Muchos, ante el concepto de "teoría de la probabilidad", se asustan, pensando que se trata de algo abrumador, muy complejo. Pero en realidad no es tan trágico. Hoy consideraremos el concepto básico de la teoría de la probabilidad, aprenderemos a resolver problemas usando ejemplos específicos.
Ciencia
¿Qué estudia una rama de las matemáticas como la "teoría de la probabilidad"? Toma nota de patrones de eventos y cantidades aleatorios. Por primera vez, los científicos se interesaron por este tema allá por el siglo XVIII, cuando estudiaban los juegos de azar. El concepto básico de la teoría de la probabilidad es un evento. Es cualquier hecho que se determina por experiencia u observación. Pero, ¿qué es la experiencia? Otro concepto básico de la teoría de la probabilidad. Significa que esta composición de circunstancias no fue creada por casualidad, sino con un propósito específico. En cuanto a la observación, aquí el propio investigador no participa en el experimento, sino que es simplemente un testigo de estos hechos, no influye de ninguna manera en lo que está sucediendo.
Eventos
Aprendimos que el concepto básico de la teoría de la probabilidad es un evento, pero no consideramos la clasificación. Todos ellos se dividen en las siguientes categorías:
- Confiable.
- Imposible.
- Al azar.
No importaqué tipo de eventos se observan o crean en el curso de la experiencia, todos están sujetos a esta clasificación. Ofrecemos familiarizarse con cada una de las especies por separado.
Cierto evento
Esta es una circunstancia ante la cual se ha tomado el conjunto de medidas necesarias. Para comprender mejor la esencia, es mejor dar algunos ejemplos. La física, la química, la economía y las matemáticas superiores están sujetas a esta ley. La teoría de la probabilidad incluye un concepto tan importante como un evento determinado. Estos son algunos ejemplos:
- Trabajamos y recibimos una remuneración en forma de salario.
- Aprobamos bien los exámenes, aprobamos la competencia, por eso recibimos una recompensa en forma de admisión a una institución educativa.
- Invertimos dinero en el banco, lo recuperaremos si es necesario.
Tales eventos son confiables. Si hemos cumplido con todas las condiciones necesarias, definitivamente obtendremos el resultado esperado.
Eventos imposibles
Ahora estamos considerando elementos de la teoría de la probabilidad. Proponemos pasar a una explicación del siguiente tipo de evento, a saber, lo imposible. Primero, especifiquemos la regla más importante: la probabilidad de un evento imposible es cero.
No puedes desviarte de esta redacción al resolver problemas. Para aclarar, aquí hay ejemplos de tales eventos:
- El agua se congeló a más diez (eso es imposible).
- La f alta de electricidad no afecta en modo alguno a la producción (tan imposible como en el ejemplo anterior).
Más ejemplosNo vale la pena citarlo, ya que los descritos anteriormente reflejan muy claramente la esencia de esta categoría. El evento imposible nunca ocurrirá durante la experiencia bajo ninguna circunstancia.
Eventos aleatorios
Estudiando los elementos de la teoría de la probabilidad, se debe prestar especial atención a este tipo particular de evento. Eso es lo que la ciencia está estudiando. Como resultado de la experiencia, algo puede suceder o no. Además, la prueba se puede repetir un número ilimitado de veces. Ejemplos vívidos son:
- Lanzar una moneda al aire es una experiencia o una prueba, la cabeza es un evento.
- Sacar a ciegas una bola de una bolsa es una prueba, atrapar una bola roja es un evento y así sucesivamente.
Puede haber un número ilimitado de tales ejemplos, pero, en general, la esencia debe ser clara. Para resumir y sistematizar el conocimiento adquirido sobre los eventos, se proporciona una tabla. La teoría de la probabilidad estudia solo el último tipo de todos los presentados.
| título | definición | ejemplo |
| Confiable | Eventos que ocurren con 100% de garantía bajo ciertas condiciones. | Admisión a una institución educativa con un buen examen de ingreso. |
| Imposible | Eventos que nunca ocurrirán bajo ninguna circunstancia. | Está nevando a una temperatura de más de treinta grados centígrados. |
| Al azar | Un evento que puede ocurrir o no durante un experimento/prueba. | Acertar o fallar al lanzar una pelota de baloncesto al aro. |
Leyes
La teoría de la probabilidad es una ciencia que estudia la posibilidad de que ocurra un evento. Como los demás, tiene algunas reglas. Existen las siguientes leyes de la teoría de la probabilidad:
- Convergencia de sucesiones de variables aleatorias.
- La ley de los grandes números.
