Cuando tienes que resolver problemas de física sobre el movimiento de objetos, a menudo resulta útil aplicar la ley de conservación del momento. Cuál es el impulso para el movimiento lineal y circular del cuerpo, y cuál es la esencia de la ley de conservación de este valor, se analiza en el artículo.
El concepto de momento lineal
Los datos históricos muestran que por primera vez este valor fue considerado en sus trabajos científicos por Galileo Galilei a principios del siglo XVII. Posteriormente, Isaac Newton pudo integrar armoniosamente el concepto de cantidad de movimiento (un nombre más correcto para cantidad de movimiento) en la teoría clásica del movimiento de objetos en el espacio.
Indique el impulso como p¯, luego la fórmula para su cálculo se escribirá como:
p¯=metrov¯.
Aquí m es la masa, v¯ es la velocidad (valor vectorial) del movimiento. Esta igualdad muestra que la cantidad de movimiento es la característica de velocidad de un objeto, donde la masa juega el papel de un factor de multiplicación. Número de movimientoes una cantidad vectorial que apunta en la misma dirección que la velocidad.
Intuitivamente, cuanto mayor es la velocidad de movimiento y la masa del cuerpo, más difícil es detenerlo, es decir, mayor es la energía cinética que tiene.
La cantidad de movimiento y su cambio
Puedes adivinar que para cambiar el valor p¯ del cuerpo, necesitas aplicar algo de fuerza. Sea la fuerza F¯ actuar durante el intervalo de tiempo Δt, entonces la ley de Newton nos permite escribir la igualdad:
F¯Δt=metroa¯Δt; por lo tanto F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.
El valor igual al producto del intervalo de tiempo Δt y la fuerza F¯ se llama impulso de esta fuerza. Dado que resulta ser igual al cambio en la cantidad de movimiento, esta última a menudo se denomina simplemente cantidad de movimiento, lo que sugiere que alguna fuerza externa F¯ la creó.
Por lo tanto, la razón del cambio en la cantidad de movimiento es la cantidad de movimiento de la fuerza externa. El valor de Δp¯ puede conducir tanto a un aumento en el valor de p¯ si el ángulo entre F¯ y p¯ es agudo, como a una disminución en el módulo de p¯ si este ángulo es obtuso. Los casos más simples son la aceleración del cuerpo (el ángulo entre F¯ y p¯ es cero) y su desaceleración (el ángulo entre los vectores F¯ y p¯ es 180o).
Cuando se conserva la cantidad de movimiento: ley
Si el sistema corporal no estáactúan fuerzas externas, y todos los procesos en él están limitados solo por la interacción mecánica de sus componentes, luego cada componente del impulso permanece sin cambios durante un tiempo arbitrariamente largo. Esta es la ley de conservación de la cantidad de movimiento de los cuerpos, que matemáticamente se escribe de la siguiente manera:
p¯=∑ipi¯=constante o
∑ipix=constante; ∑ipiy=constante; ∑ipiz=constante
El subíndice i es un número entero que enumera el objeto del sistema, y los índices x, y, z describen los componentes del momento para cada uno de los ejes de coordenadas en el sistema rectangular cartesiano.
En la práctica, muchas veces es necesario resolver problemas unidimensionales de colisión de cuerpos, cuando se conocen las condiciones iniciales, y es necesario determinar el estado del sistema después del impacto. En este caso, el momento siempre se conserva, lo que no se puede decir de la energía cinética. Este último antes y después del impacto se mantendrá sin cambios solo en un único caso: cuando hay una interacción absolutamente elástica. Para este caso de colisión de dos cuerpos que se mueven con velocidades v1 y v2, la fórmula de conservación del momento tomará la forma:
m1 v1 + m2 v 2=m1 u1 + m2 u 2.
Aquí, las velocidades u1 y u2 caracterizan el movimiento de los cuerpos después del impacto. Tenga en cuenta que en esta forma de la ley de conservación, es necesario tener en cuenta el signo de las velocidades: si están dirigidas una hacia la otra, entonces una debe tomarsepositivo y el otro negativo.
