencia de precios es imposible en equilibrios mixtos e incluso en el caso más generalsistemas correlacionados.
De hecho, la paradoja económica de Bertrand rara vez se ve en la práctica, porque los productos reales casi siempre se diferencian de alguna forma distinta al precio (por ejemplo, pagando de más por una etiqueta). Las empresas tienen límites en su capacidad de producir y distribuir. Esta es la razón por la cual dos negocios rara vez tienen los mismos costos.
El resultado de Bertrand es paradójico porque si el número de empresas aumenta de uno a dos, el precio cae de monopolio a competitivo y permanece al mismo nivel que el número de empresas que aumenta a partir de entonces. Esto no es muy realista, porque en realidad, los mercados con pocas empresas con poder de mercado tienden a cobrar precios por encima del costo marginal. El análisis empírico muestra que la mayoría de las industrias con dos competidores generan beneficios positivos.
En el mundo moderno, los científicos están tratando de encontrar soluciones a la paradoja que sean más consistentes con el modelo de competencia de Cournot. Cuando dos empresas en un mercado obtienen ganancias positivas que se encuentran entre los niveles de competencia perfecta y de monopolio.
Algunas razones por las que la paradoja de Bertrand no está directamente relacionada con la economía:
- Límites de capacidad. A veces, las empresas no tienen la capacidad suficiente para satisfacer toda la demanda. Este punto fue planteado por primera vez por Francis Edgeworth y dio lugar al modelo de Bertrand-Edgeworth.
- Precios enteros. Se excluyen los precios por encima del MC porque una empresa puede rebajar a otra al azar.una pequeña cantidad. Si los precios son discretos (por ejemplo, deben tomar valores enteros), entonces una empresa debe rebajar a la otra en al menos un rublo. Esto implica que el valor de la moneda chica está por encima del MC. Si otra firma le pone un precio más alto, otra firma puede bajarlo y capturar todo el mercado, la paradoja de Bertrand consiste precisamente en esto. No le traerá ningún beneficio. Este negocio preferirá compartir las ventas 50/50 con otra empresa y recibir un ingreso puramente positivo.
- Diferenciación de productos. Si los productos de diferentes empresas difieren entre sí, es posible que los consumidores no cambien por completo a productos con un precio más bajo.
- Competencia dinámica. La interacción repetida o la competencia de precios repetida pueden conducir a un equilibrio de valor.
- Más artículos por una cantidad mayor. Esto se sigue de la interacción repetida. Si una empresa establece su precio un poco más alto, obtendrá aproximadamente la misma cantidad de compras, pero más ganancias por artículo. Por lo tanto, la otra empresa aumentará su margen de beneficio, etc. (Solo en las repeticiones, de lo contrario, la dinámica va en la otra dirección).
Oligopolio
Si dos empresas pueden ponerse de acuerdo sobre un precio, les interesa a largo plazo mantener el acuerdo: los ingresos por reducción de valor son menos del doble de los ingresos por el cumplimiento del acuerdo y solo duran hasta que la otra empresa recorta su precios propios.
Teoríalas probabilidades (como el resto de las matemáticas) es en realidad un invento reciente. Y el desarrollo no ha sido fácil. Los primeros intentos de formalizar el cálculo de probabilidad los hizo el marqués de Laplace, quien propuso definir el concepto como la relación entre el número de eventos que conducen a un resultado.
Esto, por supuesto, solo tiene sentido si el número de todos los eventos posibles es finito. Y además, todos los eventos son igualmente probables.
Por lo tanto, en ese momento, estos conceptos parecían no tener una base sólida. Los intentos de extender la definición al caso de un número infinito de eventos han llevado a dificultades aún mayores. La paradoja de Bertrand es uno de esos descubrimientos que ha hecho que los matemáticos desconfíen de todo el concepto de probabilidad.
