Uno de los axiomas de la geometría establece que a través de dos puntos cualesquiera es posible trazar una sola línea recta. Este axioma testifica que existe una expresión numérica única que describe de manera única el objeto geométrico unidimensional especificado. Considere en el artículo la cuestión de cómo escribir la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos.
¿Qué es un punto y una recta?
Antes de considerar la cuestión de construir en el espacio y en el plano una línea recta de una ecuación que pase por un par de puntos diferentes, se deben definir los objetos geométricos especificados.
Un punto está determinado únicamente por un conjunto de coordenadas en un sistema dado de ejes de coordenadas. Además de ellos, no hay más características para el punto. Ella es un objeto de dimensión cero.
Cuando se habla de una línea recta, cada persona imagina una línea representada en una hoja de papel blanca. Al mismo tiempo, es posible dar una definición geométrica exactaeste objeto Una línea recta es una colección de puntos para los cuales la conexión de cada uno de ellos con todos los demás dará un conjunto de vectores paralelos.
Esta definición se utiliza al establecer la ecuación vectorial de una línea recta, que se analizará a continuación.
Dado que cualquier línea se puede marcar con un segmento de longitud arbitraria, se dice que es un objeto geométrico unidimensional.
Función de vector numérico
Una ecuación a través de dos puntos de una línea recta que pasa se puede escribir en diferentes formas. En espacios tridimensionales y bidimensionales, la expresión numérica principal e intuitivamente comprensible es un vector.
Supongamos que existe algún segmento dirigido u¯(a; b; c). En el espacio 3D, el vector u¯ puede comenzar en cualquier punto, por lo que sus coordenadas definen un conjunto infinito de vectores paralelos. Sin embargo, si elegimos un punto específico P(x0; y0; z0) y ponemos como el comienzo del vector u¯, luego, multiplicando este vector por un número real arbitrario λ, uno puede obtener todos los puntos de una línea recta en el espacio. Es decir, la ecuación vectorial se escribirá como:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Obviamente, para el caso del plano, la función numérica toma la forma:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
La ventaja de este tipo de ecuación frente a las demás (en segmentos, canónica,forma general) radica en el hecho de que contiene explícitamente las coordenadas del vector de dirección. Este último se usa a menudo para determinar si las líneas son paralelas o perpendiculares.
General en segmentos y función canónica para una recta en espacio bidimensional
Al resolver problemas, a veces necesitas escribir la ecuación de una línea recta que pasa por dos puntos en una forma determinada y específica. Por lo tanto, se deben dar otras formas de especificar este objeto geométrico en un espacio bidimensional (por simplicidad, consideramos el caso en el plano).
Empecemos con una ecuación general. Tiene la forma:
Ax + By + C=0
Como regla general, en el plano la ecuación de una línea recta se escribe de esta forma, solo y se define explícitamente a través de x.
Ahora transforme la expresión anterior de la siguiente manera:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Esta expresión se llama ecuación en segmentos, ya que el denominador de cada variable muestra cuánto corta el segmento de línea en el eje de coordenadas correspondiente en relación con el punto inicial (0; 0).
Queda por dar un ejemplo de la ecuación canónica. Para hacer esto, escribimos la igualdad vectorial explícitamente:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Expresamos el parámetro λ a partir de aquí e igualemos las igualdades resultantes:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
La última igualdad se llama ecuación en forma canónica o simétrica.
Cada uno de ellos se puede convertir a vector y viceversa.
La ecuación de una recta que pasa por dos puntos: una técnica de compilación
Volvamos a la pregunta del artículo. Supongamos que hay dos puntos en el espacio:
M(x1; y1; z1) y N(x 2; y2; z2)
Por ellos pasa la única línea recta, cuya ecuación es muy fácil de componer en forma vectorial. Para ello calculamos las coordenadas del segmento dirigido MN¯, tenemos:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
No es difícil adivinar que este vector será la guía para la línea recta, cuya ecuación se debe obtener. Sabiendo que también pasa por M y N, puedes usar las coordenadas de cualquiera de ellos para una expresión vectorial. Entonces la ecuación deseada toma la forma:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1;z2-z1)
Para el caso en espacio bidimensional, obtenemos una igualdad similar sin la participación de la variable z.
Tan pronto como se escribe la igualdad vectorial para la línea, se puede traducir a cualquier otra forma que requiera la pregunta del problema.
Tarea:escribir una ecuación general
Se sabe que una recta pasa por los puntos de coordenadas (-1; 4) y (3; 2). Es necesario componer la ecuación de una recta que pasa por ellos, en forma general, expresando y en función de x.
Para resolver el problema, primero escribimos la ecuación en forma vectorial. Las coordenadas del vector (guía) son:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Entonces la forma vectorial de la ecuación de la recta es la siguiente:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Queda por escribirlo en forma general en la forma y(x). Reescribimos esta igualdad explícitamente, expresamos el parámetro λ y lo excluimos de la ecuación:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
De la ecuación canónica resultante, expresamos y y llegamos a la respuesta a la pregunta del problema:
y=-0.5x + 3.5
La validez de esta igualdad se puede comprobar sustituyendo las coordenadas de los puntos especificados en el enunciado del problema.
Problema: una recta pasa por el centro del segmento
Ahora resolvamos un problema interesante. Suponga que se dan dos puntos M(2; 1) y N(5; 0). Se sabe que una recta pasa por el punto medio del segmento que une los puntos y es perpendicular a él. Escribe la ecuación de una línea recta que pasa por el medio del segmento en forma vectorial.
La expresión numérica deseada se puede formar calculando la coordenada de este centro y determinando el vector de dirección, quesegmento forma un ángulo 90o.
El punto medio del segmento es:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Ahora calculemos las coordenadas del vector MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Dado que el vector de dirección de la línea deseada es perpendicular a MN¯, su producto escalar es igual a cero. Esto le permite calcular las coordenadas desconocidas (a; b) del vector de dirección:
a3 - b=0=>
b=3a
Ahora escribe la ecuación vectorial:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Aquí hemos reemplazado el producto aλ con un nuevo parámetro β.
Así, hemos hecho la ecuación de una recta que pasa por el centro del segmento.
