El cálculo es una rama del cálculo que estudia las derivadas, diferenciales y su uso en el estudio de una función.
Historial de apariencia
El cálculo diferencial surgió como una disciplina independiente en la segunda mitad del siglo XVII, gracias al trabajo de Newton y Leibniz, quienes formularon las disposiciones básicas en el cálculo diferencial y notaron la conexión entre integración y diferenciación. Desde ese momento, la disciplina se ha desarrollado junto con el cálculo de integrales, formando así la base del análisis matemático. La aparición de estos cálculos abrió un nuevo período moderno en el mundo matemático y provocó el surgimiento de nuevas disciplinas en la ciencia. También amplió la posibilidad de aplicar las ciencias matemáticas en las ciencias naturales y la tecnología.
Conceptos básicos
El cálculo diferencial se basa en los conceptos fundamentales de las matemáticas. Ellos son: número real, continuidad, función y límite. Con el tiempo, adquirieron un aspecto moderno, gracias al cálculo integral y diferencial.
Proceso de creación
La formación del cálculo diferencial en la forma de un método aplicado y luego científico ocurrió antes del surgimiento de una teoría filosófica, que fue creada por Nicolás de Cusa. Sus obras se consideran un desarrollo evolutivo a partir de los juicios de la ciencia antigua. A pesar de que el propio filósofo no era matemático, su contribución al desarrollo de la ciencia matemática es innegable. Kuzansky fue uno de los primeros en alejarse de considerar la aritmética como el campo científico más preciso, poniendo en duda las matemáticas de la época.
Los antiguos matemáticos usaban la unidad como criterio universal, mientras que el filósofo proponía el infinito como una nueva medida en lugar del número exacto. En este sentido, se invierte la representación de la precisión en la ciencia matemática. El conocimiento científico, según él, se divide en racional e intelectual. El segundo es más preciso, según el científico, ya que el primero da solo un resultado aproximado.
Idea
La idea principal y el concepto en cálculo diferencial está relacionado con una función en pequeñas vecindades de ciertos puntos. Para ello, es necesario crear un aparato matemático para estudiar una función cuyo comportamiento en una pequeña vecindad de los puntos establecidos se acerque al comportamiento de una función polinomial o lineal. Esto se basa en la definición de derivada y diferencial.
La aparición del concepto de derivada fue provocada por un gran número de problemas de las ciencias naturales y matemáticas,lo que llevó a encontrar los valores de los límites del mismo tipo.
Uno de los principales problemas que se dan como ejemplo a partir de la escuela secundaria es determinar la velocidad de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta y construir una línea tangente a esta curva. El diferencial está relacionado con esto, ya que es posible aproximar la función en una pequeña vecindad del punto considerado de la función lineal.
Frente al concepto de derivada de una función de variable real, la definición de diferenciales pasa simplemente a una función de carácter general, en particular, a la imagen de un espacio euclidiano sobre otro.
Derivada
Dejemos que el punto se mueva en la dirección del eje Oy, por el tiempo que tomamos x, el cual se cuenta desde un cierto comienzo del momento. Tal movimiento se puede describir mediante la función y=f(x), que se asigna a cada momento de tiempo x de la coordenada del punto que se está moviendo. En mecánica, esta función se llama la ley del movimiento. La característica principal del movimiento, especialmente desigual, es la velocidad instantánea. Cuando un punto se mueve a lo largo del eje Oy de acuerdo con la ley de la mecánica, entonces en un momento aleatorio x, adquiere la coordenada f (x). En el momento x + Δx, donde Δx denota el incremento de tiempo, su coordenada será f(x + Δx). Así es como se forma la fórmula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x), que se denomina incremento de la función. Representa el camino recorrido por el punto en el tiempo de x a x + Δx.
Debido a la aparición de estevelocidad en el tiempo, se introduce la derivada. En una función arbitraria, la derivada en un punto fijo se llama límite (suponiendo que exista). Puede ser designado por ciertos símbolos:
f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).
El proceso de calcular la derivada se llama diferenciación.
