Para entender cuáles son los puntos extremos de una función, no es necesario saber sobre la presencia de la primera y segunda derivada y entender su significado físico. Primero necesitas entender lo siguiente:
- función extrema maximiza o, por el contrario, minimiza el valor de la función en una vecindad arbitrariamente pequeña;
- No debería haber una interrupción de función en el punto extremo.
Y ahora lo mismo, solo que en lenguaje sencillo. Mira la punta de un bolígrafo. Si el bolígrafo se coloca verticalmente, con el extremo de la escritura hacia arriba, entonces el centro de la bola será el punto extremo, el punto más alto. En este caso, hablamos del máximo. Ahora, si gira el bolígrafo con el extremo de escritura hacia abajo, en el medio de la bola ya habrá un mínimo de la función. Con la ayuda de la figura que se proporciona aquí, puede imaginar las manipulaciones enumeradas para un lápiz de papelería. Entonces, los extremos de una función son siempre puntos críticos: sus máximos o mínimos. La sección adyacente del gráfico puede ser arbitrariamente nítida o suave, pero debe existir en ambos lados, solo que en este caso el punto es un extremo. Si el gráfico está presente solo en un lado, este punto no será un extremo aunque esté en un ladose cumplen las condiciones extremas. Ahora estudiemos los extremos de la función desde un punto de vista científico. Para que un punto sea considerado extremo es necesario y suficiente que:
- la primera derivada era igual a cero o no existía en el punto;
- la primera derivada cambió de signo en este punto.
La condición se interpreta algo diferente desde el punto de vista de las derivadas de orden superior: para una función diferenciable en un punto, es suficiente que exista una derivada de orden impar que no sea igual a cero, mientras que todas las derivadas de orden inferior deben existir y ser iguales a cero. Esta es la interpretación más simple de los teoremas de los libros de texto de matemáticas superiores. Pero para la gente más común, vale la pena explicar este punto con un ejemplo. La base es una parábola ordinaria. Inmediatamente haga una reserva, en el punto cero tiene un mínimo. Solo un poco de matemática:
- primera derivada (X2)|=2X, para el punto cero 2X=0;
- segunda derivada (2X)|=2, para el punto cero 2=2.
Esta es una ilustración simple de las condiciones que determinan los extremos de la función tanto para derivadas de primer orden como para derivadas de orden superior. Podemos agregar a esto que la segunda derivada es simplemente la misma derivada de un orden impar, diferente de cero, que se discutió un poco más arriba. Cuando se trata de extremos de una función de dos variables, se deben cumplir las condiciones para ambos argumentos. Cuandoocurre una generalización, luego se usan derivadas parciales. Es decir, es necesario para la presencia de un extremo en un punto que ambas derivadas de primer orden sean iguales a cero, o al menos una de ellas no exista. Para la suficiencia de la presencia de un extremo se investiga una expresión que es la diferencia entre el producto de las derivadas de segundo orden y el cuadrado de la derivada mixta de segundo orden de la función. Si esta expresión es mayor que cero, entonces hay un extremo, y si es cero, entonces la pregunta permanece abierta y se necesita investigación adicional.
