El estudio de las funciones y sus gráficas es un tema al que se le da especial atención en el marco del currículo de secundaria. Algunos conceptos básicos de análisis matemático - diferenciación - se incluyen en el nivel de perfil del examen de matemáticas. Algunos escolares tienen problemas con este tema, ya que confunden las gráficas de la función y la derivada, y además se olvidan de los algoritmos. Este artículo cubrirá los principales tipos de tareas y cómo resolverlas.
¿Cuál es el valor de la función?
Una función matemática es una ecuación especial. Establece una relación entre números. La función depende del valor del argumento.
El valor de la función se calcula según la fórmula dada. Para ello, sustituya cualquier argumento que corresponda al rango de valores válidos en esta fórmula en lugar de x y realice las operaciones matemáticas necesarias. ¿Qué?
¿Cómo puedes encontrar el valor más pequeño de una función,usando una función gráfica?
La representación gráfica de la dependencia de una función en un argumento se llama gráfico de función. Se construye en un plano con un determinado segmento unitario, donde el valor de una variable o argumento se representa a lo largo del eje de abscisas horizontales y el valor de la función correspondiente a lo largo del eje de ordenadas verticales.
Cuanto mayor sea el valor del argumento, más a la derecha se encuentra en el gráfico. Y cuanto mayor sea el valor de la función en sí, mayor será el punto.
¿Qué dice esto? El valor más pequeño de la función será el punto que se encuentre más bajo en el gráfico. Para encontrarlo en un segmento del gráfico, necesita:
1) Encuentra y marca los extremos de este segmento.
2) Determine visualmente qué punto de este segmento se encuentra más bajo.
3) En respuesta, escriba su valor numérico, que puede determinarse proyectando un punto sobre el eje y.
Puntos extremos en el gráfico de derivadas. ¿Dónde buscar?
Sin embargo, al resolver problemas, a veces se da un gráfico no de una función, sino de su derivada. Para evitar cometer un error estúpido accidentalmente, es mejor leer atentamente las condiciones, ya que depende de dónde necesite buscar los puntos extremos.
Entonces, la derivada es la tasa instantánea de aumento de la función. De acuerdo con la definición geométrica, la derivada corresponde a la pendiente de la tangente, que se dibuja directamente en el punto dado.
Se sabe que en los puntos extremos la tangente es paralela al eje Ox. Esto significa que su pendiente es 0.
De esto podemos concluir que en los puntos extremos la derivada se encuentra en el eje x o se anula. Pero además, en estos puntos, la función cambia de dirección. Es decir, después de un período de aumento, comienza a disminuir y, en consecuencia, la derivada cambia de positiva a negativa. O viceversa.
Si la derivada se vuelve negativa de positiva, este es el punto máximo. Si de negativo se vuelve positivo - el punto mínimo.
Importante: si necesita especificar un punto mínimo o máximo en la tarea, en respuesta debe escribir el valor correspondiente a lo largo del eje de abscisas. Pero si necesita encontrar el valor de la función, primero debe sustituir el valor correspondiente del argumento en la función y calcularlo.
¿Cómo encontrar puntos extremos usando la derivada?
Los ejemplos considerados se refieren principalmente a la tarea número 7 del examen, que consiste en trabajar con una gráfica de derivada o antiderivada. Pero la tarea 12 del USE, para encontrar el valor más pequeño de una función en un segmento (a veces el más grande), se realiza sin dibujos y requiere habilidades básicas en análisis matemático.
Para realizarlo, debes poder encontrar los puntos extremos usando la derivada. El algoritmo para encontrarlos es el siguiente:
- Encuentra la derivada de una función.
- Ponlo a cero.
- Encuentra las raíces de la ecuación.
- Comprobar si los puntos obtenidos son extremos o puntos de inflexión.
Para hacer esto, dibuja un diagrama y enlos intervalos resultantes determinan los signos de la derivada sustituyendo los números pertenecientes a los segmentos en la derivada. Si al resolver la ecuación obtuviste raíces de doble multiplicidad, estos son puntos de inflexión.