Cálculo diferencial de una función de varias variables
Este método de cálculo se usa cuando se examina una función con varias variables. En presencia de dos variables x e y, la derivada parcial respecto de x en el punto A se denomina derivada de esta función respecto de x con y fija.
Se puede representar con los siguientes caracteres:
f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x o ∂f(x, y)’/∂x.
Habilidades requeridas
Se requieren habilidades en integración y diferenciación para estudiar con éxito y poder resolver problemas difusos. Para facilitar la comprensión de las ecuaciones diferenciales, debe tener una buena comprensión del tema de la derivada y la integral indefinida. Tampoco está de más aprender a encontrar la derivada de una función implícitamente dada. Esto se debe al hecho de que en el proceso de estudio de integrales y derivaciones a menudo habrá que utilizar.
Tipos de ecuaciones diferenciales
En casi todos los exámenes relacionados con las ecuaciones diferenciales de primer orden, hay 3 tipos de ecuaciones: homogéneas, con variables separables, lineales no homogéneas.
También hay variedades de ecuaciones más raras: con diferenciales totales, ecuaciones de Bernoulli y otras.
Conceptos básicos de las decisiones
Primero, debes recordar las ecuaciones algebraicas del curso escolar. Contienen variables y números. Para resolver una ecuación ordinaria, necesitas encontrar un conjunto de números que satisfagan una condición dada. Como regla, tales ecuaciones tenían una raíz, y para verificar la corrección, uno solo tenía que sustituir este valor por la incógnita.
La ecuación diferencial es similar a esta. En general, una ecuación de primer orden de este tipo incluye:
- Variable independiente.
- La derivada de la primera función.
- Una función o variable dependiente.
En algunos casos, puede f altar una de las incógnitas, x o y, pero esto no es tan importante, ya que la presencia de la primera derivada, sin derivadas de mayor orden, es necesaria para la solución y la diferencial el cálculo es correcto.
Resolver una ecuación diferencial significa encontrar el conjunto de todas las funciones que coinciden con la expresión dada. Tal conjunto de funciones a menudo se llama la solución general de DE.
Cálculo integral
El cálculo integral es una de las secciones del análisis matemático que estudia el concepto de integral, las propiedades y los métodos de su cálculo.
A menudo, el cálculo de la integral se produce al calcular el área de una figura curvilínea. Esta área significa el límite al que tiende el área de un polígono inscrito en una figura dada con un aumento gradual de su lado, mientras que estos lados pueden hacerse menores que cualquiera arbitrariamente especificado previamente.pequeño valor.
La idea principal al calcular el área de una figura geométrica arbitraria es calcular el área de un rectángulo, es decir, demostrar que su área es igual al producto de la longitud por el ancho. Cuando se trata de geometría, todas las construcciones se hacen usando una regla y un compás, y luego la relación entre la longitud y el ancho es un valor racional. Al calcular el área de un triángulo rectángulo, puede determinar que si coloca el mismo triángulo al lado, se forma un rectángulo. En un paralelogramo, el área se calcula mediante un método similar, pero un poco más complicado, a través de un rectángulo y un triángulo. En los polígonos, el área se calcula a través de los triángulos incluidos en él.
Al determinar el respeto de una curva arbitraria, este método no funcionará. Si lo divide en cuadrados individuales, habrá lugares sin llenar. En este caso, se intenta usar dos tapas, con rectángulos arriba y abajo, como resultado, esos incluyen la gráfica de la función y no. El método de partición en estos rectángulos sigue siendo importante aquí. Además, si tomamos particiones cada vez más pequeñas, el área superior e inferior deberían converger en un valor determinado.
Debería volver al método de división en rectángulos. Hay dos métodos populares.
Riemann formalizó la definición de la integral creada por Leibniz y Newton como el área de un subgrafo. En este caso, se consideraron figuras, compuestas por un cierto número de rectángulos verticales y obtenidas al dividirsegmento. Cuando al decrecer la partición existe un límite al que se reduce el área de una figura análoga, a este límite se le llama integral de Riemann de una función en un intervalo dado.
