Es imposible afirmar que sabes matemáticas si no sabes cómo trazar gráficos, dibujar desigualdades en una línea de coordenadas y trabajar con ejes de coordenadas. El componente visual en ciencia es vital, porque sin ejemplos visuales en fórmulas y cálculos, a veces te puedes confundir mucho. En este artículo, veremos cómo trabajar con ejes de coordenadas y aprenderemos a construir gráficos de funciones simples.
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La línea de coordenadas es la base de los tipos de gráficos más simples que un estudiante encuentra en su camino educativo. Se utiliza en casi todos los temas matemáticos: al calcular la velocidad y el tiempo, proyectar el tamaño de los objetos y calcular su área, en trigonometría al trabajar con senos y cosenos.
El principal valor de una línea tan directa es la visibilidad. Debido a que las matemáticas son una ciencia que requiere un alto nivel de pensamiento abstracto, los gráficos ayudan a representar un objeto en el mundo real. ¿Cómo se comporta? ¿En qué punto del espacio elunos segundos, minutos, horas? ¿Qué se puede decir de él en comparación con otros objetos? ¿Cuál es su velocidad en un tiempo seleccionado al azar? ¿Cómo caracterizar su movimiento?
Y estamos hablando de velocidad por una razón: a menudo se muestra mediante gráficos de funciones. Y también pueden mostrar cambios de temperatura o presión dentro del objeto, su tamaño, orientación relativa al horizonte. Por lo tanto, la construcción de una línea de coordenadas también se requiere a menudo en física.
Gráfico unidimensional
Hay un concepto de multidimensionalidad. En el espacio unidimensional, solo un número es suficiente para determinar la ubicación de un punto. Este es exactamente el caso con el uso de la línea de coordenadas. Si el espacio es bidimensional, entonces se requieren dos números. Los gráficos de este tipo se usan con mucha más frecuencia y definitivamente los consideraremos un poco más adelante en el artículo.
¿Qué se puede ver con la ayuda de puntos en el eje, si solo hay un eje? Puede ver el tamaño del objeto, su posición en el espacio relativa a algún "cero", es decir, el punto elegido como punto de referencia.
El cambio de parámetros a lo largo del tiempo no será visible, ya que todas las lecturas se mostrarán en un momento determinado. Sin embargo, ¡tienes que empezar en alguna parte! Así que empecemos.
Cómo construir un eje de coordenadas
Primero, necesitas dibujar una línea horizontal - este será nuestro eje. En el lado derecho, "agínelo" para que se vea como una flecha. Así, indicaremos la dirección en la que los números seránincrementar. En la dirección hacia abajo, la flecha generalmente no se coloca. Tradicionalmente, el eje apunta a la derecha, así que seguiremos esta regla.
Vamos a establecer una marca cero, que mostrará el origen de las coordenadas. Este es el mismo lugar desde el que se toma la cuenta regresiva, ya sea tamaño, peso, velocidad o cualquier otra cosa. Además de cero, necesariamente debemos designar el llamado precio de división, es decir, introducir un estándar unitario, de acuerdo con el cual trazaremos ciertas cantidades en el eje. Esto debe hacerse para poder encontrar la longitud del segmento en la línea de coordenadas.
A través de la misma distancia entre sí, coloque puntos o "muescas" en la línea, y debajo de ellos escriba 1, 2, 3, respectivamente, y así sucesivamente. Y ahora, todo está listo. Pero con el cronograma resultante, aún necesita aprender a trabajar.
Tipos de puntos en la línea de coordenadas
Desde el primer vistazo a los dibujos propuestos en los libros de texto, queda claro: los puntos en el eje pueden rellenarse o no rellenarse. ¿Crees que es una coincidencia? ¡De nada! Un punto "sólido" se usa para una desigualdad no estricta, una que se lee como "mayor que o igual a". Si necesitamos limitar estrictamente el intervalo (por ejemplo, "x" puede tomar valores de cero a uno, pero no lo incluye), usaremos un punto "hueco", que es, de hecho, un pequeño círculo en el eje Cabe señalar que a los estudiantes no les gustan mucho las desigualdades estrictas, porque es más difícil trabajar con ellas.
Dependiendo de los puntos queuso en el gráfico, también se llamarán los intervalos construidos. Si la desigualdad en ambos lados no es estricta, entonces obtenemos un segmento. Si, por un lado, resulta estar "abierto", se llamará medio intervalo. Finalmente, si una parte de una línea está limitada a ambos lados por puntos huecos, se llamará intervalo.
Avión
Al construir dos rectas en el plano de coordenadas, ya podemos considerar las gráficas de funciones. Digamos que la línea horizontal es el eje del tiempo y la línea vertical es la distancia. Y ahora podemos determinar qué distancia superará el objeto en un minuto o en una hora de viaje. Así, trabajar con un plano permite monitorear el cambio de estado de un objeto. Esto es mucho más interesante que explorar un estado estático.
El gráfico más simple en dicho plano es una línea recta, refleja la función Y(X)=aX + b. ¿Se dobla la línea? Esto significa que el objeto cambia sus características durante el estudio.
Imagina que estás parado en el techo de un edificio sosteniendo una piedra en tu mano extendida. Cuando lo sueltes, volará hacia abajo, comenzando su movimiento desde velocidad cero. Pero en un segundo superará los 36 kilómetros por hora. La piedra seguirá acelerando aún más y, para dibujar su movimiento en el gráfico, deberá medir su velocidad en varios puntos en el tiempo estableciendo puntos en el eje en los lugares apropiados.
