La función y el estudio de sus características es uno de los capítulos clave de las matemáticas modernas. El componente principal de cualquier función son los gráficos que representan no solo sus propiedades, sino también los parámetros de la derivada de esta función. Echemos un vistazo a este tema complicado. Entonces, ¿cuál es la mejor manera de encontrar los puntos máximo y mínimo de una función?
Función: Definición
Cualquier variable que dependa de algún modo de los valores de otro valor puede llamarse función. Por ejemplo, la función f(x2) es cuadrática y determina los valores para todo el conjunto x. Digamos que x=9, entonces el valor de nuestra función será igual a 92=81.
Las funciones vienen en muchos tipos diferentes: lógicas, vectoriales, logarítmicas, trigonométricas, numéricas y otras. Mentes tan destacadas como Lacroix, Lagrange, Leibniz y Bernoulli se dedicaron a su estudio. Sus escritos sirven como baluarte en las formas modernas de estudiar funciones. Antes de encontrar los puntos mínimos, es muy importante comprender el significado mismo de la función y su derivada.
La derivada y su papel
Todas las funciones están endependiendo de sus valores variables, lo que significa que pueden cambiar su valor en cualquier momento. En el gráfico, esto se representará como una curva que desciende o sube a lo largo del eje y (este es el conjunto completo de números "y" a lo largo de la vertical del gráfico). Y así, la definición de un punto de un máximo y un mínimo de función simplemente está relacionada con estas "oscilaciones". Expliquemos en qué consiste esta relación.
La derivada de cualquier función se dibuja en un gráfico para estudiar sus características principales y calcular la rapidez con la que cambia la función (es decir, cambia su valor dependiendo de la variable "x"). En el momento en que la función aumenta, la gráfica de su derivada también aumentará, pero en cualquier segundo la función puede comenzar a disminuir, y luego la gráfica de la derivada disminuirá. Los puntos en los que la derivada va de menos a más se llaman puntos mínimos. Para saber cómo encontrar los puntos mínimos, debes entender mejor el concepto de la derivada.
¿Cómo calcular la derivada?
Definir y calcular la derivada de una función implica varios conceptos del cálculo diferencial. En general, la definición misma de la derivada se puede expresar de la siguiente manera: este es el valor que muestra la tasa de cambio de la función.
La forma matemática de determinarlo para muchos estudiantes parece complicada, pero en realidad todo es mucho más simple. solo tienes que seguirplan estándar para encontrar la derivada de cualquier función. A continuación se describe cómo puede encontrar el punto mínimo de una función sin aplicar las reglas de diferenciación y sin memorizar la tabla de derivadas.
- Puedes calcular la derivada de una función usando un gráfico. Para hacer esto, debe representar la función en sí, luego tomar un punto en ella (punto A en la Fig.) Dibujar una línea verticalmente hacia abajo hasta el eje de abscisas (punto x0), y en el punto A dibujar una tangente a la función gráfica. El eje de abscisas y la tangente forman un ángulo a. Para calcular el valor de qué tan rápido aumenta la función, necesitas calcular la tangente de este ángulo a.
- Resulta que la tangente del ángulo entre la tangente y la dirección del eje x es la derivada de la función en un área pequeña con el punto A. Este método se considera una forma geométrica de determinar la derivada.
Métodos para investigar una función
En el currículo escolar de matemáticas, es posible encontrar el punto mínimo de una función de dos maneras. Ya hemos analizado el primer método usando el gráfico, pero ¿cómo determinar el valor numérico de la derivada? Para hacer esto, deberá aprender varias fórmulas que describen las propiedades de la derivada y ayudan a convertir variables como "x" en números. El siguiente método es universal, por lo que se puede aplicar a casi todo tipo de funciones (tanto geométricas como logarítmicas).
- Es necesario igualar la función a la función derivada, y luego simplificar la expresión usando las reglasdiferenciación.
- dividir por cero).
- Después de eso, debes convertir la forma original de la función en una ecuación simple, igualando toda la expresión a cero. Por ejemplo, si la función se viera así: f(x)=2x3+38x, entonces de acuerdo con las reglas de diferenciación, su derivada es igual a f'(x)=3x 2 +1. Luego transformamos esta expresión en una ecuación de la siguiente forma: 3x2+1=0.
- Después de resolver la ecuación y encontrar los puntos "x", debes dibujarlos en el eje x y determinar si la derivada en estas áreas entre los puntos marcados es positiva o negativa. Después de la designación, quedará claro en qué punto la función comienza a disminuir, es decir, cambia de signo de menos a lo contrario. Es de esta forma que puedes encontrar tanto los puntos mínimos como los máximos.
Reglas de diferenciación
La parte más básica de aprender una función y su derivada es conocer las reglas de diferenciación. Solo con su ayuda es posible transformar expresiones engorrosas y funciones grandes y complejas. Vamos a familiarizarnos con ellos, hay bastantes, pero todos son muy simples debido a las propiedades regulares de las funciones de potencia y logarítmicas.
- La derivada de cualquier constante es cero (f(x)=0). Es decir, la derivada f(x)=x5+ x - 160 tomará la siguiente forma: f' (x)=5x4+1.
- La derivada de la suma de dos términos: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivada de una función logarítmica: (logad)'=d/ln ad. Esta fórmula se aplica a todo tipo de logaritmos.
- Derivada de grado: (x)'=nxn-1. Por ejemplo, (9x2)'=92x=18x.
- Derivada de una función sinusoidal: (sen a)'=cos a. Si el seno del ángulo a es 0,5, entonces su derivada es √3/2.
Puntos extremos
Ya descubrimos cómo encontrar los puntos mínimos, sin embargo, existe el concepto de puntos máximos de una función. Si el mínimo denota aquellos puntos en los que la función va de menos a más, entonces los puntos máximos son aquellos puntos en el eje x en los que la derivada de la función cambia de más al opuesto - menos.
Puedes encontrar los puntos máximos usando el método descrito anteriormente, solo que se debe tener en cuenta que denotan aquellas áreas donde la función comienza a decrecer, es decir, la derivada será menor que cero.
En matemáticas, se acostumbra generalizar ambos conceptos, reemplazándolos con la frase "puntos extremos". Cuando la tarea pide determinar estos puntos, significa que es necesario calcular la derivada de esta función y encontrar los puntos mínimo y máximo.