Al calcular la posibilidad de un complejo, puedes usar un complejo de eventos simples para lograr el resultado de una manera más fácil y rápida. Tenga en cuenta que las leyes de la teoría de la probabilidad se prueban fácilmente con la ayuda de algunos teoremas. Comencemos con la primera ley.
Convergencia de sucesiones de variables aleatorias
Tenga en cuenta que hay varios tipos de convergencia:
- La secuencia de variables aleatorias converge en probabilidad.
- Casi imposible.
- Convergencia RMS.
- Convergencia en la distribución.
Entonces, sobre la marcha, es muy difícil llegar al fondo. Aquí hay algunas definiciones para ayudarle a entender este tema. Comencemos con el primer vistazo. Una sucesión se dice convergente en probabilidad si se cumple la siguiente condición: n tiende a infinito, el número al que tiende la sucesión es mayor que cero y cercano a uno.
Pasando a la siguiente vista, casi seguro. Ellos dijeron esola secuencia converge casi con seguridad a una variable aleatoria con n tendiendo a infinito y P tendiendo a un valor cercano a uno.
El siguiente tipo es la convergencia de raíz cuadrada media. Cuando se utiliza la convergencia SC, el estudio de los procesos aleatorios vectoriales se reduce al estudio de sus procesos aleatorios coordinados.
Queda el último tipo, analicémoslo brevemente para pasar directamente a la resolución de problemas. La convergencia de distribución tiene otro nombre: "débil", explicaremos por qué a continuación. La convergencia débil es la convergencia de las funciones de distribución en todos los puntos de continuidad de la función de distribución límite.
Asegúrese de cumplir la promesa: la convergencia débil difiere de todo lo anterior en que la variable aleatoria no está definida en el espacio de probabilidad. Esto es posible porque la condición se forma exclusivamente usando funciones de distribución.
Ley de los grandes números
Excelentes ayudantes para probar esta ley serán los teoremas de la teoría de la probabilidad, tales como:
- Desigualdad de Chebyshev.
- Teorema de Chebyshev.
- Teorema generalizado de Chebyshev.
- Teorema de Markov.
Si consideramos todos estos teoremas, entonces esta pregunta puede extenderse por varias docenas de hojas. Nuestra tarea principal es aplicar la teoría de la probabilidad en la práctica. Te invitamos a hacerlo ahora mismo. Pero antes de eso, consideremos los axiomas de la teoría de la probabilidad, serán los principales asistentes en la resolución de problemas.
Axiomas
Ya conocimos al primero cuando hablamos del evento imposible. Recordemos: la probabilidad de un evento imposible es cero. Dimos un ejemplo muy vívido y memorable: nevó a una temperatura del aire de treinta grados centígrados.
El segundo suena así: un evento confiable ocurre con una probabilidad igual a uno. Ahora mostremos cómo escribirlo usando lenguaje matemático: P(B)=1.
Tercero: Un evento aleatorio puede o no ocurrir, pero la posibilidad siempre va de cero a uno. Cuanto más cerca esté el valor de uno, mayor será la probabilidad; si el valor se aproxima a cero, la probabilidad es muy baja. Escribamos esto en lenguaje matemático: 0<Р(С)<1.
Consideremos el último y cuarto axioma, que suena así: la probabilidad de la suma de dos eventos es igual a la suma de sus probabilidades. Escribimos en lenguaje matemático: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Los axiomas de la teoría de la probabilidad son las reglas más simples que son fáciles de recordar. Intentemos resolver algunos problemas basándonos en los conocimientos adquiridos.
Boleto de lotería
Primero, considere el ejemplo más simple: la lotería. Imagina que compraste un boleto de lotería para la buena suerte. ¿Cuál es la probabilidad de que gane al menos veinte rublos? En total, mil boletos participan en la circulación, uno de los cuales tiene un premio de quinientos rublos, diez de cien rublos, cincuenta de veinte rublos y cien de cinco. Los problemas en la teoría de la probabilidad se basan en encontrar la posibilidadbuena suerte. Ahora juntos analizaremos la solución de la tarea presentada anteriormente.
Si denotamos con la letra A una ganancia de quinientos rublos, entonces la probabilidad de obtener A será de 0,001. ¿Cómo lo conseguimos? Solo necesita dividir el número de boletos "afortunados" por su número total (en este caso: 1/1000).
B es una ganancia de cien rublos, la probabilidad será de 0,01. Ahora actuamos según el mismo principio que en la acción anterior (10/1000)
C - las ganancias equivalen a veinte rublos. Encuentra la probabilidad, es igual a 0.05.