El segundo método es la construcción de la integral de Lebesgue, que consiste en el hecho de que para el lugar de dividir el área definida en partes del integrando y luego compilar la suma integral de los valores obtenidos en estas partes, su rango de valores se divide en intervalos y luego se suma con las medidas correspondientes de preimágenes de estas integrales.
Beneficios modernos
Uno de los principales manuales para el estudio del cálculo diferencial e integral fue escrito por Fikhtengolts - "Curso de cálculo diferencial e integral". Su libro de texto es una guía fundamental para el estudio del análisis matemático, que ha pasado por muchas ediciones y traducciones a otros idiomas. Creado para estudiantes universitarios y se ha utilizado durante mucho tiempo en muchas instituciones educativas como una de las principales ayudas para el estudio. Da datos teóricos y habilidades prácticas. Publicado por primera vez en 1948.
Algoritmo de investigación de funciones
Para investigar una función usando los métodos de cálculo diferencial, debe seguir el algoritmo ya dado:
- Encuentra el alcance de una función.
- Encuentra las raíces de la ecuación dada.
- Calcular extremos. Para ello, calcula la derivada y los puntos donde es igual a cero.
- Sustituye el valor resultante en la ecuación.
Variedades de ecuaciones diferenciales
control de primer orden (de lo contrario, diferencialcálculo de una sola variable) y sus tipos:
- Ecuación separable: f(y)dy=g(x)dx.
- La ecuación más simple, o cálculo diferencial de una función de una variable, que tiene la fórmula: y'=f(x).
- ED lineal no homogénea de primer orden: y'+P(x)y=Q(x).
- Ecuación diferencial de Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
- Ecuación con diferenciales totales: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.
Ecuaciones diferenciales de segundo orden y sus tipos:
- Ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con valores de coeficiente constantes: y +py'+qy=0 p, q pertenece a R.
- Ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes: y +py'+qy=f(x).
- Ecuación diferencial lineal homogénea: y +p(x)y'+q(x)y=0, y ecuación no homogénea de segundo orden: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).
Ecuaciones diferenciales de orden superior y sus tipos:
- Ecuación diferencial que se puede reducir en orden: F(x, y(k), y(k+1),.., y(n)=0.
- Ecuación homogénea lineal de orden superior: y(n)+f(n-1)y(n- 1)+…+f1y'+f0y=0, y no homogéneo: y(n)+f(n-1)y(n-1)+…+f1 y'+f0y=f(x).
Pasos para resolver un problema con una ecuación diferencial
Con la ayuda del control remoto, no solo se resuelven cuestiones matemáticas o físicas, sino también varios problemas debiología, economía, sociología, etc. A pesar de la gran variedad de temas, uno debe adherirse a una sola secuencia lógica al resolver tales problemas:
- Recopilación de control remoto. Uno de los pasos más difíciles y que requiere la máxima precisión, ya que cualquier error conducirá a resultados completamente erróneos. Se deben tener en cuenta todos los factores que influyen en el proceso y se deben determinar las condiciones iniciales. También debe basarse en hechos y conclusiones lógicas.
- Solución de la ecuación formulada. Este proceso es más simple que el primer paso, ya que solo requiere cálculos matemáticos estrictos.
- Análisis y evaluación de los resultados. La solución derivada debe evaluarse para establecer el valor práctico y teórico del resultado.
Un ejemplo del uso de ecuaciones diferenciales en medicina
El uso del control remoto en el campo de la medicina se da cuando se construye un modelo matemático epidemiológico. Al mismo tiempo, no se debe olvidar que estas ecuaciones también se encuentran en la biología y la química, que son cercanas a la medicina, porque en ella juega un papel importante el estudio de diversas poblaciones biológicas y procesos químicos en el cuerpo humano.
En el ejemplo anterior de una epidemia, podemos considerar la propagación de una infección en una sociedad aislada. Los habitantes se dividen en tres tipos:
- Infectados, número x(t), formado por individuos, portadores de la infección, cada uno de los cuales es contagioso (el período de incubación es breve).
- El segundo tipo incluyeindividuos susceptibles y(t) capaces de infectarse a través del contacto con individuos infectados.
- La tercera especie incluye individuos inmunes z(t) que son inmunes o han muerto debido a una enfermedad.
