Las ecuaciones cuadráticas suelen aparecer en una serie de problemas de matemáticas y física, por lo que todos los estudiantes deberían poder resolverlas. Este artículo detalla los principales métodos para resolver ecuaciones cuadráticas y también proporciona ejemplos de su uso.
¿Qué ecuación se llama cuadrática
En primer lugar, responderemos la pregunta de este párrafo para comprender mejor de qué se tratará el artículo. Entonces, la ecuación cuadrática tiene la siguiente forma general: c + bx+ax2=0, donde a, b, c son unos números, que se llaman coeficientes. Aquí a≠0 es una condición obligatoria, de lo contrario la ecuación indicada degenera en una lineal. Los coeficientes restantes (b, c) pueden tomar absolutamente cualquier valor, incluido cero. Por lo tanto, expresiones como ax2=0, donde b=0 y c=0, o c+ax2=0, donde b=0, o bx+ax2=0, donde c=0 también son ecuaciones cuadráticas, que se llaman incompletas, ya que el coeficiente lineal b en ellas es cero o ceroes un término libre c, o ambos desaparecen.
Una ecuación en la que a=1 se llama reducida, es decir, tiene la forma: x2 + с/a + (b/a)x=0.
La solución de una ecuación cuadrática es encontrar tales valores de x que satisfagan su igualdad. Estos valores se llaman raíces. Dado que la ecuación en cuestión es una expresión de segundo grado, esto significa que el número máximo de sus raíces no puede exceder de dos.
Qué métodos existen para resolver ecuaciones cuadradas
En general, hay 4 métodos de solución. Sus nombres se enumeran a continuación:
- Factoraje.
- Suma al cuadrado.
- Usando una fórmula conocida (mediante el discriminante).
- El método de solución es geométrico.
Como puede ver en la lista anterior, los tres primeros métodos son algebraicos, por lo que se usan con más frecuencia que el último, que consiste en trazar una función.
Hay otra manera de resolver ecuaciones cuadradas utilizando el teorema de Vieta. Podría incluirse en el quinto lugar de la lista anterior, sin embargo, esto no se hace, ya que el teorema de Vieta es una simple consecuencia del tercer método.
Más adelante en el artículo consideraremos con más detalle los métodos de solución mencionados y también daremos ejemplos de su uso para encontrar las raíces de ecuaciones específicas.
Método 1. Factorización
Para este método en las matemáticas de ecuaciones cuadráticas, hay una hermosanombre: factorización. La esencia de este método es la siguiente: es necesario presentar la ecuación cuadrática como un producto de dos términos (expresiones), que deben ser iguales a cero. Después de tal representación, puede usar la propiedad del producto, que será igual a cero solo cuando uno o más (todos) de sus miembros sean cero.
Ahora considere la secuencia de acciones específicas que deben realizarse para encontrar las raíces de la ecuación:
- Mover todos los miembros a una parte de la expresión (por ejemplo, a la izquierda) para que solo quede 0 en su otra parte (derecha).
- Representa la suma de los términos en una parte de la ecuación como producto de dos ecuaciones lineales.
- Ajusta cada una de las expresiones lineales a cero y resuélvelas.
Como puede ver, el algoritmo de factorización es bastante simple, sin embargo, la mayoría de los estudiantes tienen dificultades durante la implementación del segundo punto, por lo que lo explicaremos con más detalle.
Para adivinar qué 2 expresiones lineales, cuando se multiplican entre sí, darán la ecuación cuadrática deseada, debes recordar dos reglas simples:
- Los coeficientes lineales de dos expresiones lineales, cuando se multiplican entre sí, deben dar el primer coeficiente de la ecuación cuadrática, es decir, el número a.
- Los términos libres de las expresiones lineales, cuando se multiplican, deben dar el número c de la ecuación deseada.
Después de seleccionar todos los números de factores, deben multiplicarse y, si dan la ecuación deseada, vaya al paso 3 enel algoritmo anterior; de lo contrario, debe cambiar los multiplicadores, pero debe hacerlo para que siempre se sigan las reglas anteriores.
Ejemplo de solución por método de factorización
Vamos a mostrar claramente cómo el algoritmo para resolver una ecuación cuadrática consiste en componer y encontrar raíces desconocidas. Sea una expresión arbitraria, por ejemplo, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Pasemos a su solución, observando la secuencia de puntos del 1 al 3, que se exponen en el párrafo anterior del artículo.
