Un concepto importante en matemáticas es una función. Con su ayuda, puede visualizar muchos procesos que ocurren en la naturaleza, reflejar la relación entre ciertas cantidades usando fórmulas, tablas e imágenes en un gráfico. Un ejemplo es la dependencia de la presión de una capa líquida sobre un cuerpo de la profundidad de inmersión, la aceleración, de la acción de una cierta fuerza sobre un objeto, el aumento de temperatura, de la energía transmitida y muchos otros procesos. El estudio de una función implica la construcción de un gráfico, la aclaración de sus propiedades, el alcance y los valores, los intervalos de aumento y disminución. Un punto importante en este proceso es encontrar los puntos extremos. Sobre cómo hacerlo bien, y la conversación continuará.
Sobre el concepto en sí mismo en un ejemplo específico
En medicina, trazar un gráfico de función puede informar sobre el progreso de una enfermedad en el cuerpo de un paciente, reflejando visualmente su condición. Supongamos que el tiempo en días se representa a lo largo del eje OX y la temperatura del cuerpo humano se representa a lo largo del eje OY. La figura muestra claramente cómo este indicador aumenta considerablemente, yentonces cae. También es fácil notar puntos singulares que reflejan los momentos en que la función, habiendo aumentado previamente, comienza a disminuir, y viceversa. Estos son los puntos extremos, es decir, los valores críticos (máximo y mínimo) en este caso de la temperatura del paciente, tras los cuales se producen cambios en su estado.
Ángulo de inclinación
Es fácil determinar a partir de la figura cómo cambia la derivada de una función. Si las líneas rectas del gráfico suben con el tiempo, entonces es positivo. Y cuanto más inclinados son, mayor es el valor de la derivada, a medida que aumenta el ángulo de inclinación. Durante los periodos de disminución, este valor toma valores negativos, llegando a cero en los puntos extremos, y la gráfica de la derivada en este último caso se dibuja paralela al eje OX.
Cualquier otro proceso debe tratarse de la misma manera. Pero lo mejor de este concepto es decir el movimiento de varios cuerpos, claramente mostrado en los gráficos.
Movimiento
Supongamos que un objeto se mueve en línea recta, ganando velocidad uniformemente. Durante este período, el cambio en las coordenadas del cuerpo representa gráficamente una determinada curva, que un matemático llamaría rama de una parábola. Al mismo tiempo, la función aumenta constantemente, ya que los indicadores de coordenadas cambian cada vez más rápido con cada segundo. El gráfico de velocidad muestra el comportamiento de la derivada, cuyo valor también aumenta. Esto significa que el movimiento no tiene puntos críticos.
Hubiera continuado indefinidamente. Pero si el cuerpo de repente decide disminuir la velocidad, detenerse y comenzar a moverse en otro¿dirección? En este caso, los indicadores de coordenadas comenzarán a disminuir. Y la función pasará el valor crítico y pasará de creciente a decreciente.
En este ejemplo, nuevamente puedes entender que los puntos extremos en el gráfico de la función aparecen en los momentos en que deja de ser monótono.
Significado físico de la derivada
Descrito anteriormente mostró claramente que la derivada es esencialmente la tasa de cambio de la función. Este refinamiento contiene su significado físico. Los puntos extremos son áreas críticas en el gráfico. Es posible averiguarlos y detectarlos calculando el valor de la derivada, que resulta ser igual a cero.
Hay otro signo, que es condición suficiente para un extremum. La derivada en tales lugares de inflexión cambia de signo: de "+" a "-" en la región del máximo y de "-" a "+" en la región del mínimo.
Movimiento bajo la influencia de la gravedad
Imaginemos otra situación. Los niños, jugando a la pelota, la lanzaron de tal manera que comenzó a moverse en ángulo hacia el horizonte. En el momento inicial, la velocidad de este objeto era la más grande, pero bajo la influencia de la gravedad comenzó a disminuir, y con cada segundo por el mismo valor, igual a aproximadamente 9,8 m/s2. Este es el valor de la aceleración que ocurre bajo la influencia de la gravedad terrestre durante la caída libre. En la Luna, sería unas seis veces más pequeña.
La gráfica que describe el movimiento del cuerpo es una parábola con ramas,hacia abajo. ¿Cómo encontrar los puntos extremos? En este caso, este es el vértice de la función, donde la velocidad del cuerpo (bola) toma valor cero. La derivada de la función se vuelve cero. En este caso, la dirección, y por tanto el valor de la velocidad, cambia al contrario. El cuerpo desciende cada segundo más y más rápido, y acelera en la misma cantidad: 9,8 m/s2.
