Es poco probable que muchas personas piensen si es posible calcular eventos que son más o menos aleatorios. En términos simples, ¿es realista saber qué lado del dado caerá después? Esta fue la pregunta que formularon dos grandes científicos, quienes sentaron las bases de una ciencia como la teoría de la probabilidad, en la que la probabilidad de un evento se estudia de manera bastante extensa.
Origen
Si tratas de definir un concepto como la teoría de la probabilidad, obtienes lo siguiente: esta es una de las ramas de las matemáticas que estudia la constancia de los eventos aleatorios. Por supuesto, este concepto realmente no revela toda la esencia, por lo que es necesario considerarlo con más detalle.
Me gustaría comenzar con los creadores de la teoría. Como se mencionó anteriormente, había dos de ellos, estos son Pierre Fermat y Blaise Pascal. Fueron ellos quienes estuvieron entre los primeros que intentaron calcular el resultado de un evento usando fórmulas y cálculos matemáticos. En general, los rudimentos de esta ciencia aparecieron tan pronto comoEdad media. En ese momento, varios pensadores y científicos intentaron analizar los juegos de azar, como la ruleta, los dados, etc., estableciendo así un patrón y un porcentaje de caída de un número en particular. Los cimientos fueron colocados en el siglo XVII por los científicos antes mencionados.
Al principio, su trabajo no podía atribuirse a los grandes logros en este campo, porque todo lo que hacían eran simplemente hechos empíricos, y los experimentos se establecían visualmente, sin el uso de fórmulas. Con el tiempo, resultó lograr grandes resultados, que aparecieron como resultado de observar el lanzamiento de dados. Fue esta herramienta la que ayudó a derivar las primeras fórmulas inteligibles.
Asociados
Es imposible no mencionar a una persona como Christian Huygens, en el proceso de estudiar un tema llamado "teoría de la probabilidad" (la probabilidad de un evento se trata precisamente en esta ciencia). Esta persona es muy interesante. Él, como los científicos presentados anteriormente, trató de derivar la regularidad de los eventos aleatorios en forma de fórmulas matemáticas. Es de destacar que no hizo esto junto con Pascal y Fermat, es decir, todas sus obras no se cruzaron de ninguna manera con estas mentes. Huygens derivó los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad.
Un dato interesante es que su trabajo salió mucho antes que los resultados del trabajo de los pioneros, o mejor dicho, veinte años antes. Entre los conceptos designados, los más famosos son:
- el concepto de probabilidad como magnitud del azar;
- expectativa para discretacasos;
- teoremas de multiplicación y suma de probabilidades.
También es imposible no recordar a Jacob Bernoulli, quien también hizo una contribución significativa al estudio del problema. Realizando sus propias pruebas, independientemente de nadie, logró presentar una demostración de la ley de los grandes números. A su vez, los científicos Poisson y Laplace, que trabajaron a principios del siglo XIX, pudieron demostrar los teoremas originales. Fue a partir de este momento que la teoría de la probabilidad comenzó a utilizarse para analizar errores en el curso de las observaciones. Los científicos rusos, o más bien Markov, Chebyshev y Dyapunov, tampoco pudieron pasar por alto esta ciencia. Con base en el trabajo realizado por los grandes genios, fijaron este tema como una rama de las matemáticas. Estas figuras funcionaron ya a fines del siglo XIX, y gracias a su aporte, fenómenos como:
- ley de los grandes números;
- teoría de la cadena de Markov;
- teorema del límite central.
Entonces, con la historia del nacimiento de la ciencia y con las principales personas que influyeron en ella, todo está más o menos claro. Ahora es el momento de concretar todos los hechos.
Conceptos básicos
Antes de tocar leyes y teoremas, vale la pena estudiar los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad. El evento toma el protagonismo en ella. Este tema es bastante voluminoso, pero sin él no será posible entender todo lo demás.
Un evento en la teoría de la probabilidad es cualquier conjunto de resultados de un experimento. No hay tantos conceptos de este fenómeno. Entonces, el científico Lotman,trabajando en esta área, dijo que en este caso estamos hablando de algo que “pasó, aunque podría no haber pasado”.
