Para encontrar las funciones de distribución de variables aleatorias y sus variables, es necesario estudiar todas las características de este campo del conocimiento. Existen varios métodos diferentes para encontrar los valores en cuestión, incluido el cambio de una variable y la generación de un momento. La distribución es un concepto basado en elementos tales como dispersión, variaciones. Sin embargo, solo caracterizan el grado de amplitud de dispersión.
Las funciones más importantes de las variables aleatorias son aquellas que están relacionadas, son independientes y se distribuyen equitativamente. Por ejemplo, si X1 es el peso de un individuo seleccionado al azar de una población masculina, X2 es el peso de otro, …, y Xn es el peso de una persona más de la población masculina, entonces necesitamos saber cómo funciona la función aleatoria. X se distribuye. En este caso, se aplica el teorema clásico llamado teorema del límite central. Le permite mostrar que para n grande la función sigue distribuciones estándar.
Funciones de una variable aleatoria
El Teorema del Límite Central es para aproximar valores discretos bajo consideración como binomial y Poisson. Las funciones de distribución de variables aleatorias se consideran, en primer lugar, sobre valores simples de una variable. Por ejemplo, si X es una variable aleatoria continua que tiene su propia distribución de probabilidad. En este caso, exploramos cómo encontrar la función de densidad de Y utilizando dos enfoques diferentes, a saber, el método de la función de distribución y el cambio de variable. En primer lugar, solo se consideran valores uno a uno. Luego, debe modificar la técnica de cambiar la variable para encontrar su probabilidad. Finalmente, necesitamos aprender cómo la función de distribución acumulativa inversa puede ayudar a modelar números aleatorios que siguen ciertos patrones secuenciales.
Método de distribución de valores considerados
El método de la función de distribución de probabilidad de una variable aleatoria es aplicable para encontrar su densidad. Al utilizar este método, se calcula un valor acumulativo. Luego, al diferenciarlo, puedes obtener la densidad de probabilidad. Ahora que tenemos el método de la función de distribución, podemos ver algunos ejemplos más. Sea X una variable aleatoria continua con cierta densidad de probabilidad.
¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de x2? Si observa o grafica la función (arriba y derecha) y \u003d x2, puede notar que es una X creciente y 0 <y<1. Ahora necesita usar el método considerado para encontrar Y. Primero, se encuentra la función de distribución acumulativa, solo necesita diferenciar para obtener la densidad de probabilidad. Al hacerlo, obtenemos: 0<y<1. El método de distribución se ha implementado con éxito para encontrar Y cuando Y es una función creciente de X. Por cierto, f(y) se integra en 1 sobre y.
En el último ejemplo, se tuvo mucho cuidado al indexar las funciones acumulativas y la densidad de probabilidad con X o Y para indicar a qué variable aleatoria pertenecían. Por ejemplo, al encontrar la función de distribución acumulativa de Y, obtuvimos X. Si necesita encontrar una variable aleatoria X y su densidad, solo necesita diferenciarla.
Técnica de cambio de variable
Sea X una variable aleatoria continua dada por una función de distribución con un denominador común f (x). En este caso, si pones el valor de y en X=v (Y), entonces obtienes el valor de x, por ejemplo v (y). Ahora, necesitamos obtener la función de distribución de una variable aleatoria continua Y. Donde la primera y la segunda igualdad tienen lugar a partir de la definición de Y acumulativa. La tercera igualdad se cumple porque la parte de la función para la cual u (X) ≦ y es también es cierto que X ≦ v (Y). Y el último se hace para determinar la probabilidad en una variable aleatoria continua X. Ahora necesitamos tomar la derivada de FY (y), la función de distribución acumulativa de Y, para obtener la densidad de probabilidad Y.
Generalización para la función de disminución
Sea X una variable aleatoria continua con f común (x) definida sobre c1<x<c2. Y sea Y=u (X) una función decreciente de X con inversa X=v (Y). Como la función es continua y decreciente, existe una función inversa X=v (Y).
