En geometría, después de un punto, una línea recta es quizás el elemento más simple. Se utiliza en la construcción de cualquier figura compleja en el plano y en el espacio tridimensional. En este artículo, consideraremos la ecuación general de una línea recta y resolveremos un par de problemas usándola. ¡Empecemos!
Línea recta en geometría
Todo el mundo sabe que las formas como el rectángulo, el triángulo, el prisma, el cubo, etc., se forman mediante la intersección de líneas rectas. Una línea recta en geometría es un objeto unidimensional que se puede obtener transfiriendo un cierto punto a un vector que tiene la misma dirección o la opuesta. Para comprender mejor esta definición, imagina que existe un punto P en el espacio. Tome un vector arbitrario u¯ en este espacio. Entonces cualquier punto Q de la recta se puede obtener como resultado de las siguientes operaciones matemáticas:
Q=P + λu¯.
Aquí λ es un número arbitrario que puede ser positivo o negativo. Si la igualdadescribe arriba en términos de coordenadas, entonces obtenemos la siguiente ecuación de una línea recta:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Esta igualdad se llama la ecuación de una línea recta en forma vectorial. Y el vector u¯ se llama guía.
Ecuación general de una recta en un plano
Cada estudiante puede escribirlo sin ninguna dificultad. Pero la mayoría de las veces la ecuación se escribe así:
y=kx + b.
Donde k y b son números arbitrarios. El número b se llama miembro libre. El parámetro k es igual a la tangente del ángulo formado por la intersección de la recta con el eje x.
La ecuación anterior se expresa con respecto a la variable y. Si lo presentamos en una forma más general, obtenemos la siguiente notación:
Ax + By + C=0.
Es fácil demostrar que esta forma de escribir la ecuación general de una recta en un plano se transforma fácilmente a la forma anterior. Para hacer esto, las partes izquierda y derecha deben dividirse por el factor B y expresarse y.
La figura de arriba muestra una línea recta que pasa por dos puntos.
Una línea en el espacio 3D
Continuemos nuestro estudio. Consideramos la cuestión de cómo se da la ecuación de una línea recta en forma general en un plano. Si aplicamos la notación dada en el párrafo anterior del artículo para el caso espacial, ¿qué obtendremos? Todo es simple, ya no es una línea recta, sino un plano. De hecho, la siguiente expresión describe un plano paralelo al eje z:
Ax + By + C=0.
Si C=0, entonces dicho plano pasaa través del eje z. Esta es una característica importante.
¿Cómo ser entonces con la ecuación general de una recta en el espacio? Para entender cómo preguntarlo, necesitas recordar algo. Dos planos se cortan a lo largo de cierta línea recta. ¿Qué significa esto? Solo que la ecuación general es el resultado de resolver un sistema de dos ecuaciones para planos. Escribamos este sistema:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Este sistema es la ecuación general de una línea recta en el espacio. Tenga en cuenta que los planos no deben ser paralelos entre sí, es decir, sus vectores normales deben estar inclinados en algún ángulo entre sí. De lo contrario, el sistema no tendrá soluciones.
Arriba dimos la forma vectorial de la ecuación para una línea recta. Es conveniente usarlo al resolver este sistema. Para hacer esto, primero necesitas encontrar el producto vectorial de las normales de estos planos. El resultado de esta operación será un vector director de una recta. Luego, se debe calcular cualquier punto que pertenezca a la línea. Para hacer esto, debe establecer cualquiera de las variables igual a un cierto valor, las dos variables restantes se pueden encontrar resolviendo el sistema reducido.
¿Cómo traducir una ecuación vectorial a una general? Matices
Este es un problema real que puede surgir si necesitas escribir la ecuación general de una línea recta usando las coordenadas conocidas de dos puntos. Veamos cómo se resuelve este problema con un ejemplo. Sean conocidas las coordenadas de dos puntos:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
La ecuación en forma de vector es muy fácil de componer. Las coordenadas del vector de dirección son:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Tenga en cuenta que no hay diferencia si restamos las coordenadas Q de las coordenadas del punto P, el vector solo cambiará su dirección a la opuesta. Ahora debes tomar cualquier punto y escribir la ecuación vectorial:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Para escribir la ecuación general de una recta se debe expresar el parámetro λ en ambos casos. Y luego comparar los resultados. Tenemos:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Solo queda abrir los paréntesis y trasladar todos los términos de la ecuación a un lado de la ecuación para obtener una expresión general para una recta que pasa por dos puntos conocidos.
En el caso de un problema tridimensional, se conserva el algoritmo de solución, solo su resultado será un sistema de dos ecuaciones para planos.
Tarea
Es necesario hacer una ecuación generaluna línea recta que corta el eje x en (-3, 0) y es paralela al eje y.
Empecemos a resolver el problema escribiendo la ecuación en forma vectorial. Dado que la línea es paralela al eje y, entonces el vector director será el siguiente:
u¯=(0, 1).
Luego la línea deseada se escribirá de la siguiente manera:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Ahora traduzcamos esta expresión a una forma general, para esto expresamos el parámetro λ:
- x=-3;
- y=λ.
Así, cualquier valor de la variable y pertenece a la línea, sin embargo, sólo le corresponde el único valor de la variable x. Por lo tanto, la ecuación general tomará la forma:
x + 3=0.
Problema con una línea recta en el espacio
Se sabe que dos planos que se cortan vienen dados por las siguientes ecuaciones:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Es necesario encontrar la ecuación vectorial de la línea recta a lo largo de la cual se cruzan estos planos. Empecemos.
Como se dijo, la ecuación general de una línea recta en el espacio tridimensional ya está dada en forma de un sistema de dos con tres incógnitas. En primer lugar, determinamos el vector de dirección a lo largo del cual se intersecan los planos. Multiplicando las coordenadas vectoriales de las normales a los planos, obtenemos:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Como multiplicar un vector por un número negativo invierte su dirección, podemos escribir:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Parapara encontrar una expresión vectorial para una línea recta, además del vector director, se debe conocer algún punto de esta línea recta. Encuentra ya que sus coordenadas deben satisfacer el sistema de ecuaciones en la condición del problema, entonces las encontraremos. Por ejemplo, pongamos x=0, luego obtenemos:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Así, el punto perteneciente a la recta deseada tiene las coordenadas:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Luego obtenemos la respuesta a este problema, la ecuación vectorial de la línea deseada se verá así:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
La corrección de la solución se puede comprobar fácilmente. Para hacer esto, debe elegir un valor arbitrario del parámetro λ y sustituir las coordenadas obtenidas del punto de la línea recta en ambas ecuaciones para los planos, obtendrá una identidad en ambos casos.
