En pocas palabras, el alcance son los valores que puede tomar cualquier función. Para explorar completamente este tema, debe desmontar gradualmente los siguientes puntos y conceptos. Primero, comprendamos la definición de la función y la historia de su aparición.
Qué es una función
Todas las ciencias exactas nos brindan muchos ejemplos donde las variables en cuestión dependen de alguna manera unas de otras. Por ejemplo, la densidad de una sustancia está completamente determinada por su masa y volumen. La presión de un gas ideal a volumen constante varía con la temperatura. Estos ejemplos están unidos por el hecho de que todas las fórmulas tienen dependencias entre variables, que se denominan funcionales.
Una función es un concepto que expresa la dependencia de una cantidad con respecto a otra. Tiene la forma y=f(x), donde y es el valor de la función, que depende de x - el argumento. Así, podemos decir que y es una variable dependiente del valor de x. Los valores que puede tomar x juntos sonel dominio de la función dada (D(y) o D(f)), y en consecuencia, los valores de y constituyen el conjunto de valores de la función (E(f) o E(y)). Hay casos en que una función viene dada por alguna fórmula. En este caso, el dominio de definición consiste en el valor de dichas variables, en las que tiene sentido la notación con la fórmula.
Hay características iguales o coincidentes. Estas son dos funciones que tienen rangos iguales de valores válidos, así como los valores de la función misma son iguales para todos los mismos argumentos.
Muchas leyes de las ciencias exactas reciben nombres similares a situaciones de la vida real. Hay un hecho tan interesante también sobre la función matemática. Hay un teorema sobre el límite de una función "emparedada" entre otras dos que tienen el mismo límite, sobre dos policías. Lo explican de esta manera: como dos policías están conduciendo a un preso a una celda entre ellos, el criminal se ve obligado a ir allí y simplemente no tiene otra opción.
Referencia de características históricas
El concepto de función no se convirtió inmediatamente en definitivo y preciso, sino que ha pasado por un largo camino de transformación. En primer lugar, la Introducción y el estudio de los lugares planos y sólidos de Fermat, publicado a finales del siglo XVII, afirmaba lo siguiente:
Siempre que hay dos incógnitas en la ecuación final, hay espacio.
En general, esta obra habla de la dependencia funcional y de su imagen material (lugar=línea).
También, por la misma época, René Descartes estudió las líneas por sus ecuaciones en su obra "Geometría" (1637), donde nuevamente el hechodependencia de dos cantidades entre sí.
La sola mención del término "función" apareció solo a fines del siglo XVII con Leibniz, pero no en su interpretación moderna. En su trabajo científico, consideró que una función son varios segmentos asociados a una línea curva.
Pero ya en el siglo XVIII, la función comenzó a definirse de manera más correcta. Bernoulli escribió lo siguiente:
Una función es un valor compuesto por una variable y una constante.
Los pensamientos de Euler también estaban cerca de esto:
Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de alguna manera por esta cantidad variable y números o cantidades constantes.
Cuando unas cantidades dependen de otras de tal manera que al cambiar estas últimas cambian ellas mismas, entonces las primeras se llaman funciones de las segundas.
Gráfico de funciones
La gráfica de la función consta de todos los puntos pertenecientes a los ejes del plano de coordenadas, cuyas abscisas toman los valores del argumento, y los valores de la función en estos puntos son ordenadas.
El alcance de una función está directamente relacionado con su gráfico, porque si alguna abscisa está excluida por el rango de valores válidos, entonces necesita dibujar puntos vacíos en el gráfico o dibujar el gráfico dentro de ciertos límites. Por ejemplo, si se toma un gráfico de la forma y=tgx, entonces el valor x=pi / 2 + pin, n∉R se excluye del área de definición, en el caso de un gráfico tangente, debe dibujarrectas verticales paralelas al eje y (se llaman asíntotas) que pasan por los puntos ±pi/2.
Cualquier estudio completo y cuidadoso de las funciones constituye una gran rama de las matemáticas llamada cálculo. En matemáticas elementales, también se tocan cuestiones elementales sobre funciones, por ejemplo, construir un gráfico simple y establecer algunas propiedades básicas de una función.
Qué función se puede configurar en
La función puede:
- ser una fórmula, por ejemplo: y=cos x;
- establecido por cualquier tabla de pares de la forma (x; y);
- inmediatamente tener una vista gráfica, para esto se deben desplegar los pares del ítem anterior de la forma (x;y) en los ejes de coordenadas.
Tenga cuidado al resolver algunos problemas de alto nivel, casi cualquier expresión se puede considerar como una función con respecto a algún argumento para el valor de la función y (x). Encontrar el dominio de definición en tales tareas puede ser la clave para la solución.
¿Para qué sirve el alcance?
Lo primero que necesitas saber sobre una función para poder estudiarla o construirla es su alcance. El gráfico debe contener solo aquellos puntos donde la función puede existir. El dominio de definición (x) también puede denominarse dominio de valores aceptables (abreviado como ODZ).
