Un problema geométrico típico es encontrar el ángulo entre líneas. En un plano, si se conocen las ecuaciones de las líneas, se pueden dibujar y medir el ángulo con un transportador. Sin embargo, este método es laborioso y no siempre es posible. Para averiguar el ángulo nombrado, no es necesario dibujar líneas rectas, se puede calcular. Este artículo responderá cómo se hace esto.
Una recta y su ecuación vectorial
Cualquier línea recta se puede representar como un vector que comienza en -∞ y termina en +∞. En este caso, el vector pasa por algún punto del espacio. Por lo tanto, todos los vectores que se pueden dibujar entre dos puntos cualesquiera de una línea recta serán paralelos entre sí. Esta definición le permite establecer la ecuación de una línea recta en forma vectorial:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Aquí, el vector de coordenadas (a; b; c) es la guía para esta recta que pasa por el punto (x0; y0; z0). El parámetro α le permite transferir el punto especificado a cualquier otro para esta línea. Esta ecuación es intuitiva y fácil de trabajar tanto en el espacio 3D como en un plano. Para un plano, no contendrá las coordenadas z y el tercer componente del vector de dirección.
La conveniencia de realizar cálculos y estudiar la posición relativa de líneas rectas debido al uso de una ecuación vectorial se debe a que se conoce su vector director. Sus coordenadas se utilizan para calcular el ángulo entre líneas y la distancia entre ellas.
Ecuación general de una recta sobre un plano
Escribamos explícitamente la ecuación vectorial de la recta para el caso bidimensional. Parece:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Ahora calculamos el parámetro α para cada igualdad e igualamos las partes derechas de las igualdades obtenidas:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Abriendo los paréntesis y trasladando todos los términos a un lado de la igualdad, obtenemos:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, donde A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
La expresión resultante se denomina ecuación general de una línea recta dada en un espacio bidimensional (en tres dimensiones esta ecuación corresponde a un plano paralelo al eje z, no a una línea recta).
Si escribimos explícitamente y hasta x en esta expresión, obtenemos la siguiente forma, conocidacada alumno:
y=kx + p, donde k=-A/B, p=-C/B
Esta ecuación lineal define de manera única una línea recta en el plano. Es muy fácil dibujarlo según la conocida ecuación, para ello debes poner x=0 e y=0 a su vez, marcar los puntos correspondientes en el sistema de coordenadas y trazar una línea recta que conecte los puntos obtenidos.
Fórmula del ángulo entre rectas
En un plano, dos rectas pueden intersecarse o ser paralelas entre sí. En el espacio, a estas opciones se suma la posibilidad de la existencia de líneas oblicuas. Cualquiera que sea la versión de la posición relativa de estos objetos geométricos unidimensionales que se implemente, el ángulo entre ellos siempre se puede determinar mediante la siguiente fórmula:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Donde v1¯ y v2¯ son los vectores guía para las líneas 1 y 2 respectivamente. El numerador es el módulo del producto escalar para excluir los ángulos obtusos y tener en cuenta solo los agudos.
Los vectores v1¯ y v2¯ pueden estar dados por dos o tres coordenadas, mientras que la fórmula para el ángulo φ permanece sin cambios.
Paralelismo y perpendicularidad de líneas
Si el ángulo entre 2 líneas calculado con la fórmula anterior es 0o, se dice que son paralelas. Para determinar si las rectas son paralelas o no, no puedes calcular el ánguloφ, basta mostrar que un vector de dirección puede representarse a través de un vector similar de otra línea, es decir:
v1¯=qv2¯
Aquí q es un número real.
Si las ecuaciones de las rectas se dan como:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
entonces serán paralelos solo cuando los coeficientes de x sean iguales, es decir:
k1=k2
Este hecho se puede probar si consideramos cómo se expresa el coeficiente k en términos de las coordenadas del vector director de la recta.
Si el ángulo de intersección entre rectas es 90o, entonces se llaman perpendiculares. Para determinar la perpendicularidad de las rectas, tampoco es necesario calcular el ángulo φ, para ello basta con calcular únicamente el producto escalar de los vectores v1¯ y v 2¯. Debe ser cero.
En el caso de líneas rectas que se cortan en el espacio, también se puede usar la fórmula para el ángulo φ. En este caso, el resultado debe interpretarse correctamente. El φ calculado muestra el ángulo entre los vectores de dirección de las líneas que no se cruzan y no son paralelas.
Tarea 1. Líneas perpendiculares
Se sabe que las ecuaciones de las rectas tienen la forma:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Es necesario determinar si estas líneas sonperpendicular.
Como se mencionó anteriormente, para responder a la pregunta, basta con calcular el producto escalar de los vectores de las guías, que corresponden a las coordenadas (1; 2) y (-4; 2). Tenemos:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Como obtuvimos 0, esto significa que las líneas consideradas se cortan en ángulo recto, es decir, son perpendiculares.
Tarea 2. Ángulo de intersección de línea
Se sabe que dos ecuaciones para líneas rectas tienen la siguiente forma:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Es necesario encontrar el ángulo entre las rectas.
Como los coeficientes de x tienen valores diferentes, estas rectas no son paralelas. Para encontrar el ángulo que se forma cuando se intersecan, traducimos cada una de las ecuaciones a una forma vectorial.
Para la primera línea obtenemos:
(x; y)=(x; 2x - 1)
En el lado derecho de la ecuación, tenemos un vector cuyas coordenadas dependen de x. Vamos a representarlo como una suma de dos vectores, y las coordenadas del primero contendrán la variable x, y las coordenadas del segundo estarán compuestas exclusivamente por números:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Dado que x toma valores arbitrarios, puede ser reemplazado por el parámetro α. La ecuación vectorial para la primera línea se convierte en:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Hacemos las mismas acciones con la segunda ecuación de la recta, obtenemos:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Reescribimos las ecuaciones originales en forma vectorial. Ahora puedes usar la fórmula para el ángulo de intersección, sustituyendo en ella las coordenadas de los vectores directores de las rectas:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Por lo tanto, las líneas bajo consideración se cortan en un ángulo de 71.565o, o 1.249 radianes.
Este problema podría haberse resuelto de otra manera. Para hacer esto, fue necesario tomar dos puntos arbitrarios de cada línea recta, componer vectores directos a partir de ellos y luego usar la fórmula para φ.