Para solucionar este problema, puede recopilar datos cuantitativos y utilizar la función de distribución acumulativa empírica. Con esta información y recurriendo a ella, debe combinar muestras medias, desviaciones estándar, datos de medios, etc.
Del mismo modo, incluso un modelo probabilístico bastante simple puede tener una gran cantidad de resultados. Por ejemplo, si lanzas una moneda 332 veces. Entonces el número de resultados obtenidos de flips es mayor que el de google (10100) - un número, pero no menos de 100 quintillones de veces mayor que las partículas elementales en el universo conocido. No le interesa un análisis que dé respuesta a todos los resultados posibles. Se necesitaría un concepto más simple, como el número de caras o el trazo más largo de las colas. Para centrarse en temas de interés, se acepta un resultado específico. La definición en este caso es la siguiente: una variable aleatoria es una función real con un espacio de probabilidad.
El rango S de una variable aleatoria a veces se denomina espacio de estado. Por lo tanto, si X es el valor en cuestión, entonces N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc, etc. La última de ellas, redondear X al número entero más próximo, se denomina función suelo.
Funciones de distribución
Una vez que se determina la función de distribución de interés para una variable aleatoria x, la pregunta suele ser: "¿Cuáles son las posibilidades de que X caiga en algún subconjunto de valores B?". Por ejemplo, B={números impares}, B={mayor que 1} o B={entre 2 y 7} para indicar aquellos resultados que tienen X, el valorvariable aleatoria, en el subconjunto A. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, puede describir los eventos de la siguiente manera.
{X es un número impar}, {X es mayor que 1}={X> 1}, {X está entre 2 y 7}={2 <X <7} para que coincida con las tres opciones anteriores para el subconjunto B. Muchas propiedades de las cantidades aleatorias no están relacionadas con una X en particular. Más bien, dependen de cómo asigna X sus valores. Esto lleva a una definición que suena así: la función de distribución de una variable aleatoria x es acumulativa y está determinada por observaciones cuantitativas.
Variables aleatorias y funciones de distribución
Así, puedes calcular la probabilidad de que la función de distribución de una variable aleatoria x tome valores en el intervalo por resta. Piense en incluir o excluir puntos finales.
Llamaremos discreta a una variable aleatoria si tiene un espacio de estado finito o contablemente infinito. Por tanto, X es el número de caras en tres lanzamientos independientes de una moneda sesgada que sube con probabilidad p. Necesitamos encontrar la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta FX para X. Sea X el número de picos en una colección de tres cartas. Entonces Y=X3 a través de FX. FX comienza en 0, termina en 1 y no disminuye a medida que aumentan los valores de x. La función de distribución FX acumulada de una variable aleatoria discreta X es constante, excepto por s altos. Al s altar el FX es continuo. Demostrar la afirmación sobre la correctala continuidad de la función de distribución a partir de la propiedad de probabilidad es posible usando la definición. Suena así: una variable aleatoria constante tiene un FX acumulativo que es diferenciable.
Para mostrar cómo puede suceder esto, podemos dar un ejemplo: un objetivo con una unidad de radio. Presumiblemente. el dardo se distribuye uniformemente sobre el área especificada. Para algunos λ> 0. Por lo tanto, las funciones de distribución de variables aleatorias continuas aumentan suavemente. FX tiene las propiedades de una función de distribución.
Un hombre espera en la parada del autobús hasta que llega el autobús. Habiendo decidido por sí mismo que se negará cuando la espera alcance los 20 minutos. Aquí es necesario encontrar la función de distribución acumulada para T. El tiempo en que una persona todavía estará en la estación de autobuses o no se irá. A pesar de que la función de distribución acumulativa está definida para cada variable aleatoria. De todos modos, otras características se utilizarán con bastante frecuencia: la masa para una variable discreta y la función de densidad de distribución de una variable aleatoria. Por lo general, el valor se emite a través de uno de estos dos valores.