Segunda derivada
En el caso anterior, la gráfica del módulo de velocidad se dibuja como una línea recta. Esta línea se dirige primero hacia abajo, ya que el valor de esta cantidad está disminuyendo constantemente. Habiendo llegado a cero en uno de los puntos en el tiempo, los indicadores de este valor comienzan a aumentar y la dirección de la representación gráfica del módulo de velocidad cambia drásticamente. La línea ahora apunta hacia arriba.
La velocidad, al ser la derivada temporal de la coordenada, también tiene un punto crítico. En esta región, la función, inicialmente decreciente, comienza a aumentar. Este es el lugar del punto extremo de la derivada de la función. En este caso, la pendiente de la tangente se vuelve cero. Y la aceleración, al ser la segunda derivada de la coordenada con respecto al tiempo, cambia de signo de “-” a “+”. Y el movimiento de uniformemente lento se vuelve uniformemente acelerado.
Tabla de aceleración
Ahora considere cuatro imágenes. Cada uno de ellos muestra un gráfico del cambio en el tiempo de una cantidad física como la aceleración. En el caso de "A", su valor permanece positivo y constante. Esto significa que la velocidad del cuerpo, como su coordenada, aumenta constantemente. si unimagine que el objeto se moverá de esta manera durante un tiempo infinitamente largo, la función que refleja la dependencia de la coordenada en el tiempo resultará ser constantemente creciente. De esto se deduce que no tiene regiones críticas. Tampoco hay puntos extremos en el gráfico de la derivada, es decir, la velocidad cambia linealmente.
Lo mismo se aplica al caso "B" con una aceleración positiva y en constante aumento. Cierto, las gráficas de coordenadas y velocidad serán un poco más complicadas aquí.
Cuando la aceleración tiende a cero
Al ver la imagen "B", puede ver una imagen completamente diferente que caracteriza el movimiento del cuerpo. Su velocidad se representará gráficamente como una parábola con ramas apuntando hacia abajo. Si continuamos la línea que describe el cambio en la aceleración hasta que se cruza con el eje OX, y más, entonces podemos imaginar que hasta este valor crítico, donde la aceleración resulta ser igual a cero, la velocidad del objeto aumentará. cada vez más lentamente. El punto extremo de la derivada de la función de coordenadas estará justo en la parte superior de la parábola, después de lo cual el cuerpo cambiará radicalmente la naturaleza del movimiento y comenzará a moverse en la otra dirección.
En el último caso, "G", la naturaleza del movimiento no se puede determinar con precisión. Aquí solo sabemos que no hay aceleración durante algún período bajo consideración. Esto significa que el objeto puede permanecer en su lugar o el movimiento ocurre a una velocidad constante.
Tarea de suma de coordenadas
Pasemos a las tareas que a menudo se encuentran en el estudio de álgebra en la escuela y se ofrecen parapreparación para el examen. La siguiente figura muestra la gráfica de la función. Se requiere calcular la suma de puntos extremos.
Hagamos esto para el eje y determinando las coordenadas de las regiones críticas donde se observa un cambio en las características de la función. En pocas palabras, encontramos los valores a lo largo del eje x para los puntos de inflexión y luego procedemos a sumar los términos resultantes. Según el gráfico, es obvio que toman los siguientes valores: -8; -7; -5; -3; -2; uno; 3. Esto suma -21, que es la respuesta.
Solución óptima
No es necesario explicar cuán importante puede ser la elección de la solución óptima en el desempeño de las tareas prácticas. Después de todo, hay muchas formas de lograr el objetivo, y la mejor salida, por regla general, es solo una. Esto es extremadamente necesario, por ejemplo, cuando se diseñan estructuras arquitectónicas de barcos, naves espaciales y aeronaves para encontrar la forma óptima de estos objetos hechos por el hombre.
La velocidad de los vehículos depende en gran medida de la minimización competente de la resistencia que experimentan cuando se mueven a través del agua y el aire, debido a las sobrecargas que surgen bajo la influencia de las fuerzas gravitatorias y muchos otros indicadores. Un barco en el mar necesita cualidades como la estabilidad durante una tormenta; para un barco fluvial, un calado mínimo es importante. Al calcular el diseño óptimo, los puntos extremos del gráfico pueden dar una idea visual de la mejor solución a un problema complejo. Las tareas de este tipo son a menudose resuelven en la economía, en las áreas económicas, en muchas otras situaciones de la vida.
De la historia antigua
Los problemas extremos ocuparon incluso a los antiguos sabios. Los científicos griegos desentrañaron con éxito el misterio de las áreas y los volúmenes a través de cálculos matemáticos. Fueron los primeros en comprender que en un plano de varias figuras con el mismo perímetro, el círculo siempre tiene el área más grande. De manera similar, una pelota está dotada del volumen máximo entre otros objetos en el espacio con la misma área de superficie. Personalidades tan famosas como Arquímedes, Euclides, Aristóteles, Apolonio se dedicaron a resolver tales problemas. Heron logró muy bien encontrar puntos extremos, quienes, habiendo recurrido a cálculos, construyeron ingeniosos dispositivos. Estos incluían máquinas automáticas que se movían por medio de vapor, bombas y turbinas que operaban con el mismo principio.