Los eventos aleatorios (la teoría de la probabilidad les presta especial atención) es un concepto que implica absolutamente cualquier fenómeno que tiene la capacidad de ocurrir. O, por el contrario, este escenario puede no darse cuando se cumplen muchas condiciones. También vale la pena saber que son los eventos aleatorios los que capturan todo el volumen de fenómenos que han ocurrido. La teoría de la probabilidad indica que todas las condiciones pueden repetirse constantemente. Fue su conducta lo que se llamó "experiencia" o "prueba".
Un determinado evento es aquel que ocurrirá al 100% en una prueba dada. En consecuencia, un evento imposible es aquel que no sucederá.
La combinación de un par de acciones (convencionalmente el caso A y el caso B) es un fenómeno que ocurre simultáneamente. Se designan como AB.
La suma de los pares de eventos A y B es C, es decir, si ocurre al menos uno de ellos (A o B), entonces se obtendrá C. La fórmula del fenómeno descrito se escribe de la siguiente manera: C=A + B.
Los eventos disjuntos en la teoría de la probabilidad implican que dos casos son mutuamente excluyentes. Nunca pueden ocurrir al mismo tiempo. Los eventos conjuntos en la teoría de la probabilidad son su antípoda. Esto implica que si sucedió A, entonces no interfiere con B.
Los eventos opuestos (la teoría de la probabilidad los trata con gran detalle) son fáciles de entender. Lo mejor es tratar con ellos en comparación. son casi iguales ay eventos incompatibles en la teoría de la probabilidad. Pero su diferencia radica en el hecho de que uno de los muchos fenómenos debe ocurrir de todos modos.
Sucesos equivalentes son aquellas acciones cuya posibilidad es igual. Para que quede más claro, imaginemos el lanzamiento de una moneda: la caída de una de sus caras es igualmente probable que la caída de la otra.
Un evento auspicioso es más fácil de ver con un ejemplo. Digamos que hay un episodio B y un episodio A. El primero es el lanzamiento de los dados con la aparición de un número impar, y el segundo es la aparición del número cinco en el dado. Entonces resulta que A favorece a B.
Los eventos independientes en la teoría de la probabilidad se proyectan solo en dos o más casos e implican la independencia de cualquier acción de otra. Por ejemplo, A es la pérdida de cruces cuando se lanza una moneda, y B es sacar una sota de la baraja. Son eventos independientes en la teoría de la probabilidad. Con este momento se hizo más claro.
Los eventos dependientes en la teoría de la probabilidad también son admisibles solo para su conjunto. Implican la dependencia de uno respecto del otro, es decir, el fenómeno B sólo puede ocurrir si A ya ha ocurrido o, por el contrario, no ha ocurrido, cuando esta es la condición principal de B.
El resultado de un experimento aleatorio que consta de un componente son eventos elementales. La teoría de la probabilidad explica que este es un fenómeno que ocurrió solo una vez.
Fórmulas básicas
Entonces, los conceptos de "evento", "teoría de la probabilidad",también se dio la definición de los términos básicos de esta ciencia. Ahora es el momento de familiarizarse directamente con las fórmulas importantes. Estas expresiones confirman matemáticamente todos los conceptos principales en un tema tan difícil como la teoría de la probabilidad. La probabilidad de un evento también juega un papel muy importante aquí.
Mejor empieza con las fórmulas básicas de la combinatoria. Y antes de proceder con ellos, vale la pena considerar de qué se trata.
La combinatoria es principalmente una rama de las matemáticas, se ocupa del estudio de una gran cantidad de números enteros, así como de varias permutaciones tanto de los números mismos como de sus elementos, varios datos, etc., lo que lleva a la aparición de una serie de combinaciones. Además de la teoría de la probabilidad, esta rama es importante para la estadística, la informática y la criptografía.
Así que ahora podemos pasar a presentar las fórmulas y definirlas.
La primera será la expresión del número de permutaciones, se ve así:
P_n=norte ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=norte!
La ecuación se aplica solo si los elementos difieren solo en el orden.
Ahora se considerará la fórmula de ubicación, se ve así:
A_n^m=norte ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - metro + 1)=norte!: (n - m)!
Esta expresión se aplica no solo al orden del elemento, sino también a su composición.
La tercera ecuación de la combinatoria, y también la última, se llama fórmula del número de combinaciones:
C_n^m=norte !: ((n -metro))!:m !
Las combinaciones son selecciones que no están ordenadas, respectivamente, y esta regla se aplica a ellas.
