La teoría de la probabilidad es una rama especial de las matemáticas que solo estudian los estudiantes de instituciones de educación superior. ¿Te gustan los cálculos y las fórmulas? ¿No tiene miedo de las perspectivas de familiarizarse con la distribución normal, la entropía del conjunto, la expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria discreta? Entonces este tema te resultará de gran interés. Familiaricémonos con algunos de los conceptos básicos más importantes de esta sección de la ciencia.
Recordar lo básico
Incluso si recuerda los conceptos más simples de la teoría de la probabilidad, no descuide los primeros párrafos del artículo. El hecho es que sin una comprensión clara de los conceptos básicos, no podrá trabajar con las fórmulas que se analizan a continuación.
Entonces, hay algún evento aleatorio, algún experimento. Como resultado de las acciones realizadas, podemos obtener varios resultados, algunos de ellos son más comunes, otros menos comunes. La probabilidad de un evento es la relación entre el número de resultados recibidos de un tipo y el número total de resultados posibles. Solo conociendo la definición clásica de este concepto, puede comenzar a estudiar la expectativa matemática y la varianza de continuovariables aleatorias.
Media aritmética
Incluso en la escuela, en las clases de matemáticas, empezaste a trabajar con la media aritmética. Este concepto es ampliamente utilizado en la teoría de la probabilidad y, por lo tanto, no puede ser ignorado. Lo principal para nosotros en este momento es que lo encontraremos en las fórmulas para la expectativa matemática y la varianza de una variable aleatoria.
Tenemos una secuencia de números y queremos encontrar la media aritmética. Todo lo que se requiere de nosotros es sumar todo lo disponible y dividirlo por el número de elementos en la secuencia. Tengamos los números del 1 al 9. La suma de los elementos será 45, y dividiremos este valor entre 9. Respuesta: - 5.
Dispersión
Científicamente hablando, la varianza es el cuadrado medio de las desviaciones de los valores de característica obtenidos de la media aritmética. Uno se denota con una letra latina mayúscula D. ¿Qué se necesita para calcularlo? Para cada elemento de la secuencia, calculamos la diferencia entre el número disponible y la media aritmética y la elevamos al cuadrado. Habrá exactamente tantos valores como resultados para el evento que estamos considerando. A continuación, resumimos todo lo recibido y lo dividimos por el número de elementos de la secuencia. Si tenemos cinco resultados posibles, divida entre cinco.
La dispersión también tiene propiedades que debes recordar para aplicarlas al resolver problemas. Por ejemplo, si la variable aleatoria aumenta X veces, la varianza aumenta X veces el cuadrado (es decir, XX). Nunca es menor que cero y no depende decambiando valores por un valor igual hacia arriba o hacia abajo. Además, para ensayos independientes, la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas.
Ahora definitivamente necesitamos considerar ejemplos de la varianza de una variable aleatoria discreta y la expectativa matemática.
Supongamos que realizamos 21 experimentos y obtuvimos 7 resultados diferentes. Observamos cada uno de ellos, respectivamente, 1, 2, 2, 3, 4, 4 y 5 veces. ¿Cuál será la varianza?
Primero, calculemos la media aritmética: la suma de los elementos, por supuesto, es 21. Divídalo por 7, obteniendo 3. Ahora reste 3 de cada número en la secuencia original, eleve cada valor al cuadrado y agregue los resultados juntos. Resulta 12. Ahora nos queda dividir el número por el número de elementos y, al parecer, eso es todo. ¡Pero hay una trampa! Discutámoslo.
Dependencia del número de experimentos
Resulta que al calcular la varianza, el denominador puede ser uno de dos números: N o N-1. Aquí N es el número de experimentos realizados o el número de elementos en la secuencia (que, de hecho, es lo mismo). ¿De qué depende?
Si el número de pruebas se mide en centenas, entonces en el denominador debemos poner N. Si en unidades, entonces N-1. Los científicos decidieron dibujar el borde de manera bastante simbólica: hoy corre a lo largo del número 30. Si realizamos menos de 30 experimentos, dividiremos la cantidad por N-1, y si es más, entonces por N.
Tarea
Volvamos a nuestro ejemplo de resolver el problema de la varianza y la expectativa. Nosotrosrecibió un número intermedio de 12, que tuvo que ser dividido por N o N-1. Como llevamos a cabo 21 experimentos, que son menos de 30, elegiremos la segunda opción. Entonces la respuesta es: la varianza es 12 / 2=2.
Expectativa
Pasemos al segundo concepto, que debemos considerar en este artículo. La esperanza matemática es el resultado de sumar todos los resultados posibles multiplicados por las probabilidades correspondientes. Es importante entender que el valor resultante, así como el resultado del cálculo de la varianza, se obtiene una sola vez para toda la tarea, sin importar cuántos resultados considere.
