La teoría de la probabilidad funciona con variables aleatorias. Para las variables aleatorias, existen las llamadas leyes de distribución. Tal ley describe su variable aleatoria con absoluta integridad. Sin embargo, cuando se trabaja con conjuntos reales de variables aleatorias, a menudo es muy difícil establecer inmediatamente la ley de su distribución y se limitan a un determinado conjunto de características numéricas. Por ejemplo, calcular la media y la varianza de una variable aleatoria suele ser muy útil.
¿Por qué es necesario?
Si la esencia de la expectativa matemática está cerca del valor medio de la cantidad, entonces en este caso la dispersión indica cómo los valores de nuestra cantidad se dispersan alrededor de esta expectativa matemática. Por ejemplo, si medimos el coeficiente intelectual de un grupo de personas y queremos examinar los resultados de la medición (muestra), la expectativa matemática mostrará el valor promedio aproximado del cociente de inteligencia para este grupo de personas, y si calculamos la varianza de la muestra, descubriremos cómo se agrupan los resultados en torno a la expectativa matemática: un grupo cerca de ella (pequeña variación en el coeficiente intelectual) o más uniformemente en todo el rango desde el resultado mínimo hasta el máximo (gran variación y en algún punto intermedio: expectativa matemática).
Para calcular la varianza, necesita una nueva característica de una variable aleatoria: la desviación del valor de la matemáticaesperando.
Desviación
Para comprender cómo calcular la varianza, primero debe comprender la desviación. Su definición es la diferencia entre el valor que toma una variable aleatoria y su expectativa matemática. En términos generales, para comprender cómo se "dispersa" un valor, debe observar cómo se distribuye su desviación. Es decir, reemplazamos el valor del valor con el valor de su desviación del tapete. expectativas y explorar su ley de distribución.
La ley de distribución de una variable discreta, es decir, una variable aleatoria que toma valores individuales, se escribe en forma de tabla, donde el valor del valor se correlaciona con la probabilidad de su ocurrencia. Entonces, en la ley de distribución de desviaciones, la variable aleatoria será reemplazada por su fórmula, en la que hay un valor (que ha conservado su probabilidad) y su propio mat. esperando.
Propiedades de la ley de distribución de la desviación de una variable aleatoria
Hemos escrito la ley de distribución para la desviación de una variable aleatoria. De él, podemos extraer hasta ahora solo una característica como la expectativa matemática. Por conveniencia, es mejor tomar un ejemplo numérico.
Sea una ley de distribución de alguna variable aleatoria: X - valor, p - probabilidad.
Calculamos la expectativa matemática usando la fórmula e inmediatamente la desviación.
Dibujando una nueva tabla de distribución de desviación.
Aquí también calculamos la expectativa.
Resulta cero. Sólo hay un ejemplo, pero siempre será así: no es difícil probar esto en el caso general. La fórmula para la expectativa matemática de la desviación se puede descomponer en la diferencia entre las expectativas matemáticas de una variable aleatoria y, sin importar cuán torcido pueda sonar, la expectativa matemática del tapete. expectativas (recursión, sin embargo), que son las mismas, por lo que su diferencia será cero.
Esto se esperaba: después de todo, las desviaciones en el signo pueden ser tanto positivas como negativas, por lo tanto, en promedio deberían dar cero.
Cómo calcular la varianza de un caso discreto. cantidades
Si mat. no tiene sentido calcular la expectativa de desviación, hay que buscar otra cosa. Simplemente puede tomar los valores absolutos de las desviaciones (módulo); pero con los módulos, no todo es tan simple, por lo que se elevan al cuadrado las desviaciones y luego se calcula su expectativa matemática. En realidad, esto es lo que quieren decir cuando hablan de cómo calcular la varianza.
Es decir, tomamos las desviaciones, las elevamos al cuadrado y hacemos una tabla de desviaciones al cuadrado y probabilidades que corresponden a variables aleatorias. Esta es una nueva ley de distribución. Para calcular la expectativa matemática, debe sumar los productos del cuadrado de la desviación y la probabilidad.
Fórmula más fácil
Sin embargo, el artículo comenzaba con el hecho de que la ley de distribución de la variable aleatoria inicial a menudo se desconoce. Así que se necesita algo más ligero. De hecho, hay otra fórmula que le permite calcular la varianza de la muestra usando solo el tapete.esperando:
Dispersión - la diferencia entre el tapete. expectativa del cuadrado de una variable aleatoria y, a la inversa, el cuadrado de su tapete. esperando.
Hay una prueba para esto, pero no tiene sentido presentarla aquí, ya que no tiene valor práctico (y solo necesitamos calcular la varianza).
Cómo calcular la varianza de una variable aleatoria en series variacionales
En las estadísticas reales, es imposible reflejar todas las variables aleatorias (porque, en términos generales, hay, por regla general, un número infinito de ellas). Por lo tanto, lo que entra en el estudio es la llamada muestra representativa de alguna población general general. Y, dado que las características numéricas de cualquier variable aleatoria de dicha población general se calculan a partir de la muestra, se denominan muestra: media muestral, respectivamente, varianza muestral. Puedes calcularlo de la misma forma que el habitual (a través de las desviaciones al cuadrado).
Sin embargo, tal dispersión se llama sesgada. La fórmula de la varianza imparcial se ve un poco diferente. Suele ser necesario calcularlo.
Pequeña adición
Una característica numérica más está relacionada con la dispersión. También sirve para evaluar cómo se dispersa la variable aleatoria alrededor de su tapete. Expectativas. No hay mucha diferencia en cómo calcular la varianza y la desviación estándar: esta última es la raíz cuadrada de la primera.
