Cuando se resuelven problemas geométricos en el espacio, a menudo hay aquellos en los que es necesario calcular los ángulos entre diferentes objetos espaciales. En este artículo, consideraremos el tema de encontrar ángulos entre planos y entre ellos y una línea recta.
Línea en el espacio
Se sabe que absolutamente cualquier recta en el plano puede ser definida por la siguiente igualdad:
y=ax + b
Aquí a y b son algunos números. Si representamos una línea recta en el espacio con la misma expresión, entonces obtenemos un plano paralelo al eje z. Para la definición matemática de la línea espacial se utiliza un método de solución diferente al del caso bidimensional. Consiste en utilizar el concepto de "vector de dirección".
El vector director de una línea recta muestra su orientación en el espacio. Este parámetro pertenece a la línea. Dado que existe un conjunto infinito de vectores paralelos en el espacio, para determinar de manera única el objeto geométrico considerado, también es necesario conocer las coordenadas del punto que le pertenece.
Supongamos que haypunto P(x0; y0; z0) y el vector de dirección v¯(a; b; c), entonces la ecuación de una línea recta se puede dar de la siguiente manera:
(x; y; z)=P + αv¯ o
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Esta expresión se llama la ecuación vectorial paramétrica de una línea recta. El coeficiente α es un parámetro que puede tomar absolutamente cualquier valor real. Las coordenadas de una línea se pueden representar explícitamente expandiendo esta igualdad:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Ecuación del plano
Hay varias formas de escribir una ecuación para un plano en el espacio. Aquí consideraremos uno de ellos, que se usa con mayor frecuencia cuando se calculan los ángulos entre dos planos o entre uno de ellos y una línea recta.
Si se conoce algún vector n¯(A; B; C), que es perpendicular al plano buscado, y el punto P(x0; y 0; z0), que le pertenece, entonces la ecuación general para este último es:
Ax + By + Cz + D=0 donde D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Hemos omitido la derivación de esta expresión, que es bastante simple. Aquí solo notamos que, conociendo los coeficientes de las variables en la ecuación del plano, uno puede encontrar fácilmente todos los vectores que son perpendiculares a él. Estos últimos se denominan normales y se utilizan para calcular los ángulos entre el plano inclinado y el plano y entreanálogos arbitrarios.
La ubicación de los planos y la fórmula para el ángulo entre ellos
Digamos que hay dos planos. ¿Cuáles son las opciones para su posición relativa en el espacio? Dado que el plano tiene dos dimensiones infinitas y un cero, solo son posibles dos opciones para su orientación mutua:
- serán paralelos entre sí;
- pueden superponerse.
El ángulo entre planos es el índice entre sus vectores directores, es decir, entre sus normales n1¯ y n2¯.
Obviamente, si son paralelos al plano, entonces el ángulo de intersección entre ellos es cero. Si se cruzan, entonces es distinto de cero, pero siempre nítido. Un caso especial de intersección será el ángulo 90o, cuando los planos son mutuamente perpendiculares entre sí.
El ángulo α entre n1¯ y n2¯ se determina fácilmente a partir del producto escalar de estos vectores. Es decir, la fórmula tiene lugar:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Suponga que las coordenadas de estos vectores son: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; do2). Luego, usando las fórmulas para calcular el producto escalar y módulos de vectores a través de sus coordenadas, la expresión anterior se puede reescribir como:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +do1 do2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
El módulo en el numerador apareció porque para excluir los valores de los ángulos obtusos.
Ejemplos de resolución de problemas para determinar el ángulo de intersección de planos
Sabiendo encontrar el ángulo entre los planos, resolveremos el siguiente problema. Se dan dos planos cuyas ecuaciones son:
3x + 4y - z + 3=0;
-x - 2y + 5z +1=0
¿Cuál es el ángulo entre los planos?
Para responder a la pregunta del problema, recordemos que los coeficientes de las variables en la ecuación general del plano son las coordenadas del vector guía. Para los planos indicados tenemos las siguientes coordenadas de sus normales:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Ahora encontramos el producto escalar de estos vectores y sus módulos, tenemos:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Ahora puedes sustituir los números encontrados en la fórmula dada en el párrafo anterior. Obtenemos:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
El valor resultante corresponde a un ángulo agudo de intersección de los planos especificados en la condicióntareas.
Ahora considere otro ejemplo. Dados dos planos:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
¿Se cruzan? Escribamos los valores de las coordenadas de sus vectores directores, calculemos su producto escalar y módulos:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Entonces el ángulo de intersección es:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Este ángulo indica que los planos no se cortan, sino que son paralelos. El hecho de que no coincidan entre sí es fácil de comprobar. Tomemos para esto un punto arbitrario perteneciente al primero de ellos, por ejemplo, P(0; 3; 2). Sustituyendo sus coordenadas en la segunda ecuación, obtenemos:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
Es decir, el punto P pertenece sólo al primer plano.
Así que dos planos son paralelos cuando sus normales lo son.
Plano y recta
En el caso de considerar la posición relativa entre un plano y una recta, hay varias opciones más que con dos planos. Este hecho está relacionado con el hecho de que la línea recta es un objeto unidimensional. La recta y el plano pueden ser:
- mutuamente paralelos, en este caso el plano no corta la recta;
- este último puede pertenecer al plano, mientras que también será paralelo a él;
- ambos objetos puedense cruzan en algún ángulo.
Consideremos primero el último caso, ya que requiere la introducción del concepto de ángulo de intersección.