El resto de entradas no nos interesan, ya que su fondo de premios es inferior al especificado en las condiciones. Apliquemos el cuarto axioma: La probabilidad de ganar al menos veinte rublos es P(A)+P(B)+P(C). La letra P denota la probabilidad de que ocurra este evento, ya las hemos encontrado en los pasos anteriores. Solo queda agregar los datos necesarios, en la respuesta obtenemos 0, 061. Este número será la respuesta a la pregunta de la tarea.
Mazo de cartas
Los problemas de la teoría de la probabilidad pueden ser más complejos, por ejemplo, tome la siguiente tarea. Ante ti hay una baraja de treinta y seis cartas. Tu tarea es sacar dos cartas seguidas sin mezclar la pila, la primera y la segunda carta deben ser ases, el palo no importa.
Primero, hallemos la probabilidad de que la primera carta sea un as, para ello dividimos cuatro entre treinta y seis. Lo dejaron de lado. Sacamos la segunda carta, será un as con una probabilidad de tres treinta y cinco. La probabilidad del segundo evento depende de qué carta sacamos primero, nos interesa¿Fue un as o no? De ello se deduce que el evento B depende del evento A.
El siguiente paso es encontrar la probabilidad de implementación simultánea, es decir, multiplicamos A y B. Su producto se encuentra de la siguiente manera: la probabilidad de un evento se multiplica por la probabilidad condicional de otro, que calculamos, asumiendo que ocurrió el primer evento, es decir, con la primera carta sacamos un as.
Para aclarar todo, designemos un elemento como la probabilidad condicional de un evento. Se calcula suponiendo que se ha producido el evento A. Calculado de la siguiente manera: P(B/A).
Continuar resolviendo nuestro problema: P(AB)=P(A)P(B/A) o P (AB)=P(B)P(A/B). La probabilidad es (4/36)((3/35)/(4/36). Calcula redondeando a las centésimas. Tenemos: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. La probabilidad de que saquemos dos ases seguidos es nueve centésimas. El valor es muy pequeño, se deduce que la probabilidad de que ocurra el evento es extremadamente pequeña.
Número olvidado
Proponemos analizar algunas opciones más para tareas que son estudiadas por la teoría de la probabilidad. Ya has visto ejemplos de cómo resolver algunos de ellos en este artículo, intentemos resolver el siguiente problema: el niño olvidó el último dígito del número de teléfono de su amigo, pero como la llamada era muy importante, comenzó a marcar todo por turno. Necesitamos calcular la probabilidad de que llame no más de tres veces. La solución al problema es la más simple si se conocen las reglas, leyes y axiomas de la teoría de la probabilidad.
Antes de mirarsolución, trate de resolverlo usted mismo. Sabemos que el último dígito puede ser del cero al nueve, es decir, son diez valores en total. La probabilidad de acertar es 1/10.
A continuación, debemos considerar las opciones para el origen del evento, supongamos que el niño acertó e inmediatamente anotó la correcta, la probabilidad de tal evento es 1/10. La segunda opción: la primera llamada es un error y la segunda está en el objetivo. Calculamos la probabilidad de tal evento: multiplicamos 9/10 por 1/9, como resultado también obtenemos 1/10. La tercera opción: la primera y la segunda llamada resultaron ser en la dirección incorrecta, solo desde la tercera el chico llegó a donde quería. Calculamos la probabilidad de tal evento: multiplicamos 9/10 por 8/9 y por 1/8, obtenemos 1/10 como resultado. De acuerdo con la condición del problema, no nos interesan otras opciones, por lo que nos queda sumar los resultados, como resultado tenemos 3/10. Respuesta: La probabilidad de que el niño llame no más de tres veces es 0.3.
Tarjetas con números
Hay nueve cartas frente a ti, en cada una de las cuales está escrito un número del uno al nueve, los números no se repiten. Se colocaron en una caja y se mezclaron completamente. Necesitas calcular la probabilidad de que
- saldrá un número par;
- dos dígitos.
Antes de proceder a la solución, establezcamos que m es el número de casos exitosos y n es el número total de opciones. Calcula la probabilidad de que el número sea par. No será difícil calcular que hay cuatro números pares, este será nuestro m, hay nueve opciones en total, es decir, m=9. Entonces la probabilidades igual a 0, 44 o 4/9.
Considere el segundo caso: el número de opciones es nueve y no puede haber resultados exitosos en absoluto, es decir, m es igual a cero. La probabilidad de que la carta extraída contenga un número de dos dígitos también es cero.