Item 1. Mueve todos los términos al lado izquierdo y organízalos en la secuencia clásica para una ecuación cuadrática. Tenemos la siguiente igualdad: 2x+(-8)+x2=0.
Ítem 2. Lo descomponemos en un producto de ecuaciones lineales. Dado que a=1 y c=-8, seleccionaremos, por ejemplo, un producto de este tipo (x-2)(x+4). Satisface las reglas para encontrar los factores esperados establecidas en el párrafo anterior. Si abrimos los corchetes, obtenemos: -8+2x+x2, es decir, obtenemos exactamente la misma expresión que en el lado izquierdo de la ecuación. Esto significa que adivinamos correctamente los multiplicadores y podemos continuar con el tercer paso del algoritmo.
Ítem 3. Igualando cada factor a cero, obtenemos: x=-4 y x=2.
Si hay alguna duda sobre el resultado, se recomienda verificar sustituyendo las raíces encontradas en la ecuación original. En este caso tenemos: 22+22-8=0 y 2(-4)+(-4)2 -8=0. Raíces encontradas correctamente.
Así, usando el método de factorización, encontramos que la ecuación dada tiene dos raíces de diferentetiene: 2 y -4.
Método 2. Complemento al cuadrado completo
En el álgebra de ecuaciones cuadradas no siempre se puede utilizar el método del multiplicador, ya que en el caso de valores fraccionarios de los coeficientes de la ecuación cuadrática surgen dificultades en la implementación del párrafo 2 del algoritmo.
El método del cuadrado completo, a su vez, es universal y se puede aplicar a ecuaciones cuadráticas de cualquier tipo. Su esencia es realizar las siguientes operaciones:
- Los términos de la ecuación que contienen los coeficientes a y b deben transferirse a una parte de la ecuación, y el término libre c a la otra.
- A continuación, se deben dividir las partes de la igualdad (derecha e izquierda) por el coeficiente a, es decir, presentar la ecuación en forma reducida (a=1).
- Suma los términos con los coeficientes a y b para representar como un cuadrado de una ecuación lineal. Dado que a \u003d 1, entonces el coeficiente lineal será igual a 1, en cuanto al término libre de la ecuación lineal, entonces debería ser igual a la mitad del coeficiente lineal de la ecuación cuadrática reducida. Una vez trazado el cuadrado de la expresión lineal, es necesario sumar el número correspondiente al lado derecho de la igualdad, donde se encuentra el término libre, que se obtiene al desarrollar el cuadrado.
- Saca la raíz cuadrada con los signos "+" y "-" y resuelve la ecuación lineal ya obtenida.
El algoritmo descrito puede parecer a primera vista bastante complicado, sin embargo, en la práctica es más fácil de implementar que el método de factorización.
Un ejemplo de una solución usando el complemento cuadrático completo
Demos un ejemplo de una ecuación cuadrática para entrenar su solución por el método descrito en el párrafo anterior. Sea dada la ecuación cuadrática -10 - 6x+5x2=0. Comenzamos a resolverla siguiendo el algoritmo descrito anteriormente.
Ítem 1. Usamos el método de transferencia cuando resolvemos ecuaciones cuadradas, obtenemos: - 6x+5x2=10.
Punto 2. La forma reducida de esta ecuación se obtiene dividiendo por el número 5 de cada uno de sus miembros (si ambas partes se dividen o multiplican por el mismo número, entonces se conserva la igualdad). Como resultado de las transformaciones, obtenemos: x2 - 6/5x=2.
Ítem 3. La mitad del coeficiente - 6/5 es -6/10=-3/5, usa este número para completar el cuadrado, obtenemos: (-3/5+x) 2 . La expandimos y el término libre resultante se debe restar del lado izquierdo de la igualdad para satisfacer la forma original de la ecuación cuadrática, lo que equivale a sumarlo al lado derecho. Como resultado, obtenemos: (-3/5+x)2=59/25.
Ítem 4. Calcula la raíz cuadrada con signo positivo y negativo y encuentra las raíces: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Las dos raíces encontradas tienen los siguientes valores: x1=(√59+3)/5 y x1=(3-√59)/5.
Dado que los cálculos realizados están relacionados con las raíces, existe una alta probabilidad de cometer un error. Por lo tanto, se recomienda verificar la corrección de las raíces x2 y x1. Obtenemos x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Sustituir ahorax2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Por lo tanto, hemos demostrado que las raíces encontradas de la ecuación son verdaderas.