Para una colisión perfectamente inelástica (dos cuerpos se pegan después del impacto), la ley de conservación de la cantidad de movimiento tiene la forma:
m1 v1 + m2 v 2=(m1+ m2)u.
Solución del problema de la ley de conservación de p¯
Resolvamos el siguiente problema: dos bolas ruedan una hacia la otra. Las masas de las bolas son las mismas y sus velocidades son 5 m/s y 3 m/s. Asumiendo que hay una colisión absolutamente elástica, es necesario encontrar las velocidades de las bolas después de ella.
Usando la ley de conservación de la cantidad de movimiento para el caso unidimensional, y teniendo en cuenta que la energía cinética se conserva después del impacto, escribimos:
v1 - v2=u1 + u 2;
v12 + v22=u12 + u22.
Aquí redujimos inmediatamente las masas de las bolas debido a su igualdad, y también tuvimos en cuenta el hecho de que los cuerpos se mueven uno hacia el otro.
Es más fácil seguir resolviendo el sistema si sustituyes los datos conocidos. Obtenemos:
5 - 3 - u2=u1;
52+ 32=u12+ u22.
Sustituyendo u1 en la segunda ecuación, obtenemos:
2 - u2=u1;
34=(2 - u2)2+u2 2=4 - 4u2 + 2u22; por lo tanto,u22- 2u2 - 15=0.
Obtuvimos la clásica ecuación cuadrática. Lo resolvemos a través del discriminante, obtenemos:
D=4 - 4(-15)=64.
u2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.
Tenemos dos soluciones. Si los sustituimos en la primera expresión y definimos u1, entonces obtenemos el siguiente valor: u1=-3 m/s, u 2=5 m/s; u1=5 m/s, u2=-3 m/s. El segundo par de números se da en la condición del problema, por lo que no corresponde a la distribución real de velocidades después del impacto.
Así, solo queda una solución: u1=-3 m/s, u2=5 m/s. Este curioso resultado significa que en una colisión elástica central, dos bolas de igual masa simplemente intercambian sus velocidades.
Momento de impulso
Todo lo dicho anteriormente se refiere al tipo de movimiento lineal. Sin embargo, resulta que también se pueden introducir cantidades similares en el caso de desplazamiento circular de cuerpos alrededor de un cierto eje. El momento angular, también llamado momento angular, se calcula como el producto del vector que conecta el punto material con el eje de rotación y el momento de este punto. Es decir, la fórmula tiene lugar:
L¯=r¯p¯, donde p¯=metrov¯.
La cantidad de movimiento, como p¯, es un vector que se dirige perpendicularmente al plano construido sobre los vectores r¯ y p¯.
El valor de L¯ es una característica importante de un sistema giratorio, ya que determina la energía que se almacena en él.
Momento de impulso y ley de conservación
El momento angular se conserva si no actúan fuerzas externas sobre el sistema (normalmente se dice que no hay momento de fuerzas). La expresión del párrafo anterior, mediante simples transformaciones, se puede escribir en una forma más conveniente para la práctica:
L¯=Iω¯, donde I=mr2 es el momento de inercia del punto material, ω¯ es la velocidad angular.
El momento de inercia I, que aparece en la expresión, tiene exactamente el mismo significado para la rotación que la masa habitual para el movimiento lineal.
Si hay algún reordenamiento interno del sistema, en el que I cambia, entonces ω¯ tampoco permanece constante. Además, el cambio en ambas cantidades físicas ocurre de tal manera que la siguiente igualdad sigue siendo válida:
I1 ω1¯=I2 ω 2¯.
Esta es la ley de conservación del momento angular L¯. Su manifestación fue observada por todas las personas que asistieron al menos una vez al ballet o al patinaje artístico, donde los atletas realizan piruetas con rotación.