Funciones de masa
Estos valores son considerados por las siguientes propiedades, las cuales tienen un carácter general (masa). La primera se basa en el hecho de que las probabilidades no son negativas. El segundo se deriva de la observación de que el conjunto para todo x=2S, el espacio de estado para X, forma una partición de la libertad probabilística de X. Ejemplo: lanzar una moneda sesgada cuyos resultados son independientes. puedes seguir haciendociertas acciones hasta obtener un rollo de cabezas. Sea X una variable aleatoria que da el número de cruces delante de la primera cara. Y p denota la probabilidad en cualquier acción dada.
Entonces, la función de probabilidad de masa tiene las siguientes características. Debido a que los términos forman una secuencia numérica, X se denomina variable aleatoria geométrica. Esquema geométrico c, cr, cr2,.,,, crn tiene una suma. Y, por lo tanto, sn tiene un límite cuando n 1. En este caso, la suma infinita es el límite.
La función de masa anterior forma una secuencia geométrica con una razón. Por lo tanto, los números naturales a y b. La diferencia de los valores en la función de distribución es igual al valor de la función de masa.
Los valores de densidad en consideración tienen una definición: X es una variable aleatoria cuya distribución FX tiene una derivada. FX que satisface Z xFX (x)=fX (t) dt-1 se denomina función de densidad de probabilidad. Y X se llama una variable aleatoria continua. En el teorema fundamental del cálculo, la función de densidad es la derivada de la distribución. Puede calcular probabilidades calculando integrales definidas.
Debido a que los datos se recopilan a partir de múltiples observaciones, se debe considerar más de una variable aleatoria a la vez para modelar los procedimientos experimentales. Por lo tanto, el conjunto de estos valores y su distribución conjunta para las dos variables X1 y X2 significa eventos de visualización. Para variables aleatorias discretas, se definen funciones de masa probabilísticas conjuntas. Para las continuas se consideran fX1, X2, dondese satisface la densidad de probabilidad conjunta.
Variables aleatorias independientes
Dos variables aleatorias X1 y X2 son independientes si dos eventos cualesquiera asociados con ellas son iguales. En palabras, la probabilidad de que dos eventos {X1 2 B1} y {X2 2 B2} ocurran al mismo tiempo, y, es igual al producto de las variables anteriores, que cada uno de ellos ocurra individualmente. Para variables aleatorias discretas independientes, existe una función de masa probabilística conjunta, que es el producto del volumen de iones límite. Para variables aleatorias continuas que son independientes, la función de densidad de probabilidad conjunta es el producto de los valores de densidad marginal. Finalmente, consideramos n observaciones independientes x1, x2,.,,, xn que surge de una densidad desconocida o función de masa f. Por ejemplo, un parámetro desconocido en funciones para una variable aleatoria exponencial que describe el tiempo de espera de un autobús.
Imitación de variables aleatorias
El objetivo principal de este campo teórico es proporcionar las herramientas necesarias para desarrollar procedimientos de inferencia basados en principios sólidos de ciencia estadística. Por lo tanto, un caso de uso muy importante para el software es la capacidad de generar pseudodatos para imitar la información real. Esto permite probar y mejorar los métodos de análisis antes de tener que utilizarlos en bases de datos reales. Esto es necesario para explorar las propiedades de los datos a través demodelado. Para muchas familias de variables aleatorias de uso común, R proporciona comandos para generarlas. Para otras circunstancias, se necesitarán métodos para modelar una secuencia de variables aleatorias independientes que tengan una distribución común.