Aplicando los teoremas, determina qué puntos son mínimos y cuáles son máximos
Calcular el valor más pequeño de una función usando una derivada
Sin embargo, habiendo realizado todas estas acciones, encontraremos los valores de los puntos mínimo y máximo a lo largo del eje x. Pero, ¿cómo encontrar el valor más pequeño de una función en un segmento?
¿Qué se necesita hacer para encontrar el número que corresponde a la función en un punto en particular? Debe sustituir el valor del argumento en esta fórmula.
Los puntos de mínimo y máximo corresponden al valor más pequeño y más grande de la función en el segmento. Entonces, para encontrar el valor de la función, necesitas calcular la función usando los valores de x obtenidos.
¡Importante! Si la tarea requiere que especifique un punto mínimo o máximo, en respuesta debe escribir el valor correspondiente a lo largo del eje x. Pero si necesita encontrar el valor de la función, primero debe sustituir el valor correspondiente del argumento en la función y realizar las operaciones matemáticas necesarias.
¿Qué debo hacer si no hay mínimos en este segmento?
¿Pero cómo encontrar el valor más pequeño de una función en un segmento sin puntos extremos?
Esto significa que la función decrece o aumenta monótonamente sobre ella. Luego, debe sustituir el valor de los puntos extremos de este segmento en la función. Hay dos maneras.
1) Habiendo calculadoderivada y los intervalos en los que es positiva o negativa, para concluir si la función es decreciente o creciente en un segmento dado.
De acuerdo con ellos, sustituye un valor mayor o menor del argumento en la función.
2) Simplemente sustituya ambos puntos en la función y compare los valores de la función resultante.
En qué tareas encontrar la derivada es opcional
Como regla general, en las asignaciones USE, aún necesita encontrar la derivada. Solo hay un par de excepciones.
1) Parábola.
El vértice de la parábola se encuentra mediante la fórmula.
Si a < 0, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia abajo. Y su pico es el punto máximo.
Si a > 0, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, el vértice es el punto mínimo.
Habiendo calculado el punto de vértice de la parábola, debes sustituir su valor en la función y calcular el valor correspondiente de la función.
2) Función y=tg x. O y=ctg x.
Estas funciones son monótonamente crecientes. Por lo tanto, cuanto mayor sea el valor del argumento, mayor será el valor de la función misma. A continuación, veremos cómo encontrar el valor más grande y más pequeño de una función en un segmento con ejemplos.
Principales tipos de tareas
Tarea: el valor mayor o menor de la función. Ejemplo en el gráfico.
En la imagen se ve la gráfica de la derivada de la función f(x) en el intervalo [-6; 6]. ¿En qué punto del segmento [-3; 3] f(x) toma el valor más pequeño?
Entonces, para empezar, debe seleccionar el segmento especificado. En él, la función una vez toma un valor cero y cambia su signo: este es el punto extremo. Dado que la derivada de negativo se vuelve positiva, significa que este es el punto mínimo de la función. Este punto corresponde al valor del argumento 2.
Respuesta: 2.
Continúe viendo ejemplos. Tarea: encuentra el valor mayor y menor de la función en el segmento.
Encuentre el valor más pequeño de la función y=(x - 8) ex-7 en el intervalo [6; 8].
1. Calcula la derivada de una función compleja.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Iguale la derivada resultante a cero y resuelva la ecuación.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, o ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, sin raíces
3. Sustituye el valor de los puntos extremos en la función, así como las raíces obtenidas de la ecuación.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Respuesta: -1.
Entonces, en este artículo, se consideró la teoría principal sobre cómo encontrar el valor más pequeño de una función en un segmento, lo cual es necesario para resolver con éxito tareas USE en matemáticas especializadas. También elementos de matemática. El análisis se utiliza al resolver tareas de la parte C del examen, pero obviamente representan un nivel diferente de complejidad, y los algoritmos para sus soluciones son difíciles de encajar en el marco de un material.