La fórmula de la expectativa es bastante simple: tomamos un resultado, lo multiplicamos por su probabilidad, sumamos lo mismo para el segundo, tercer resultado, etc. Todo lo relacionado con este concepto es fácil de calcular. Por ejemplo, la suma de las expectativas matemáticas es igual a la expectativa matemática de la suma. Lo mismo es cierto para el trabajo. No todas las cantidades en la teoría de la probabilidad permiten realizar operaciones tan simples. Tomemos una tarea y calculemos el valor de dos conceptos que hemos estudiado a la vez. Además, nos distrajo la teoría: es hora de practicar.
Otro ejemplo
Realizamos 50 pruebas y obtuvimos 10 tipos de resultados (números del 0 al 9) que aparecen en diferentes porcentajes. Estos son, respectivamente: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Recuerda que para obtener las probabilidades, debes dividir los valores porcentuales por 100. Así, obtenemos 0.02; 0, 1, etc Representemos para la varianza de un aleatorioejemplo de valor y esperanza matemática para resolver el problema.
Calcula la media aritmética usando la fórmula que recordamos de la escuela primaria: 50/10=5.
Ahora traduzcamos las probabilidades al número de resultados "en partes" para que sea más fácil de contar. Obtenemos 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 y 9. Restamos la media aritmética de cada valor obtenido, luego elevamos al cuadrado cada uno de los resultados obtenidos. Vea cómo hacer esto usando el primer elemento como ejemplo: 1 - 5=(-4). Además: (-4)(-4)=16. Para otros valores, realice estas operaciones usted mismo. Si hiciste todo bien, luego de agregar todos los resultados intermedios obtendrás 90.
Continúe calculando la varianza y la media dividiendo 90 por N. ¿Por qué elegimos N y no N-1? Así es, porque el número de experimentos realizados supera los 30. Entonces: 90/10=9. Obtuvimos la dispersión. Si obtiene un número diferente, no se desespere. Lo más probable es que haya cometido un error banal en los cálculos. Vuelva a verificar lo que ha escrito y seguramente todo encajará en su lugar.
Finalmente, recordemos la fórmula de la expectativa. No daremos todos los cálculos, solo escribiremos la respuesta con la que podrá verificar después de completar todos los procedimientos requeridos. La expectativa será igual a 5, 48. Solo recordamos cómo realizar las operaciones, usando el ejemplo de los primeros elementos: 00, 02 + 10, 1… y así sucesivamente. Como puede ver, simplemente multiplicamos el valor del resultado por su probabilidad.
Desviación
Otro concepto estrechamente relacionado con la varianza y el valor esperado esDesviación Estándar. Se denota por las letras latinas sd, o por la minúscula griega "sigma". Este concepto muestra cómo, en promedio, los valores se desvían de la característica central. Para encontrar su valor, debe calcular la raíz cuadrada de la varianza.
Si crea un gráfico de una distribución normal y desea ver el valor de la desviación estándar directamente en él, puede hacerlo en varias etapas. Tome la mitad de la imagen a la izquierda o derecha de la moda (valor central), dibuje una perpendicular al eje horizontal para que las áreas de las figuras resultantes sean iguales. El valor del segmento entre la mitad de la distribución y la proyección resultante sobre el eje horizontal será la desviación estándar.
Software
Como puede ver en las descripciones de las fórmulas y los ejemplos presentados, calcular la varianza y la expectativa matemática no es el procedimiento más fácil desde el punto de vista aritmético. Para no perder el tiempo, tiene sentido usar el programa que se usa en la educación superior: se llama "R". Tiene funciones que te permiten calcular valores para muchos conceptos de la estadística y la teoría de la probabilidad.
Por ejemplo, define un vector de valores. Esto se hace de la siguiente manera: vector <-c(1, 5, 2…). Ahora, cuando necesites calcular algunos valores para este vector, escribes una función y la das como argumento. Para encontrar la varianza, necesitará usar la var. Un ejemplo de ellauso: var(vector). Luego solo presiona "enter" y obtienes el resultado.
En conclusión
La varianza y la expectativa matemática son los conceptos básicos de la teoría de la probabilidad, sin los cuales es difícil calcular algo en el futuro. En el curso principal de conferencias en universidades, ya se consideran en los primeros meses de estudio del tema. Es precisamente por la f alta de comprensión de estos conceptos simples y la incapacidad de calcularlos que muchos estudiantes inmediatamente comienzan a atrasarse en el programa y luego reciben malas calificaciones al final de la sesión, lo que los priva de becas.
Practica al menos una semana durante media hora al día, resolviendo problemas similares a los presentados en este artículo. Luego, en cualquier prueba de teoría de la probabilidad, se las arreglará con ejemplos sin consejos superfluos ni hojas de trucos.