Línea y plano, el ángulo entre ellos
Si una recta corta a un plano, se dice que está inclinada con respecto a él. El punto de intersección se llama base de la pendiente. Para determinar el ángulo entre estos objetos geométricos, es necesario bajar una recta perpendicular al plano desde cualquier punto. Entonces el punto de intersección de la perpendicular con el plano y el lugar de intersección de la línea inclinada con ella forman una línea recta. Esta última se denomina proyección de la línea original sobre el plano considerado. El ángulo agudo entre la línea y su proyección es el requerido.
La definición algo confusa del ángulo entre un plano y un oblicuo aclarará la siguiente figura.
Aquí el ángulo ABO es el ángulo entre la recta AB y el plano a.
Para escribir la fórmula, considera un ejemplo. Sean una recta y un plano, que se describen mediante las ecuaciones:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Es fácil calcular el ángulo deseado para estos objetos si encuentras el producto escalar entre los vectores directores de la línea y el plano. El ángulo agudo resultante se debe restar de 90o, luego se obtiene entre una recta y un plano.
La figura anterior muestra el algoritmo descrito para encontrarángulo considerado. Aquí β es el ángulo entre la normal y la línea, y α es entre la línea y su proyección sobre el plano. Se puede ver que su suma es 90o.
Arriba, se presentó una fórmula que responde a la pregunta de cómo encontrar un ángulo entre planos. Ahora damos la expresión correspondiente para el caso de una recta y un plano:
α=arcsen(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
El módulo en la fórmula solo permite calcular ángulos agudos. La función arcoseno apareció en lugar del arcocoseno debido al uso de la fórmula de reducción correspondiente entre funciones trigonométricas (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problema: Un plano se cruza con una recta
Ahora vamos a mostrar cómo trabajar con la fórmula anterior. Resolvamos el problema: es necesario calcular el ángulo entre el eje y y el plano dado por la ecuación:
y - z + 12=0
Este avión se muestra en la imagen.
Puedes ver que corta los ejes y y z en los puntos (0; -12; 0) y (0; 0; 12), respectivamente, y es paralelo al eje x.
El vector director de la recta y tiene coordenadas (0; 1; 0). Un vector perpendicular a un plano dado se caracteriza por las coordenadas (0; 1; -1). Aplicamos la fórmula para el ángulo de intersección de una recta y un plano, obtenemos:
α=arcsen(|1| / (√1√2))=arcsen(1 / √2)=45o
Problema: recta paralela al plano
Ahora decidamossimilar al problema anterior, cuya cuestión se plantea de manera diferente. Se conocen las ecuaciones del plano y de la recta:
x + y - z - 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Es necesario averiguar si estos objetos geométricos son paralelos entre sí.
Tenemos dos vectores: la dirección de la recta es (0; 2; 2) y la dirección del plano es (1; 1; -1). Encuentra su producto escalar:
01 + 12 - 12=0
El cero resultante indica que el ángulo entre estos vectores es 90o, lo que prueba que la recta y el plano son paralelos.
Ahora veamos si esta línea es solo paralela o también se encuentra en el plano. Para hacer esto, seleccione un punto arbitrario en la línea y verifique si pertenece al plano. Por ejemplo, tomemos λ=0, entonces el punto P(1; 0; 0) pertenece a la recta. Sustituir en la ecuación del plano P:
1 - 3=-2 ≠ 0
El punto P no pertenece al plano, lo que significa que toda la recta tampoco se encuentra en él.
¿Dónde es importante conocer los ángulos entre los objetos geométricos considerados?
Las fórmulas anteriores y los ejemplos de resolución de problemas no son solo de interés teórico. A menudo se utilizan para determinar cantidades físicas importantes de figuras tridimensionales reales, como prismas o pirámides. Es importante poder determinar el ángulo entre los planos al calcular los volúmenes de las figuras y las áreas de sus superficies. Además, si en el caso de un prisma recto es posible no utilizar estas fórmulas para determinarvalores especificados, entonces para cualquier tipo de pirámide su uso es inevitable.
A continuación, considere un ejemplo del uso de la teoría anterior para determinar los ángulos de una pirámide con una base cuadrada.
Pirámide y sus esquinas
La siguiente figura muestra una pirámide, en cuya base se encuentra un cuadrado de lado a. La altura de la figura es h. Necesito encontrar dos esquinas:
- entre la superficie lateral y la base;
- entre la costilla lateral y la base.
Para resolver el problema, primero debes ingresar el sistema de coordenadas y determinar los parámetros de los vértices correspondientes. La figura muestra que el origen de coordenadas coincide con el punto en el centro de la base cuadrada. En este caso, el plano base se describe mediante la ecuación:
z=0
Es decir, para cualquier x e y, el valor de la tercera coordenada siempre es cero. El plano lateral ABC corta el eje z en el punto B(0; 0; h), y el eje y en el punto con coordenadas (0; a/2; 0). No cruza el eje x. Esto significa que la ecuación del plano ABC se puede escribir como:
y / (a / 2) + z / h=1 o
2hy + az - ah=0
El vector AB¯ es una arista lateral. Sus coordenadas inicial y final son: A(a/2; a/2; 0) y B(0; 0; h). Luego las coordenadas del propio vector:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Hemos encontrado todas las ecuaciones y vectores necesarios. Ahora queda usar las fórmulas consideradas.
Primero calculamos en la pirámide el ángulo entre los planos de la basey lado Los vectores normales correspondientes son: n1¯(0; 0; 1) y n2¯(0; 2h; a). Entonces el ángulo será:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
El ángulo entre el plano y la arista AB será:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Queda por sustituir los valores específicos del lado de la base a y la altura h para obtener los ángulos requeridos.
