La línea y el plano son los dos elementos geométricos más importantes que se pueden usar para construir diferentes formas en el espacio 2D y 3D. Considera cómo encontrar la distancia entre líneas paralelas y planos paralelos.
Línea recta de tarea matemática
Desde el curso de geometría de la escuela se sabe que en un sistema de coordenadas rectangulares de dos dimensiones, una línea se puede especificar de la siguiente forma:
y=kx + b.
Donde k y b son números (parámetros). La forma escrita de representar una línea en un plano es un plano paralelo al eje z en un espacio tridimensional. En vista de esto, en este artículo, para la asignación matemática de una línea recta, usaremos una forma más conveniente y universal: una vectorial.
Supongamos que nuestra línea es paralela a algún vector u¯(a, b, c) y pasa por el punto P(x0, y0, z0). En este caso, en forma vectorial, su ecuación se representará de la siguiente manera:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Aquí λ es cualquier número. Si representamos explícitamente las coordenadas expandiendo la expresión escrita, obtendremos una forma paramétrica de escribir una línea recta.
Es conveniente trabajar con una ecuación vectorial cuando se resuelven varios problemas en los que es necesario determinar la distancia entre líneas paralelas.
Líneas y la distancia entre ellas
Tiene sentido hablar de la distancia entre líneas solo cuando son paralelas (en el caso tridimensional, también hay una distancia distinta de cero entre líneas oblicuas). Si las líneas se cruzan, entonces es obvio que están a una distancia cero entre sí.
La distancia entre líneas paralelas es la longitud de la perpendicular que las conecta. Para determinar este indicador, es suficiente elegir un punto arbitrario en una de las líneas y trazar una perpendicular desde él a otro.
Vamos a describir brevemente el procedimiento para encontrar la distancia deseada. Supongamos que conocemos las ecuaciones vectoriales de dos rectas, las cuales se presentan en la siguiente forma general:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Construye un paralelogramo sobre estas rectas de modo que uno de los lados sea PQ, y el otro, por ejemplo, u. Obviamente, la altura de esta figura, trazada desde el punto P, es la longitud de la perpendicular requerida. Para encontrarlo, puedes aplicar el siguiente sencillofórmula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Dado que la distancia entre líneas rectas es la longitud del segmento perpendicular entre ellas, entonces según la expresión escrita, es suficiente encontrar el módulo del producto vectorial de PQ¯ y u¯ y dividir el resultado por la longitud del vector u¯.
Ejemplo de una tarea para determinar la distancia entre líneas rectas
Dos rectas vienen dadas por las siguientes ecuaciones vectoriales:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
De las expresiones escritas queda claro que tenemos dos líneas paralelas. En efecto, si multiplicamos por -1 las coordenadas del vector director de la primera línea, obtenemos las coordenadas del vector director de la segunda línea, lo que indica su paralelismo.
La distancia entre rectas se calculará mediante la fórmula escrita en el párrafo anterior del artículo. Tenemos:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Entonces obtenemos:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Tenga en cuenta que en lugar de los puntos P y Q, absolutamente cualquier punto que pertenezca a estas líneas podría usarse para resolver el problema. En este caso, obtendríamos la misma distancia d.
Estableciendo un plano en geometría
La cuestión de la distancia entre las líneas se discutió anteriormente en detalle. Ahora vamos a mostrar cómo encontrar la distancia entre planos paralelos.
Todos representan lo que es un avión. Según la definición matemática, el elemento geométrico especificado es una colección de puntos. Además, si compones todos los vectores posibles usando estos puntos, todos ellos serán perpendiculares a un solo vector. Este último suele llamarse normal al plano.
Para especificar la ecuación de un plano en un espacio tridimensional, se usa con mayor frecuencia la forma general de la ecuación. Tiene este aspecto:
Ax + By + Cz + D=0.
Donde las letras latinas mayúsculas son algunos números. Es conveniente utilizar este tipo de ecuación plana porque en ella se dan explícitamente las coordenadas del vector normal. Son A, B, C.
Es fácil ver que dos planos son paralelos solo cuando sus normales son paralelas.
¿Cómo encontrar la distancia entre dos planos paralelos?
Para determinar la distancia especificada, debe comprender claramente lo que está en juego. La distancia entre planos paralelos entre sí se entiende como la longitud del segmento perpendicular a ellos. Los extremos de este segmento pertenecen a planos.
El algoritmo para resolver tales problemas es simple. Para hacer esto, necesitas encontrar las coordenadas de absolutamente cualquier punto que pertenezca a uno de los dos planos. Entonces, debes usar esta fórmula:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Dado que la distancia es un valor positivo, el signo del módulo está en el numerador. La fórmula escrita es universal, ya que le permite calcular la distancia desde el plano hasta absolutamente cualquier elemento geométrico. Basta con conocer las coordenadas de un punto de este elemento.
En aras de la exhaustividad, observamos que si las normales de dos planos no son paralelas entre sí, dichos planos se intersecarán. La distancia entre ellos será entonces cero.
El problema de determinar la distancia entre planos
Se sabe que dos planos vienen dados por las siguientes expresiones:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Es necesario probar que los planos son paralelos, y también determinar la distancia entre ellos.
Para responder la primera parte del problema, necesitas convertir la primera ecuación en una forma general. Tenga en cuenta que se da en la llamada forma de una ecuación en segmentos. Multiplica sus partes izquierda y derecha por 15 y mueve todos los términos a un lado de la ecuación, obtenemos:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Escribamos las coordenadas de dos vectores normales de los planos:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Se puede ver que si n2¯ se multiplica por 5, entonces obtendremos exactamente las coordenadas n1¯. Así, los planos considerados sonparalelo.
Para calcular la distancia entre planos paralelos, seleccione un punto arbitrario del primero de ellos y utilice la fórmula anterior. Por ejemplo, tomemos el punto (0, 0, 1) que pertenece al primer plano. Entonces obtenemos:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
La distancia deseada es de 31 mm.
Distancia entre el plano y la recta
Los conocimientos teóricos aportados también nos permiten resolver el problema de determinar la distancia entre una recta y un plano. Ya se ha mencionado anteriormente que la fórmula que es válida para los cálculos entre planos es universal. También se puede utilizar para resolver el problema. Para hacer esto, simplemente seleccione cualquier punto que pertenezca a la línea dada.
El principal problema para determinar la distancia entre los elementos geométricos considerados es la prueba de su paralelismo (si no, entonces d=0). El paralelismo es fácil de probar si calculas el producto escalar de la normal y el vector de dirección de la línea. Si los elementos considerados son paralelos, entonces este producto será igual a cero.
