Uno de los problemas comunes en estereometría son las tareas de cruzar líneas rectas y planos y calcular los ángulos entre ellos. Consideremos en este artículo con más detalle el llamado método de coordenadas y los ángulos entre la línea y el plano.
Línea y plano en geometría
Antes de considerar el método de coordenadas y el ángulo entre una línea y un plano, debe familiarizarse con los objetos geométricos nombrados.
Una línea es una colección de puntos en el espacio o en un plano, cada uno de los cuales se puede obtener transfiriendo linealmente el anterior a un vector determinado. En lo que sigue, denotaremos este vector con el símbolo u¯. Si este vector se multiplica por cualquier número que no sea igual a cero, entonces obtenemos un vector paralelo a u¯. Una línea es un objeto infinito lineal.
Un plano también es una colección de puntos que están ubicados de tal manera que si creas vectores arbitrarios a partir de ellos, todos ellos serán perpendiculares a algún vector n¯. Este último se llama normal o simplemente normal. Un plano, a diferencia de una línea recta, es un objeto infinito bidimensional.
Método de coordenadas para resolver problemas de geometría
Basándonos en el nombre del método en sí, podemos concluir que estamos hablando de un método para resolver problemas, que se basa en la realización de cálculos secuenciales analíticos. En otras palabras, el método de coordenadas le permite resolver problemas geométricos usando herramientas de álgebra universal, la principal de las cuales son las ecuaciones.
Cabe señalar que el método en cuestión apareció en los albores de la geometría y el álgebra modernas. René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton y Leibniz hicieron una gran contribución a su desarrollo en los siglos XVII y XVIII.
La esencia del método es calcular las distancias, ángulos, áreas y volúmenes de elementos geométricos en base a las coordenadas de puntos conocidos. Tenga en cuenta que la forma de las ecuaciones finales obtenidas depende del sistema de coordenadas. Muy a menudo, el sistema cartesiano rectangular se usa en problemas, ya que es más conveniente trabajar con él.
Ecuación de línea
Consideración del método de coordenadas y los ángulos entre la línea y el plano, comencemos con establecer la ecuación de la línea. Hay varias formas de representar líneas en forma algebraica. Aquí consideramos solo la ecuación vectorial, ya que se puede obtener fácilmente de ella en cualquier otra forma y es fácil trabajar con ella.
Suponga que hay dos puntos: P y Q. Se sabe que se puede trazar una línea a través de ellos, yserá el único. La representación matemática correspondiente del elemento se ve así:
(x, y, z)=P + λPQ¯.
Donde PQ¯ es un vector cuyas coordenadas se obtienen de la siguiente manera:
PQ¯=Q - P.
El símbolo λ denota un parámetro que puede tomar absolutamente cualquier número.
En la expresión escrita, puede cambiar la dirección del vector y también sustituir las coordenadas Q en lugar del punto P. Todas estas transformaciones no conducirán a un cambio en la ubicación geométrica de la línea.
Tenga en cuenta que, al resolver problemas, a veces es necesario representar la ecuación vectorial escrita en forma explícita (paramétrica).
Poner un plano en el espacio
Además de una línea recta, también existen varias formas de ecuaciones matemáticas para un plano. Entre ellos, destacamos el vector, la ecuación en segmentos y la forma general. En este artículo, prestaremos especial atención a la última forma.
Una ecuación general para un plano arbitrario se puede escribir de la siguiente manera:
Ax + By + Cz + D=0.
Las mayúsculas latinas son ciertos números que definen un plano.
La conveniencia de esta notación es que contiene explícitamente un vector normal al plano. Es igual a:
n¯=(A, B, C).
El conocimiento de este vector permite, observando brevemente la ecuación del plano, imaginar la ubicación de este último en el sistema de coordenadas.
