En álgebra existe un concepto de dos tipos de igualdades: identidades y ecuaciones. Las identidades son tales igualdades que son factibles para cualquier valor de las letras incluidas en ellas. Las ecuaciones también son igualdades, pero solo son factibles para ciertos valores de las letras incluidas en ellas.
Las letras suelen ser desiguales en cuanto a la tarea. Esto significa que algunos de ellos pueden tomar cualquier valor permitido, llamados coeficientes (o parámetros), mientras que otros, llamados incógnitas, toman valores que deben encontrarse en el proceso de solución. Por regla general, las incógnitas se denotan en las ecuaciones con letras, las últimas del alfabeto latino (x.y.z, etc.), o con las mismas letras, pero con un índice (x1, x 2, etc.), y los coeficientes conocidos vienen dados por las primeras letras del mismo alfabeto.
Según el número de incógnitas, se distinguen ecuaciones con una, dos y varias incógnitas. Por lo tanto, todos los valores de las incógnitas para las cuales la ecuación que se está resolviendo se convierte en una identidad se denominan soluciones de las ecuaciones. Una ecuación se puede considerar resuelta si se encuentran todas sus soluciones o se demuestra que no tiene ninguna. La tarea "resolver la ecuación" en la práctica es común y significa que necesitas encontrar la raíz de la ecuación.
Definición: las raíces de una ecuación son aquellos valores de las incógnitas del rango de valores admisibles en los que la ecuación que se resuelve se convierte en una identidad.
El algoritmo para resolver absolutamente todas las ecuaciones es el mismo, y su significado es reducir esta expresión a una forma más simple usando transformaciones matemáticas. Las ecuaciones que tienen las mismas raíces se llaman equivalentes en álgebra.
El ejemplo más simple: 7x-49=0, la raíz de la ecuación x=7;x-7=0, igualmente, la raíz x=7, por lo tanto, las ecuaciones son equivalentes. (En casos especiales, las ecuaciones equivalentes pueden no tener raíces).
Si la raíz de una ecuación es también la raíz de otra ecuación más simple obtenida a partir de la original mediante transformaciones, esta última se denomina consecuencia de la ecuación anterior.
Si una de las dos ecuaciones es consecuencia de la otra, entonces se consideran equivalentes. También se les llama equivalentes. El ejemplo anterior ilustra esto.
Resolver incluso las ecuaciones más simples en la práctica suele ser difícil. Como resultado de la solución, puede obtener una raíz de la ecuación, dos o más, incluso un número infinito; depende del tipo de ecuaciones. También están los que no tienen raíz, se les llama indecidibles.
Ejemplos:
1) 15x -20=10; x=2 Esta es la única raíz de la ecuación.
2) 7x - y=0. La ecuación tiene un número infinito de raíces, ya que cada variable puede tener innumerablesnúmero de valores.
3) x2=- 16. Un número elevado a la segunda potencia siempre da un resultado positivo, por lo que es imposible encontrar la raíz de la ecuación. Esta es una de las ecuaciones irresolubles mencionadas anteriormente.
La corrección de la solución se comprueba sustituyendo las raíces encontradas en lugar de letras y resolviendo el ejemplo resultante. Si la identidad se cumple, la solución es correcta.