Las marcas en la línea de coordenadas horizontal por defecto se denominan X1, X2, X3, y en la vertical - Y1, Y2, Y3, respectivamente. salienteal plano y encontrando intersecciones, encontramos fragmentos del patrón resultante. Conectándolos con una línea, obtenemos un gráfico de la función. En el caso de una piedra que cae, la función cuadrática se verá así: Y(X)=aXX + bX + c.
Escala
Por supuesto, no es necesario poner valores enteros al lado de las divisiones por una línea recta. Si está considerando el movimiento de un caracol que se arrastra a una velocidad de 0,03 metros por minuto, establezca como valores en la fracción de coordenadas. En este caso, establezca el intervalo de escala en 0,01 metros.
Es especialmente conveniente realizar tales dibujos en un cuaderno en una jaula; aquí puede ver de inmediato si hay suficiente espacio en la hoja para su gráfico, si va más allá de los márgenes. No es difícil calcular su fuerza, porque el ancho de la celda en un cuaderno de este tipo es de 0,5 centímetros. Tomó - redujo la imagen. Los cambios en la escala del gráfico no harán que pierda ni cambie sus propiedades.
Coordenadas de punto y segmento
Cuando se da un problema de matemáticas en una lección, puede contener los parámetros de varias formas geométricas, tanto en forma de longitudes de lado, perímetro, área y en forma de coordenadas. En este caso, es posible que deba crear una forma y obtener algunos datos asociados con ella. Surge la pregunta: ¿cómo encontrar la información requerida en la línea de coordenadas? ¿Y cómo construir una forma?
Por ejemplo, estamos hablando de un punto. Luego, aparecerá una letra mayúscula en la condición del problema, y aparecerán varios números entre paréntesis, la mayoría de las veces dos (esto significa que contaremos en un espacio bidimensional). Si hay tres números entre paréntesis, separados por un punto y coma o una coma, entonces este es un espacio tridimensional. Cada uno de los valores es una coordenada en el eje correspondiente: primero a lo largo de la horizontal (X), luego a lo largo de la vertical (Y).
¿Recuerdas cómo dibujar un segmento? Lo pasaste en geometría. Si hay dos puntos, entonces se puede trazar una línea entre ellos. Sus coordenadas se indican entre paréntesis si aparece un segmento en el problema. Por ejemplo: A(15, 13) - B(1, 4). Para construir una línea de este tipo, debe buscar y marcar puntos en el plano de coordenadas y luego conectarlos. ¡Eso es!
Y cualquier polígono, como sabes, se puede dibujar usando segmentos. Problema resuelto.
Cálculos
Digamos que hay algún objeto cuya posición a lo largo del eje X está caracterizada por dos números: comienza en el punto con la coordenada (-3) y termina en (+2). Si queremos saber la longitud de este objeto, debemos restar el número más pequeño del número más grande. Tenga en cuenta que un número negativo absorbe el signo de la resta, porque "un menos por un menos es igual a un más". Entonces sumamos (2+3) y obtenemos 5. Este es el resultado requerido.
Otro ejemplo: se nos da el punto final y la longitud del objeto, pero no el punto inicial (y necesitamos encontrarlo). Sea (6) la posición del punto conocido y (4) el tamaño del objeto en estudio. Al restar la longitud de la coordenada final, obtenemos la respuesta. Total: (6 - 4)=2.
Números negativos
A menudo se requiere en la práctica trabajar con valores negativos. En este caso lo haremosmoverse hacia la izquierda a lo largo del eje de coordenadas. Por ejemplo, un objeto de 3 centímetros de alto flota en el agua. Un tercio está sumergido en líquido, dos tercios en aire. Luego, al elegir la superficie del agua como eje, obtenemos dos números usando los cálculos aritméticos más simples: el punto superior del objeto tiene la coordenada (+2) y el inferior - (-1) centímetro.
Es fácil ver que en el caso de un plano, tenemos cuatro cuartos de la línea de coordenadas. Cada uno de ellos tiene su propio número. En la primera parte (superior derecha) habrá puntos que tengan dos coordenadas positivas, en la segunda, en la parte superior izquierda, los valores del eje X serán negativos y, a lo largo del eje Y, positivos. El tercero y el cuarto se cuentan más en el sentido contrario a las agujas del reloj.
Propiedad importante
Sabes que una línea se puede representar como un número infinito de puntos. Podemos ver con tanto cuidado como queramos cualquier número de valores en cada dirección del eje, pero no nos encontraremos con los que se repiten. Parece ingenuo y comprensible, pero esa afirmación se deriva de un hecho importante: cada número corresponde a uno y solo un punto en la línea de coordenadas.
Conclusión
Recuerda que los ejes, las figuras y, si es posible, los gráficos deben construirse sobre una regla. Las unidades de medida no fueron inventadas por el hombre por casualidad - si cometes un error al dibujar, corres el riesgo de ver una imagen diferente a la que debería haber sido.
Sea cuidadoso y preciso al trazar y calcular. Como cualquier ciencia estudiada en la escuela, las matemáticas aman la precisión. Poner un poco de esfuerzo y buenolas evaluaciones no tardarán en llegar.