El número de individuos es constante, no se tienen en cuenta los nacimientos, las muertes naturales ni la migración. Habrá dos hipótesis en el centro.
El porcentaje de incidencia en un momento determinado es x(t)y(t) (basado en la teoría de que el número de casos es proporcional al número de intersecciones entre representantes enfermos y susceptibles, que en el primer la aproximación será proporcional a x(t)y(t)), en relación con esto, el número de casos aumenta y el número de susceptibles disminuye a una tasa que se calcula mediante la fórmula ax(t)y(t) (a > 0).
El número de individuos inmunes que se han vuelto inmunes o han muerto está aumentando a un ritmo proporcional al número de casos, bx(t) (b > 0).
Como resultado, puede hacer un sistema de ecuaciones teniendo en cuenta los tres indicadores y sacar conclusiones basadas en él.
Ejemplo económico
El cálculo diferencial se usa a menudo en el análisis económico. La tarea principal en el análisis económico es el estudio de las cantidades de la economía, que se escriben en forma de función. Esto se usa cuando se resuelven problemas como cambios en los ingresos inmediatamente después de un aumento en los impuestos, introducción de aranceles, cambios en los ingresos de la empresa cuando cambia el costo de producción, en qué proporción se pueden reemplazar los trabajadores jubilados con nuevos equipos. Para resolver estos problemas, es necesarioconstruir una función de conexión a partir de las variables de entrada, que luego se estudian usando el cálculo diferencial.
En el ámbito económico, a menudo es necesario encontrar los indicadores más óptimos: la máxima productividad laboral, los ingresos más altos, los costos más bajos, etc. Cada indicador de este tipo es una función de uno o más argumentos. Por ejemplo, la producción puede verse como una función de los insumos de trabajo y capital. En este sentido, encontrar un valor adecuado puede reducirse a encontrar el máximo o mínimo de una función a partir de una o más variables.
Problemas de este tipo crean una clase de problemas extremos en el campo económico, cuya solución requiere cálculo diferencial. Cuando un indicador económico necesita ser minimizado o maximizado en función de otro indicador, entonces en el punto de máximo, la razón del incremento de la función a los argumentos tenderá a cero si el incremento del argumento tiende a cero. De lo contrario, cuando dicha relación tiende a algún valor positivo o negativo, el punto especificado no es adecuado, porque al aumentar o disminuir el argumento, puede cambiar el valor dependiente en la dirección requerida. En la terminología del cálculo diferencial, esto significará que la condición requerida para el máximo de una función es el valor cero de su derivada.
En economía, a menudo hay problemas para encontrar el extremo de una función con varias variables, porque los indicadores económicos se componen de muchos factores. Preguntas como esta son buenas. Estudió en la teoría de funciones de varias variables, aplicando métodos de cálculo diferencial. Dichos problemas incluyen no solo funciones maximizadas y minimizadas, sino también restricciones. Estas preguntas están relacionadas con la programación matemática y se resuelven con la ayuda de métodos especialmente desarrollados, también basados en esta rama de la ciencia.
Entre los métodos de cálculo diferencial usados en economía, una sección importante es el análisis marginal. En el ámbito económico, este término se refiere a un conjunto de métodos para estudiar indicadores y resultados variables al cambiar el volumen de creación, consumo, con base en el análisis de sus indicadores marginales. El indicador limitante es la derivada o derivadas parciales con varias variables.
El cálculo diferencial de varias variables es un tema importante en el campo del análisis matemático. Para un estudio detallado, puede utilizar varios libros de texto para la educación superior. Uno de los más famosos fue creado por Fikhtengolts - "Curso de cálculo diferencial e integral". Como su nombre lo indica, las habilidades para trabajar con integrales son de gran importancia para resolver ecuaciones diferenciales. Cuando se realiza el cálculo diferencial de una función de una variable, la solución se vuelve más sencilla. Aunque, cabe señalar, está sujeto a las mismas reglas básicas. Para estudiar una función en la práctica mediante cálculo diferencial, es suficiente seguir el algoritmo ya existente, que se da en la escuela secundaria y solo se complica un poco cuando se introducen nuevos.variables.
