El mundo está organizado de tal manera que la solución de un gran número de problemas se reduce a encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces de las ecuaciones son importantes para describir varios patrones. Esto lo sabían incluso los agrimensores de la antigua Babilonia. Los astrónomos e ingenieros también se vieron obligados a resolver tales problemas. En el siglo VI d. C., el científico indio Aryabhata desarrolló los conceptos básicos para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. Las fórmulas se completaron en el siglo XIX.
Conceptos generales
Te invitamos a familiarizarte con las regularidades básicas de las igualdades cuadráticas. En general, la igualdad se puede escribir de la siguiente manera:
ax2 + bx + c=0, El número de raíces de una ecuación cuadrática puede ser igual a uno o dos. Se puede hacer un análisis rápido usando el concepto de discriminante:
D=b2 - 4ac
Dependiendo del valor calculado, obtenemos:
- Cuando D > 0 hay dos raíces diferentes. La fórmula general para determinar las raíces de una ecuación cuadrática es (-b± √D) / (2a).
- D=0, en este caso la raíz es uno y corresponde al valor x=-b / (2a)
- D < 0, para un valor negativo del discriminante, no hay solución a la ecuación.
Nota: si el discriminante es negativo, la ecuación no tiene raíces solo en la región de los números reales. Si el álgebra se extiende al concepto de raíces complejas, entonces la ecuación tiene solución.
Demos una cadena de acciones que confirme la fórmula para encontrar raíces.
De la forma general de la ecuación se sigue:
ax2 + bx=-c
Multiplicamos las partes derecha e izquierda por 4a y sumamos b2, obtenemos
4a2x2 + 4abx + b2 =-4ac+b 2
Transforma el lado izquierdo en el cuadrado del polinomio (2ax + b)2. Extraemos la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación 2ax + b=-b ± √(-4ac + b2), trasladamos el coeficiente b al lado derecho, obtenemos:
2ax=-b ± √(-4ac + b2)
De aquí sigue:
x=(-b ± √(b2 - 4ac))
Lo que se requiere mostrar.
Caso especial
En algunos casos, la solución del problema se puede simplificar. Entonces, para un coeficiente par b obtenemos una fórmula más simple.
Denota k=1/2b, entonces la fórmula de la forma general de las raíces de la ecuación cuadrática toma la forma:
x=(-k ± √(k2 -ac)) / a
Cuando D=0, obtenemos x=-k / a
Otro caso especial es la solución de la ecuación con a=1.
Para la forma x2 + bx + c=0 las raíces serán x=-k ± √(k2 - c) con discriminante mayor que 0. Para el caso en que D=0, la raíz se determinará mediante una fórmula simple: x=-k.
Usar gráficos
Cualquier persona, sin siquiera saberlo, se enfrenta constantemente a fenómenos físicos, químicos, biológicos e incluso sociales que están bien descritos por una función cuadrática.
Nota: la curva construida sobre la base de una función cuadrática se llama parábola.
Estos son algunos ejemplos.
- Al calcular la trayectoria de un proyectil, se utiliza la propiedad de movimiento a lo largo de una parábola de un cuerpo disparado en un ángulo con el horizonte.
- La propiedad de una parábola para distribuir uniformemente la carga es ampliamente utilizada en arquitectura.
Entendiendo la importancia de la función parabólica, averigüemos cómo usar el gráfico para explorar sus propiedades, usando los conceptos de "discriminante" y "raíces de una ecuación cuadrática".
Dependiendo del valor de los coeficientes a y b, solo hay seis opciones para la posición de la curva:
- El discriminante es positivo, ayb tienen signos diferentes. Las ramas de la parábola miran hacia arriba, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones.
- El discriminante y el coeficiente b son iguales a cero, el coeficiente a es mayor que cero. La gráfica está en la zona positiva, la ecuación tiene 1 raíz.
- El discriminante y todos los coeficientes son positivos. La ecuación cuadrática no tiene solución.
- El discriminante y el coeficiente a son negativos, b es mayor que cero. Las ramas del gráfico están dirigidas hacia abajo, la ecuación tiene dos raíces.
- Discriminante ycoeficiente b son iguales a cero, el coeficiente a es negativo. La parábola mira hacia abajo, la ecuación tiene una raíz.
- Los valores del discriminante y todos los coeficientes son negativos. No hay soluciones, los valores de la función están completamente en la zona negativa.
Nota: no se considera la opción a=0, ya que en este caso la parábola degenera en línea recta.
Todo lo anterior está bien ilustrado en la siguiente figura.
Ejemplos de resolución de problemas
Condición: usando las propiedades generales, haz una ecuación cuadrática cuyas raíces sean iguales entre sí.
Solución:
según la condición del problema x1 =x2, o -b + √(b2- 4ac) / (2a)=-b + √(b2 - 4ac) / (2a). Simplificando la notación:
-b + √(b2 - 4ac) / (2a) - (-b - √(b2 - 4ac) / (2a))=0, abre los paréntesis y da términos semejantes. La ecuación se convierte en 2√(b2 - 4ac)=0. Esta afirmación es verdadera cuando b2 - 4ac=0, por lo tanto, b 2=4ac, entonces el valor b=2√(ac) se sustituye en la ecuación
ax2 + 2√(ac)x + c=0, en forma reducida obtenemos x2 + 2√(c / a)x + c=0.
Respuesta:
para a distinto de 0 y cualquier c, solo hay una solución si b=2√(c / a).
Las ecuaciones cuadráticas, a pesar de su simplicidad, son de gran importancia en los cálculos de ingeniería. Casi cualquier proceso físico se puede describir con alguna aproximación usandofunciones de potencia de orden n. La ecuación cuadrática será la primera aproximación de este tipo.
