Algunos problemas matemáticos requieren la capacidad de calcular la raíz cuadrada. Estos problemas incluyen la resolución de ecuaciones de segundo orden. En este artículo, presentamos un método efectivo para calcular raíces cuadradas y lo usamos cuando trabajamos con fórmulas para las raíces de una ecuación cuadrática.
¿Qué es una raíz cuadrada?
En matemáticas, este concepto corresponde al símbolo √. Los datos históricos dicen que comenzó a usarse por primera vez alrededor de la primera mitad del siglo XVI en Alemania (el primer trabajo alemán sobre álgebra de Christoph Rudolf). Los científicos creen que este símbolo es una letra latina transformada r (raíz significa "raíz" en latín).
La raíz de cualquier número es igual a tal valor, cuyo cuadrado corresponde a la expresión de la raíz. En el lenguaje matemático, esta definición se verá así: √x=y si y2=x.
La raíz de un número positivo (x > 0) también esun número positivo (y > 0), pero si la raíz se toma de un número negativo (x < 0), entonces su resultado ya será un número complejo, incluida la unidad imaginaria i.
Aquí hay dos ejemplos simples:
√9=3 porque 32 =9; √(-9)=3i porque i2=-1.
Fórmula iterativa de Heron para encontrar raíces cuadradas
Los ejemplos anteriores son muy simples y calcular las raíces en ellos no es difícil. Las dificultades comienzan a aparecer ya al encontrar los valores de la raíz para cualquier valor que no se puede representar como un cuadrado de un número natural, por ejemplo √10, √11, √12, √13, sin mencionar el hecho de que en la práctica. es necesario encontrar raíces para números no enteros: por ejemplo √(12, 15), √(8, 5) y así sucesivamente.
En todos los casos anteriores, se debe usar un método especial para calcular la raíz cuadrada. Actualmente, se conocen varios métodos de este tipo: por ejemplo, expansión en una serie de Taylor, división por una columna y algunos otros. De todos los métodos conocidos, quizás el más simple y efectivo es el uso de la fórmula iterativa de Heron, que también se conoce como el método babilónico para determinar raíces cuadradas (hay evidencia de que los antiguos babilonios lo usaban en sus cálculos prácticos).
Sea necesario determinar el valor de √x. La fórmula para encontrar la raíz cuadrada es la siguiente:
an+1=1/2(a+x/a), donde limn->∞(a)=> x.
Descifrar esta notación matemática. Para calcular √x, debe tomar un número a0 (puede ser arbitrario, pero para obtener un resultado rápido, debe elegirlo de modo que (a0) 2 estaba lo más cerca posible de x, luego sustitúyalo en la fórmula de raíz cuadrada especificada y obtenga un nuevo número a1, que ya estar más cerca del valor deseado, es necesario sustituir a1 en la expresión y obtener a2 Este procedimiento debe repetirse hasta obtener la precisión requerida.
Un ejemplo de aplicación de la fórmula iterativa de Heron
El algoritmo descrito anteriormente para obtener la raíz cuadrada de algún número dado puede sonar bastante complicado y confuso para muchos, pero en realidad todo resulta mucho más sencillo, ya que esta fórmula converge muy rápidamente (especialmente si un número de la suerte se elige a0).
Tomemos un ejemplo simple: necesitamos calcular √11. Elegimos a0=3, ya que 32=9, que está más cerca de 11 que 42=16. Sustituyendo en la fórmula, obtenemos:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
No tiene sentido continuar con los cálculos, ya que hemos obtenido que a2 y a3 comienzan a diferir solo en el 5° decimal lugar. Por lo tanto, fue suficiente aplicar solo 2 veces la fórmula paracalcule √11 dentro de 0.0001.
Actualmente, las calculadoras y las computadoras son muy utilizadas para calcular raíces, sin embargo, es útil recordar la fórmula marcada para poder calcular manualmente su valor exacto.
Ecuaciones de segundo orden
La comprensión de lo que es una raíz cuadrada y la capacidad de calcularla se utilizan para resolver ecuaciones cuadráticas. Estas ecuaciones son igualdades con una incógnita, cuya forma general se muestra en la siguiente figura.
Aquí c, b y a son algunos números, y a no debe ser igual a cero, y los valores de c y b pueden ser completamente arbitrarios, incluido el cero.
Cualquier valor de x que satisfaga la igualdad indicada en la figura se llama su raíz (este concepto no debe confundirse con la raíz cuadrada √). Dado que la ecuación bajo consideración tiene el segundo orden (x2), entonces no puede haber más de dos números para sus raíces. Veamos cómo encontrar estas raíces más adelante en el artículo.
Encontrar las raíces de una ecuación cuadrática (fórmula)
Este método para resolver el tipo considerado de igualdades también se llama universal, o el método a través del discriminante. Se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. La fórmula para el discriminante y las raíces de la ecuación cuadrática es la siguiente:
Muestra que las raíces dependen del valor de cada uno de los tres coeficientes de la ecuación. Además, el cálculox1 difiere del cálculo x2 solo por el signo que precede a la raíz cuadrada. La expresión radical, que es igual a b2 - 4ac, no es más que el discriminante de la igualdad considerada. El discriminante en la fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática juega un papel importante porque determina el número y tipo de soluciones. Entonces, si es cero, entonces habrá una sola solución, si es positivo, entonces la ecuación tiene dos raíces reales, finalmente, el discriminante negativo lleva a dos raíces complejas x1 y x 2.
Teorema de Vieta o algunas propiedades de las raíces de ecuaciones de segundo orden
A finales del siglo XVI, uno de los fundadores del álgebra moderna, el francés Francois Viet, estudiando ecuaciones de segundo orden, pudo obtener las propiedades de sus raíces. Matemáticamente, se pueden escribir así:
x1 + x2=-b / a y x1 x 2=c / a.
Ambas igualdades pueden ser obtenidas fácilmente por cualquier persona, para ello solo es necesario realizar las operaciones matemáticas adecuadas con las raíces obtenidas mediante la fórmula con el discriminante.
La combinación de estas dos expresiones puede llamarse legítimamente la segunda fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática, que permite adivinar sus soluciones sin usar el discriminante. Cabe señalar aquí que aunque ambas expresiones son siempre válidas, es conveniente usarlas para resolver una ecuación solo si se puede factorizar.
La tarea de consolidar los conocimientos adquiridos
Resolvamos un problema matemático en el que demostraremos todas las técnicas discutidas en el artículo. Las condiciones del problema son las siguientes: necesitas encontrar dos números cuyo producto sea -13 y la suma sea 4.
Esta condición recuerda inmediatamente el teorema de Vieta, aplicando las fórmulas de la suma de raíces cuadradas y su producto, escribimos:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c/a=-13.
Suponiendo que a=1, entonces b=-4 y c=-13. Estos coeficientes nos permiten escribir una ecuación de segundo orden:
x2 - 4x - 13=0.
Utilizamos la fórmula con el discriminante, obtenemos las siguientes raíces:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Es decir, la tarea se reducía a encontrar el número √68. Tenga en cuenta que 68=417, luego usando la propiedad de la raíz cuadrada, obtenemos: √68=2√17.
Ahora usemos la fórmula de raíz cuadrada considerada: a0=4, entonces:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
No hay necesidad de calcular a3 porque los valores encontrados difieren solo en 0.02. Por lo tanto, √68=8.246. Sustituyéndolo en la fórmula por x 1, 2, obtenemos:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 y x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Como puedes ver, la suma de los números encontrados es de hecho 4, pero si encuentras su producto, será igual a -12,999, que satisface la condición del problema con una precisión de 0.001.
