Ecuaciones planas. Ángulo entre dos planos

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Última modificación: 2024-01-02 17:45

Un plano, junto con un punto y una línea recta, es un elemento geométrico básico. Con su uso se construyen muchas figuras en geometría espacial. En este artículo, consideraremos con más detalle la cuestión de cómo encontrar un ángulo entre dos planos.

Concepto

Antes de hablar del ángulo entre dos planos, debes entender bien de qué elemento de la geometría estamos hablando. Entendamos la terminología. Un plano es una colección interminable de puntos en el espacio, conectando los cuales obtenemos vectores. Este último será perpendicular a algún vector. Comúnmente se le llama normal al plano.

La figura de arriba muestra un plano y dos vectores normales al mismo. Se puede ver que ambos vectores se encuentran en la misma línea recta. El ángulo entre ellos es 180o.

Ecuaciones

El ángulo entre dos planos se puede determinar si se conoce la ecuación matemática del elemento geométrico considerado. Hay varios tipos de tales ecuaciones,cuyos nombres se enumeran a continuación:

• tipo general;
• vectorial;
• en segmentos.

Estos tres tipos son los más convenientes para resolver varios tipos de problemas, por lo que son los más utilizados.

Una ecuación de tipo general se ve así:

Ax + By + Cz + D=0.

Aquí x, y, z son las coordenadas de un punto arbitrario perteneciente al plano dado. Los parámetros A, B, C y D son números. La conveniencia de esta notación radica en el hecho de que los números A, B, C son las coordenadas de un vector normal al plano.

La forma vectorial del plano se puede representar de la siguiente manera:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, si₂, do_2).

Aquí (a₂, b₂, c₂) y (a ₁, b₁, c₁) - parámetros de dos vectores de coordenadas que pertenecen al plano considerado. El punto (x₀, y₀, z_{0) también se encuentra en este plano. Los parámetros α y β pueden tomar valores independientes y arbitrarios.}

Finalmente, la ecuación del plano en segmentos se representa de la siguiente forma matemática:

x/p + y/q + z/l=1.

Aquí p, q, l son números específicos (incluidos los negativos). Este tipo de ecuación es útil cuando es necesario representar un plano en un sistema de coordenadas rectangulares, ya que los números p, q, l muestran los puntos de intersección con los ejes x, y y z.avión.

Tenga en cuenta que cada tipo de ecuación se puede convertir a cualquier otra usando operaciones matemáticas simples.

Fórmula del ángulo entre dos planos

Ahora considere el siguiente matiz. En el espacio tridimensional, dos planos se pueden ubicar solo de dos maneras. O se cortan o son paralelos. Entre dos planos, el ángulo es lo que se encuentra entre sus vectores guía (normales). Intersecándose, 2 vectores forman 2 ángulos (agudo y obtuso en el caso general). El ángulo entre los planos se considera agudo. Considere la ecuación.

La fórmula del ángulo entre dos planos es:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Es fácil adivinar que esta expresión es una consecuencia directa del producto escalar de los vectores normales n₁¯ y n₂ ¯ para los planos considerados. El módulo del producto escalar en el numerador indica que el ángulo θ solo tomará valores desde 0^o hasta 90^{o. El producto de módulos de vectores normales en el denominador significa el producto de sus longitudes.}

Nota, si (n₁¯n_{2¯)=0, entonces los planos se intersecan en un ángulo recto.}

Problema de ejemplo

Habiendo descubierto lo que se llama el ángulo entre dos planos, resolveremos el siguiente problema. Como ejemplo. Entonces, es necesario calcular el ángulo entre dichos planos:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Para resolver el problema, necesitas conocer los vectores directores de los planos. Para el primer plano, el vector normal es: n₁¯=(2, -3, 0). Para encontrar el vector normal del segundo plano, se deben multiplicar los vectores después de los parámetros α y β. El resultado es un vector: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Para determinar el ángulo θ, usamos la fórmula del párrafo anterior. Obtenemos:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

El ángulo calculado en radianes corresponde a 31,26^o. Por lo tanto, los planos de la condición del problema se cortan en un ángulo de 31, 26^o.