Variables aleatorias discretas y patrón de comando. El comando muestra se utiliza para crear muestras aleatorias simples y estratificadas. Como resultado, si se ingresa una secuencia x, sample(x, 40) selecciona 40 registros de x de modo que todas las opciones de tamaño 40 tengan la misma probabilidad. Esto usa el comando R predeterminado para obtener sin reemplazo. También se puede utilizar para modelar variables aleatorias discretas. Para hacer esto, debe proporcionar un espacio de estado en el vector x y la función de masa f. Una llamada a replace=TRUE indica que el muestreo ocurre con reemplazo. Entonces, para dar una muestra de n variables aleatorias independientes que tienen una función de masa común f, se usa la muestra (x, n, replace=TRUE, prob=f).
Determiné que 1 es el valor más pequeño representado y 4 es el más grande de todos. Si se omite el comando prob=f, entonces la muestra se muestreará uniformemente a partir de los valores en el vector x. Puede comparar la simulación con la función de masa que generó los datos observando el signo igual doble,==. Y recalculando las observaciones que toman todos los valores posibles de x. Puedes hacer una mesa. Repita esto para 1000 y compare la simulación con la función de masa correspondiente.
Ilustración de transformación de probabilidad
Primerosimular funciones de distribución homogéneas de variables aleatorias u1, u2,.,,, un en el intervalo [0, 1]. Alrededor del 10% de los números deben estar dentro de [0, 3, 0, 4]. Esto corresponde al 10 % de las simulaciones en el intervalo [0, 28, 0, 38] para una variable aleatoria con la función de distribución FX mostrada. De manera similar, alrededor del 10 % de los números aleatorios deben estar en el intervalo [0, 7, 0, 8]. Esto corresponde al 10% de simulaciones en el intervalo [0, 96, 1, 51] de la variable aleatoria con función de distribución FX. Estos valores en el eje x se pueden obtener tomando el inverso de FX. Si X es una variable aleatoria continua con densidad fX positiva en todo su dominio, entonces la función de distribución es estrictamente creciente. En este caso, FX tiene una función FX-1 inversa conocida como función cuantil. FX (x) u solo cuando x FX-1 (u). La transformación de probabilidad se deriva del análisis de la variable aleatoria U=FX (X).
FX tiene un rango de 0 a 1. No puede ser inferior a 0 ni superior a 1. Para valores de u entre 0 y 1. Si se puede simular U, entonces se necesita una variable aleatoria con distribución FX. simulado a través de una función cuantil. Toma la derivada para ver que la densidad u varía dentro de 1. Dado que la variable aleatoria U tiene una densidad constante en el intervalo de sus valores posibles, se llama uniforme en el intervalo [0, 1]. Está modelado en R con el comando runif. La identidad se llama transformación probabilística. Puedes ver cómo funciona en el ejemplo del tablero de dardos. X entre 0 y 1, funcióndistribución u=FX (x)=x2, y por lo tanto la función cuantil x=FX-1 (u). Es posible modelar observaciones independientes de la distancia desde el centro del panel de dardos y, por lo tanto, crear variables aleatorias uniformes U1, U2,.,, ONU. La función de distribución y la función empírica se basan en 100 simulaciones de la distribución de un tablero de dardos. Para una variable aleatoria exponencial, presumiblemente u=FX (x)=1 - exp (- x), y por lo tanto x=- 1 ln (1 - u). A veces, la lógica consiste en declaraciones equivalentes. En este caso, debe concatenar las dos partes del argumento. La identidad de la intersección es similar para todos los 2 {S i i} S, en lugar de algún valor. La unión Ci es igual al espacio de estados S y cada par es mutuamente excluyente. Dado que Bi - se divide en tres axiomas. Cada verificación se basa en la probabilidad P correspondiente. Para cualquier subconjunto. Usar una identidad para asegurarse de que la respuesta no dependa de si se incluyen los extremos del intervalo.
Función exponencial y sus variables
Para cada resultado en todos los eventos, se utiliza finalmente la segunda propiedad de la continuidad de probabilidades, que se considera axiomática. La ley de distribución de la función de una variable aleatoria aquí muestra que cada una tiene su propia solución y respuesta.
