Conocer la distancia de un punto a un plano oa una recta te permite calcular el volumen y la superficie de figuras en el espacio. El cálculo de esta distancia en geometría se realiza utilizando las ecuaciones correspondientes para los objetos geométricos especificados. En el artículo mostraremos qué fórmulas se pueden utilizar para determinarlo.
Ecuaciones de línea y plano
Antes de dar fórmulas para determinar la distancia de un punto a un plano y a una línea, mostremos qué ecuaciones describen estos objetos.
Para definir un punto, se utiliza un conjunto de coordenadas en el sistema dado de ejes de coordenadas. Aquí consideraremos sólo el sistema rectangular cartesiano en el que los ejes tienen los mismos vectores unitarios y son mutuamente perpendiculares. En un plano, un punto arbitrario se describe mediante dos coordenadas, en el espacio, mediante tres.
Se utilizan diferentes tipos de ecuaciones para definir una línea recta. De acuerdo con el tema del artículo, presentamossólo dos de ellos, que se utilizan en el espacio bidimensional para definir líneas.
Ecuación vectorial. Tiene la siguiente notación:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
El primer término aquí representa las coordenadas de un punto conocido que se encuentra en la línea. El segundo término son las coordenadas del vector de dirección multiplicadas por un número arbitrario λ.
Ecuación general. Su notación es la siguiente:
Ax + By + C=0;
donde A, B, C son algunos coeficientes.
La ecuación general se usa más a menudo para determinar líneas en un plano, sin embargo, para encontrar la distancia de un punto a una línea en un plano, es más conveniente trabajar con una expresión vectorial.
Un plano en el espacio tridimensional también se puede escribir de varias formas matemáticas. Sin embargo, la mayoría de las veces en los problemas hay una ecuación general, que se escribe de la siguiente manera:
Ax + By + Cz + D=0.
La ventaja de esta notación con respecto a las demás es que contiene explícitamente las coordenadas de un vector perpendicular al plano. Este vector se llama guía del mismo, coincide con la dirección de la normal, y sus coordenadas son iguales a (A; B; C).
Tenga en cuenta que la expresión anterior coincide con la forma de escribir una ecuación general para una línea recta en un espacio bidimensional, por lo que al resolver problemas, debe tener cuidado de no confundir estos objetos geométricos.
Distancia entre punto y línea
Veamos cómo calcular la distancia entre una línea recta ypunto en el espacio bidimensional.
Sea un punto Q(x1; y1) y una recta dada por:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
La distancia entre una recta y un punto se entiende como la longitud de un segmento perpendicular a esta recta, descendido sobre ella desde el punto Q.
Antes de calcular esta distancia, debe sustituir las coordenadas Q en esta ecuación. Si lo satisfacen, entonces Q pertenece a la recta dada y la distancia correspondiente es igual a cero. Si las coordenadas del punto no conducen a la igualdad, entonces la distancia entre los objetos geométricos es distinta de cero. Se puede calcular usando la fórmula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Aquí P es un punto arbitrario de la línea recta, que es el comienzo del vector PQ¯. El vector u¯ es un segmento guía de una recta, es decir, sus coordenadas son (a; b).
El uso de esta fórmula requiere la capacidad de calcular el producto cruzado en el numerador.
Problema con un punto y una recta
Digamos que necesitas encontrar la distancia entre Q(-3; 1) y una línea recta que satisface la ecuación:
y=5x -2.
Sustituyendo las coordenadas de Q en la expresión, podemos asegurarnos de que Q no se encuentra en la línea. Puede aplicar la fórmula para d dada en el párrafo anterior si representa esta ecuación en forma de vector. Hagámoslo así:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Ahora tomemos cualquier punto en esta línea, por ejemplo (0; -2), y construyamos un vector que comience en él y termine en Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Ahora aplicamos la fórmula para determinar la distancia, obtenemos:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Distancia del punto al plano
Como en el caso de una línea recta, la distancia entre un plano y un punto en el espacio se entiende como la longitud del segmento, que desde un punto dado desciende perpendicularmente al plano y lo corta.
En el espacio, un punto viene dado por tres coordenadas. Si son iguales a (x1; y1; z1), entonces la distancia entre los plano y ese punto se puede calcular usando la fórmula:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Ten en cuenta que usar la fórmula te permite encontrar solo la distancia desde el plano hasta la línea. Para encontrar las coordenadas del punto en el que un segmento perpendicular interseca un plano, es necesario escribir una ecuación para la línea a la que pertenece este segmento y luego encontrar un punto común para esta línea y un plano dado.
Problema con un plano y un punto
Encuentre la distancia de un punto a un plano si se sabe que el punto tiene coordenadas (3; -1; 2) y el plano está dado por:
-y + 3z=0.
Para usar la fórmula correspondiente, primero escribimos los coeficientes paraplano dado. Como la variable x y el término libre están ausentes, los coeficientes A y D son iguales a cero. Tenemos:
A=0; B=-1; do=3; D=0.
Es fácil demostrar que este plano pasa por el origen y el eje x le pertenece.
Sustituye las coordenadas del punto y los coeficientes del plano en la fórmula de la distancia d, obtenemos:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Tenga en cuenta que si cambia la coordenada x de un punto, la distancia d no cambiará. Este hecho significa que el conjunto de puntos (x; -1; 2) forma una línea recta paralela al plano dado.