Construcción de Cartago
Hay una leyenda, cuya trama se basa en resolver uno de los problemas extremos. Fruto del enfoque empresarial demostrado por la princesa fenicia, que acudió a los sabios en busca de ayuda, fue la construcción de Cartago. El terreno de esta antigua y famosa ciudad fue presentado a Dido (así se llamaba el gobernante) por el líder de una de las tribus africanas. El área de la parcela no le pareció al principio muy grande, ya que según el contrato debía cubrirse con una piel de buey. Pero la princesa ordenó a sus soldados que lo cortaran en tiras finas y con ellas hicieran un cinturón. Resultó ser tan largo que cubrió el sitio,donde cabe toda la ciudad.
Los orígenes del cálculo
Y ahora pasemos de la antigüedad a una era posterior. Curiosamente, en el siglo XVII, una reunión con un vendedor de vino indujo a Kepler a comprender los fundamentos del análisis matemático. El comerciante estaba tan bien versado en su profesión que podía determinar fácilmente el volumen de la bebida en el barril simplemente colocando un torniquete de hierro en él. Reflexionando sobre tal curiosidad, el famoso científico logró resolver este dilema por sí mismo. Resulta que los habilidosos toneleros de la época aprendieron a fabricar vasijas de tal manera que a cierta altura y radio de la circunferencia de las argollas de sujeción tuvieran una capacidad máxima.
Esto fue motivo de Kepler para una mayor reflexión. Bochars llegó a la solución óptima tras una larga búsqueda, errores y nuevos intentos, pasando su experiencia de generación en generación. Pero Kepler quería acelerar el proceso y aprender a hacer lo mismo en poco tiempo a través de cálculos matemáticos. Todos sus desarrollos, recogidos por colegas, se convirtieron en los ahora conocidos teoremas de Fermat y Newton - Leibniz.
Problema de área máxima
Imaginemos que tenemos un alambre con una longitud de 50 cm. ¿Cómo hacer un rectángulo con el área más grande?
A partir de una decisión, uno debe partir de verdades simples y conocidas. Es claro que el perímetro de nuestra figura será de 50 cm, también consta del doble de la longitud de ambos lados. Esto quiere decir que, habiendo designado uno de ellos como "X", el otro puede expresarse como (25 - X).
Desde aquí obtenemosun área igual a X (25 - X). Esta expresión se puede representar como una función que toma muchos valores. La solución del problema requiere encontrar el máximo de ellos, lo que significa que debes encontrar los puntos extremos.
Para hacer esto, encontramos la primera derivada y la igualamos a cero. El resultado es una ecuación simple: 25 - 2X=0.
De ahí aprendemos que uno de los lados X=12, 5.
Por lo tanto, otro: 25 – 12, 5=12, 5.
Resulta que la solución al problema será un cuadrado de 12,5 cm de lado.
Cómo encontrar la velocidad máxima
Consideremos un ejemplo más. Imagina que hay un cuerpo cuyo movimiento rectilíneo está descrito por la ecuación S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, donde la distancia recorrido se expresa en metros y el tiempo en segundos. Se requiere encontrar la velocidad máxima. ¿Cómo hacerlo? Descargado encuentre la velocidad, es decir, la primera derivada.
Obtenemos la ecuación: V=- 3t2 + 18t – 24. Ahora, para resolver el problema, nuevamente necesitamos encontrar los puntos extremos. Esto debe hacerse de la misma manera que en la tarea anterior. Encuentra la primera derivada de la velocidad e igualala a cero.
Obtenemos: - 6t + 18=0. Por tanto, t=3 s. Este es el momento en que la velocidad del cuerpo adquiere un valor crítico. Sustituimos los datos obtenidos en la ecuación de velocidad y obtenemos: V=3 m/s.
¿Pero cómo entender que esa es exactamente la velocidad máxima, porque los puntos críticos de una función pueden ser sus valores máximos o mínimos? Para verificar, necesitas encontrar un segundoderivada de la velocidad. Se expresa como el número 6 con un signo menos. Esto significa que el punto encontrado es el máximo. Y en el caso de un valor positivo de la segunda derivada, habría un mínimo. Entonces, la solución encontrada resultó ser correcta.
Las tareas dadas como ejemplo son solo una parte de las que se pueden resolver al poder encontrar los puntos extremos de una función. De hecho, hay muchos más. Y tal conocimiento abre posibilidades ilimitadas para la civilización humana.