Método 3. Aplicación de la conocida fórmula
Este método de resolución de ecuaciones cuadráticas es quizás el más sencillo, ya que consiste en sustituir los coeficientes en una fórmula conocida. Para usarlo, no necesita pensar en compilar algoritmos de solución, es suficiente recordar solo una fórmula. Se muestra en la imagen de arriba.
En esta fórmula, la expresión radical (b2-4ac) se denomina discriminante (D). De su valor depende de qué raíces se obtengan. Hay 3 casos:
- D>0, entonces la raíz de dos ecuaciones tiene números reales y diferentes.
- D=0, luego se obtiene la raíz, que se puede calcular a partir de la expresión x=-b/(a2).
- D<0, obtienes dos raíces imaginarias diferentes, que se representan como números complejos. Por ejemplo, el número 3-5i es complejo, mientras que la unidad imaginaria i satisface la propiedad: i2=-1.
Un ejemplo de solución calculando el discriminante
Demos un ejemplo de una ecuación cuadrática para practicar usando la fórmula anterior. Encuentra las raíces para -3x2-6+3x+4x=0. Primero, calcula el valor del discriminante, obtenemos: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Como se obtiene D<0, significa que las raíces de la ecuación considerada son números complejos. Encontrémoslos sustituyendo el valor encontrado D en la fórmula dada en el párrafo anterior (también se muestra en la foto de arriba). Obtenemos: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Método 4. Uso de la función Gráfico
También se le llama método gráfico para resolver ecuaciones cuadradas. Cabe decir que, por regla general, no se utiliza para el análisis cuantitativo, sino cualitativo de la ecuación en cuestión.
La esencia del método es trazar una función cuadrática y=f(x), que es una parábola. Luego, es necesario determinar en qué puntos la parábola corta al eje x (X), serán las raíces de la ecuación correspondiente.
Para saber si una parábola cortará el eje X, basta con saber la posición de su mínimo (máximo) y la dirección de sus ramas (pueden aumentar o disminuir). Hay dos propiedades de esta curva para recordar:
- Si a>0 - las parábolas de la rama se dirigen hacia arriba, por el contrario, si a<0, entonces bajan.
- La coordenada mínima (máxima) de una parábola siempre es x=-b/(2a).
Por ejemplo, necesitas determinar si la ecuación -4x+5x2+10=0 tiene raíces, la parábola correspondiente estará dirigida hacia arriba, ya que=5>0. Su extremo tiene las coordenadas: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Dado que el mínimo de la curva se encuentra por encima del eje x (y=9, 2), entonces no interseca a este último para ningúnvalores de x. Es decir, la ecuación dada no tiene raíces reales.
Teorema de Vieta
Como se señaló anteriormente, este teorema es una consecuencia del método No. 3, que se basa en la aplicación de una fórmula con un discriminante. La esencia del teorema de Vieta es que te permite conectar los coeficientes de la ecuación y sus raíces en igualdad. Obtengamos las igualdades correspondientes.
Usemos la fórmula para calcular las raíces a través del discriminante. Suma dos raíces, obtenemos: x1+x2=-b/a. Ahora multipliquemos las raíces entre sí: x1x2, después de una serie de simplificaciones obtenemos el número c/a.
Así, para resolver las ecuaciones cuadráticas por el teorema de Vieta, puedes usar las dos igualdades obtenidas. Si se conocen los tres coeficientes de una ecuación, entonces se pueden encontrar las raíces resolviendo el sistema apropiado de estas dos ecuaciones.
Un ejemplo del uso del teorema de Vieta
Necesitas escribir una ecuación cuadrática si sabes que tiene la forma x2+c=-bx y sus raíces son 3 y -4.
Dado que a=1 en la ecuación bajo consideración, las fórmulas de Vieta se verán así: x2+x1=-b y x2x1=pág. Sustituyendo los valores conocidos de las raíces, obtenemos: b=1 y c=-12. Como resultado, la ecuación cuadrática reducida restaurada se verá como: x2-12=-1x. Puede sustituir el valor de las raíces y asegurarse de que se mantenga la igualdad.
Aplicación inversa del teorema de Vieta, es decir, el cálculo de las raíces porforma conocida de la ecuación, permite que los números enteros pequeños a, b y c encuentren soluciones rápidamente (intuitivamente).