Acuerdo mutuo enespacio de línea y plano
En el siguiente párrafo del artículo pasaremos a la consideración del método de coordenadas y el ángulo entre la línea y el plano. Aquí responderemos a la pregunta de cómo se pueden ubicar en el espacio los elementos geométricos considerados. Hay tres formas:
- La recta corta al plano. Usando el método de las coordenadas, puedes calcular en qué punto único se intersecan la recta y el plano.
- El plano de una línea recta es paralelo. En este caso, el sistema de ecuaciones de los elementos geométricos no tiene solución. Para demostrar el paralelismo se suele utilizar la propiedad del producto escalar del vector director de la recta y la normal del plano.
- El plano contiene una línea. Resolviendo el sistema de ecuaciones en este caso, llegaremos a la conclusión de que para cualquier valor del parámetro λ, se obtiene la igualdad correcta.
En el segundo y tercer caso, el ángulo entre los objetos geométricos especificados es igual a cero. En el primer caso, se encuentra entre 0 y 90o.
Cálculo de ángulos entre rectas y planos
Ahora vayamos directamente al tema del artículo. Cualquier intersección de una línea y un plano ocurre en algún ángulo. Este ángulo está formado por la propia línea recta y su proyección sobre el plano. Se puede obtener una proyección si desde cualquier punto de una línea recta se baja una perpendicular sobre el plano, y luego a través del punto obtenido de intersección del plano y la perpendicular y el punto de intersección del plano y la línea original, dibujar un línea recta que será una proyección.
Calcular los ángulos entre líneas y planos no es una tarea difícil. Para resolverlo basta conocer las ecuaciones de los correspondientes objetos geométricos. Digamos que estas ecuaciones se ven así:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c);
Ax + By + Cz + D=0.
El ángulo deseado se encuentra fácilmente usando la propiedad del producto de los vectores escalares u¯ y n¯. La fórmula final se ve así:
θ=arcosen(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).
Esta fórmula dice que el seno del ángulo entre una recta y un plano es igual a la razón del módulo del producto escalar de los vectores marcados por el producto de sus longitudes. Para entender por qué apareció el seno en lugar del coseno, volvamos a la siguiente figura.
Se puede ver que si aplicamos la función coseno, obtendremos el ángulo entre los vectores u¯ y n¯. El ángulo deseado θ (α en la figura) se obtiene de la siguiente manera:
θ=90o- β.
El seno aparece como resultado de aplicar las fórmulas de reducción.
Problema de ejemplo
Pasemos al uso práctico de los conocimientos adquiridos. Resolvamos un problema típico sobre el ángulo entre una línea recta y un plano. Se dan las siguientes coordenadas de cuatro puntos:
P=(1, -1, 0);
Q=(-1, 2, 2);
M=(0, 3, -1);
N=(-2, -1, 1).
Se sabe que a través de puntos PQMpor él pasa un plano y por MN pasa una recta. Usando el método de coordenadas, se debe calcular el ángulo entre el plano y la línea.
Primero, escribamos las ecuaciones de la recta y el plano. Para una línea recta, es fácil componerla:
MN¯=(-2, -4, 2)=>
(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).
Para hacer la ecuación del plano, primero encontramos la normal a él. Sus coordenadas son iguales al producto vectorial de dos vectores que se encuentran en el plano dado. Tenemos:
PQ¯=(-2, 3, 2);
QM¯=(1, 1, -3)=>
n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).
Ahora sustituyamos las coordenadas de cualquier punto que se encuentre en él en la ecuación del plano general para obtener el valor del término libre D:
P=(1, -1, 0);
- (Ax + By + Cz)=D=>
D=- (-11 + 4 + 0)=7.
La ecuación del plano es:
11x + 4y + 5z - 7=0.
Queda por aplicar la fórmula del ángulo formado en la intersección de una recta y un plano para obtener la respuesta al problema. Tenemos:
(u¯n¯)=(11, 4, 5)(-2, -4, 2)=-28;
|u¯|=√24; |n¯|=√162;
θ=arcosen(28/√(16224))=26, 68o.
Usando este problema como ejemplo, mostramos cómo usar el método de coordenadas para resolver problemas geométricos.