Resultó fácil descifrar las fórmulas de la combinatoria, ahora podemos pasar a la definición clásica de probabilidades. Esta expresión se ve así:
P(A)=m: n.
En esta fórmula, m es el número de condiciones favorables al evento A, y n es el número de absolutamente todos los resultados igualmente posibles y elementales.
Hay una gran cantidad de expresiones, el artículo no las cubrirá todas, pero se tocará la más importante de ellas, como, por ejemplo, la probabilidad de la suma de eventos:
P(A + B)=P(A) + P(B) - este teorema es para agregar solo eventos incompatibles;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - y este es para agregar solo los compatibles.
Probabilidad de producir eventos:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – este teorema es para eventos independientes;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - y este es para adictos.
La fórmula del evento termina la lista. La teoría de la probabilidad nos habla del teorema de Bayes, que se ve así:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
En esta fórmula, H1, H2, …, H es el grupo completo de hipótesis.
Detengámonos aquí, luego se considerarán ejemplos de aplicación de fórmulas para resolver problemas específicos de la práctica.
Ejemplos
Si estudias cuidadosamente cualquier secciónmatemáticas, no se puede prescindir de ejercicios y soluciones de muestra. También lo es la teoría de la probabilidad: eventos, ejemplos aquí son un componente integral que confirma los cálculos científicos.
Fórmula para el número de permutaciones
Digamos que hay treinta cartas en una baraja de cartas, comenzando con el valor nominal uno. Próxima pregunta. ¿De cuántas maneras hay de apilar la baraja para que las cartas con un valor nominal de uno y dos no estén una al lado de la otra?
La tarea se ha establecido, ahora pasemos a resolverla. Primero necesitas determinar el número de permutaciones de treinta elementos, para esto tomamos la fórmula anterior, ¡resulta P_30=30!.
Con base en esta regla, averiguaremos cuántas opciones hay para doblar la baraja de diferentes maneras, pero debemos restarles aquellas en las que siguen la primera y la segunda carta. Para ello, comencemos con la opción cuando la primera está por encima de la segunda. Resulta que la primera carta puede ocupar veintinueve lugares: del primero al vigésimo noveno, y la segunda carta del segundo al trigésimo, resultan veintinueve lugares para un par de cartas. A su vez, el resto puede ocupar veintiocho lugares, y en cualquier orden. Es decir, para una permutación de veintiocho cartas, hay veintiocho opciones P_28=28!
Como resultado, resulta que si consideramos la solución cuando la primera carta está sobre la segunda, ¡hay 29 ⋅ 28 posibilidades adicionales!=29!
Usando el mismo método, debe calcular el número de opciones redundantes para el caso en que la primera carta esté debajo de la segunda.¡También resulta 29 ⋅ 28!=29!
¡Se deduce que hay 2 ⋅ 29 opciones adicionales!, ¡mientras que hay 30 formas requeridas para construir un mazo! - 2 ⋅ 29!. Solo queda contar.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Ahora necesitas multiplicar todos los números del uno al veintinueve, y luego al final multiplicar todo por 28. La respuesta es 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Solución del ejemplo. Fórmula para el número de ubicación
En este problema, debe averiguar de cuántas maneras hay de poner quince volúmenes en un estante, pero con la condición de que haya treinta volúmenes en total.
Este problema tiene una solución un poco más fácil que el anterior. Utilizando la fórmula ya conocida, es necesario calcular el número total de ubicaciones a partir de treinta volúmenes de quince.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931 727 360 000
La respuesta, respectivamente, será 202 843 204 931 727 360 000.
Ahora hagamos la tarea un poco más difícil. Necesita averiguar de cuántas formas hay para colocar treinta libros en dos estantes, siempre que solo quince volúmenes puedan estar en un estante.
Antes de comenzar con la solución, me gustaría aclarar que algunos problemas se resuelven de varias formas, por lo que en esta hay dos formas, pero en ambas se usa la misma fórmula.
En este problema, puedes tomar la respuesta del anterior, porque ahí calculamos cuantas veces puedes llenar un estante con quince libros por-diferentemente. Resultó A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Calcularemos el segundo estante usando la fórmula de permutación, porque en él se colocan quince libros, mientras que solo quedan quince. Usa la fórmula P_15=15!.