Para construir correcta y rápidamente una gráfica de funciones, necesita conocer el dominio de esta función, porque la apariencia de la gráfica y la fidelidad dependen de elloconstrucción. Por ejemplo, para construir una función y=√x, necesitas saber que x solo puede tomar valores positivos. Por lo tanto, se construye solo en el primer cuadrante de coordenadas.
Alcance de la definición en el ejemplo de funciones elementales
En su arsenal, las matemáticas tienen un pequeño número de funciones sencillas y definidas. Tienen un alcance limitado. La solución a este problema no causará dificultades incluso si tiene frente a usted una llamada función compleja. Es solo una combinación de varios simples.
- Entonces, la función puede ser fraccionaria, por ejemplo: f(x)=1/x. Por lo tanto, la variable (nuestro argumento) está en el denominador, y todos saben que el denominador de una fracción no puede ser igual a 0, por lo tanto, el argumento puede tomar cualquier valor excepto 0. La notación se verá así: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Si hay alguna expresión con una variable en el denominador, entonces debe resolver la ecuación para x y excluir los valores que convierten el denominador en 0. Para una representación esquemática, 5 puntos bien elegidos son suficientes. La gráfica de esta función será una hipérbola con una asíntota vertical que pasa por el punto (0; 0) y, en combinación, los ejes Ox y Oy. Si la imagen gráfica se cruza con las asíntotas, dicho error se considerará el más grave.
- ¿Pero cuál es el dominio de la raíz? El dominio de una función con expresión radical (f(x)=√(2x + 5)), que contiene una variable, también tiene sus propios matices (solo se aplica a la raíz de un grado par). Comola raíz aritmética es una expresión positiva o igual a 0, entonces la expresión raíz debe ser mayor o igual a 0, resolvemos la siguiente desigualdad: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, por lo tanto, el dominio de esta función: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞). La gráfica es una de las ramas de una parábola, girada 90 grados, ubicada en el primer cuadrante de coordenadas.
- Si estamos tratando con una función logarítmica, entonces debes recordar que hay una restricción con respecto a la base del logaritmo y la expresión bajo el signo del logaritmo, en este caso puedes encontrar el dominio de definición como sigue. Tenemos una función: y=loga(x + 7), resolvemos la desigualdad: x + 7 > 0, x > -7. Entonces el dominio de esta función es D(y)=x ∈ (-7; +∞).
- También preste atención a las funciones trigonométricas de la forma y=tgx y y=ctgx, ya que y=tgx=sinx/cos/x y y=ctgx=cosx/sinx, por lo tanto, necesita excluir valores en el que el denominador puede ser igual a cero. Si está familiarizado con los gráficos de funciones trigonométricas, entender su dominio es una tarea sencilla.
¿En qué se diferencia trabajar con funciones complejas?
Recuerda algunas reglas básicas. Si estamos trabajando con una función compleja, entonces no hay necesidad de resolver algo, simplificar, sumar fracciones, reducir al mínimo común denominador y sacar raíces. Debemos investigar esta función porque operaciones diferentes (incluso idénticas) pueden cambiar el alcance de la función, dando como resultado una respuesta incorrecta.
Por ejemplo, tenemos una función compleja: y=(x2 - 4)/(x - 2). No podemos reducir el numerador y el denominador de la fracción, ya que esto es posible solo si x ≠ 2, y esta es la tarea de encontrar el dominio de la función, por lo que no factorizamos el numerador y no resolvemos ninguna desigualdad, porque el valor en el que la función no existe, visible a simple vista. En este caso, x no puede tomar el valor 2, ya que el denominador no puede ir a 0, la notación se verá así: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).
Funciones recíprocas
Para empezar, vale la pena decir que una función puede volverse reversible solo en un intervalo de aumento o disminución. Para encontrar la función inversa, necesitas intercambiar x e y en la notación y resolver la ecuación para x. Los dominios de definición y los dominios de valor simplemente se invierten.
La condición principal para la reversibilidad es un intervalo monótono de una función, si una función tiene intervalos crecientes y decrecientes, entonces es posible componer la función inversa de cualquier intervalo (creciente o decreciente).
Por ejemplo, para la función exponencial y=exel recíproco es la función logarítmica natural y=logea=lna. Para trigonometría, estas serán funciones con el prefijo arc-: y=senx e y=arcsenx y así sucesivamente. Los gráficos se colocarán simétricamente con respecto a algunos ejes o asíntotas.
Conclusiones
Buscar el rango de valores aceptables se reduce a examinar el gráfico de funciones (si lo hay),registrar y resolver el sistema de desigualdades específico necesario.
Entonces, este artículo lo ayudó a comprender para qué sirve el alcance de una función y cómo encontrarlo. Esperamos que te ayude a entender bien el curso básico de la escuela.
