La capacidad de trabajar con expresiones numéricas que contienen una raíz cuadrada es necesaria para la solución exitosa de una serie de problemas de la OGE y la USE. En estos exámenes, suele ser suficiente una comprensión básica de lo que es la extracción de raíz y cómo se realiza en la práctica.
Definición
La raíz n-ésima de un número X es un número x para el cual la igualdad es verdadera: xn =X.
Encontrar el valor de una expresión con una raíz significa encontrar x dados X y n.
La raíz cuadrada o, lo que es lo mismo, la segunda raíz de X - el número x para el que se cumple la igualdad: x2 =X.
Designación: ∛Х. Aquí 3 es el grado de la raíz, X es la expresión de la raíz. El signo '√' a menudo se denomina radical.
Si el número sobre la raíz no indica el grado, el valor predeterminado es el grado 2.
En un curso escolar para grados pares, las raíces negativas y las expresiones radicales generalmente no se consideran. Por ejemplo, no hay√-2, y para la expresión √4, la respuesta correcta es 2, a pesar de que (-2)2 también es igual a 4.
Racionalidad e irracionalidad de las raíces
La tarea más simple posible con una raíz es encontrar el valor de una expresión o probar su racionalidad.
Por ejemplo, calcula los valores √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 porque 52 =25;
- ∛8=2 porque 23 =8;
- ∛ - 125=-5 ya que (-5)3 =-125.
Las respuestas en los ejemplos dados son números racionales.
Cuando se trabaja con expresiones que no contienen constantes y variables literales, se recomienda realizar siempre dicha verificación utilizando la operación inversa de elevar a una potencia natural. Encontrar el número x elevado a la n-ésima potencia es equivalente a calcular el producto de n factores de x.
Hay muchas expresiones con una raíz cuyo valor es irracional, es decir, se escribe como una fracción infinita no periódica.
Por definición, los racionales son aquellos que se pueden expresar como una fracción común, y los irracionales son todos los demás números reales.
Estos incluyen √24, √0, 1, √101.
Si el libro de problemas dice: encuentra el valor de la expresión con raíz de 2, 3, 5, 6, 7, etc., es decir, de aquellos números naturales que no están contenidos en la tabla de cuadrados, entonces la respuesta correcta es √ 2 pueden estar presentes (a menos que se indique lo contrario).
Evaluando
En problemas conuna respuesta abierta, si es imposible encontrar el valor de una expresión con una raíz y escribirla como un número racional, el resultado debe dejarse como un radical.
Algunas tareas pueden requerir evaluación. Por ejemplo, compara 6 y √37. La solución requiere elevar al cuadrado ambos números y comparar los resultados. De dos números, es mayor aquel cuyo cuadrado es mayor. Esta regla funciona para todos los números positivos:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- significa √37 > 6.
De la misma forma se resuelven problemas en los que se deben ordenar varios números en orden ascendente o descendente.
Ejemplo: ordena 5, √6, √48, √√64 en orden ascendente.
Después de elevar al cuadrado, tenemos: 25, 6, 48, √64. Uno podría elevar al cuadrado todos los números nuevamente para compararlos con √64, pero es igual al número racional 8. 6 < 8 < 25 < 48, entonces la solución es: 48.
Simplificando la expresión
Sucede que es imposible encontrar el valor de una expresión con una raíz, por lo que debe simplificarse. La siguiente fórmula ayuda con esto:
√ab=√a√b.
La raíz del producto de dos números es igual al producto de sus raíces. Esta operación también requerirá la capacidad de factorizar un número.
En la etapa inicial, para acelerar el trabajo, se recomienda tener a mano una tabla de números primos y cuadrados. Estas mesas con frecuentesse recordará su uso en el futuro.
Por ejemplo, √242 es un número irracional, puedes convertirlo así:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Por lo general, el resultado se escribe como 11√2 (léase: once raíces de dos).
Si es difícil ver de inmediato en qué dos factores se debe descomponer un número para que se pueda extraer una raíz natural de uno de ellos, puede usar la descomposición completa en factores primos. Si el mismo número primo aparece dos veces en la expansión, se elimina del signo raíz. Cuando hay muchos factores, puede extraer la raíz en varios pasos.
Ejemplo: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). El número 2 aparece en la expansión 2 veces (de hecho, más de dos veces, pero aún nos interesan las dos primeras apariciones en la expansión).
Lo sacamos de debajo del signo raíz:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Repetir la misma acción:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
En la expresión radical restante, 2 y 3 ocurren una vez, por lo que resta sacar el factor 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
y realizar operaciones aritméticas:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Entonces, obtenemos √2400=20√6.
Si la tarea no establece explícitamente: "encontrar el valor de la expresión con una raíz cuadrada", entonces la elección,en qué forma dejar la respuesta (si extraer la raíz de debajo del radical) permanece con el estudiante y puede depender del problema que se está resolviendo.
Al principio, se imponen altos requisitos en el diseño de tareas, el cálculo, incluso oral o escrito, sin el uso de medios técnicos.
Solo después de un buen dominio de las reglas para trabajar con expresiones numéricas irracionales, tiene sentido pasar a expresiones literales más difíciles y resolver ecuaciones irracionales y calcular el rango de valores posibles de la expresión bajo el radical.
Los estudiantes encuentran este tipo de problema en el Examen Estatal Unificado de matemáticas, así como en el primer año de universidades especializadas cuando estudian análisis matemático y disciplinas afines.