Resulta que el total será A_30^15 ⋅ P_15 formas, pero, además, habrá que multiplicar el producto de todos los números del treinta al dieciséis por el producto de los números del uno al quince, como un resultado, el producto de todos los números del uno al treinta, por lo que la respuesta es 30!
Pero este problema se puede resolver de otra manera: más fácil. Para hacer esto, puedes imaginar que hay un estante para treinta libros. Todos ellos se colocan en este plano, pero como la condición requiere que haya dos estantes, cortamos uno largo por la mitad, resultan dos quince cada uno. De esto resulta que las opciones de colocación pueden ser P_30=30!.
Solución del ejemplo. Fórmula para el número de combinación
Ahora consideraremos una variante del tercer problema de combinatoria. Tienes que averiguar de cuántas formas hay para organizar quince libros, siempre que tengas que elegir entre treinta absolutamente idénticos.
Para la solución, por supuesto, se aplicará la fórmula del número de combinaciones. De la condición queda claro que el orden de los quince libros idénticos no es importante. Por lo tanto, inicialmente necesita averiguar el número total de combinaciones de treinta libros de quince.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: quince !=155 117 520
Eso es todo. Usando esta fórmula, en el menor tiempo posible fue posibleresolver tal problema, la respuesta, respectivamente, es 155 117 520.
Solución del ejemplo. La definición clásica de probabilidad
Con la fórmula anterior, puedes encontrar la respuesta a un problema simple. Pero ayudará a ver visualmente y seguir el curso de las acciones.
En el problema se da que hay diez bolas absolutamente idénticas en la urna. De estos, cuatro son amarillos y seis son azules. Se saca una bola de la urna. Necesitas averiguar la probabilidad de obtener azul.
Para resolver el problema, es necesario designar como evento A obtener la bola azul. Esta experiencia puede tener diez resultados, que a su vez son elementales e igualmente probables. Al mismo tiempo, de diez, seis son favorables para el evento A. Resolvemos según la fórmula:
P(A)=6: 10=0, 6
Aplicando esta fórmula, descubrimos que la probabilidad de obtener la bola azul es 0.6.
Solución del ejemplo. Probabilidad de la suma de eventos
Ahora se presentará una variante, la cual se resuelve usando la fórmula de la probabilidad de la suma de eventos. Así, en la condición dada de que hay dos cajas, la primera contiene una bola gris y cinco blancas, y la segunda contiene ocho bolas grises y cuatro blancas. Como resultado, uno de ellos fue tomado de la primera y segunda caja. Debe averiguar cuál es la probabilidad de que las bolas que obtenga sean grises y blancas.
Para resolver este problema, debe etiquetar los eventos.
- Entonces, A - toma una bola gris de la primera casilla: P(A)=1/6.
- A’ – toma una bola blanca también de la primera casilla: P(A')=5/6.
- B – la bola gris ya ha sido sacada de la segunda casilla: P(B)=2/3.
- B’ – toma una bola gris de la segunda casilla: P(B')=1/3.
Según la condición del problema, debe ocurrir uno de los fenómenos: AB' o A'B. Usando la fórmula, obtenemos: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Ahora se ha utilizado la fórmula de multiplicación de probabilidad. A continuación, para encontrar la respuesta, debe aplicar la ecuación para su suma:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Así es como, usando la fórmula, puedes resolver problemas similares.
Resultado
El artículo proporcionó información sobre el tema "Teoría de la probabilidad", en el que la probabilidad de un evento juega un papel crucial. Por supuesto, no todo se tuvo en cuenta, pero, según el texto presentado, uno puede familiarizarse teóricamente con esta sección de las matemáticas. La ciencia en cuestión puede ser útil no solo en el trabajo profesional, sino también en la vida cotidiana. Con su ayuda, puede calcular cualquier posibilidad de cualquier evento.
El texto también menciona fechas significativas en la historia de la formación de la teoría de la probabilidad como ciencia, y los nombres de las personas cuyos trabajos se dedicaron a ella. Así es como la curiosidad humana llevó al hecho de que las personas aprendieron a calcular incluso eventos aleatorios. Antes solo les interesaba, pero hoy en día todo el mundo ya lo sabe. Y nadie dirá qué nos espera en el futuro, qué otros descubrimientos brillantes relacionados con la teoría en consideración se harán. Pero una cosa es segura: ¡la investigación no se detiene!
