Incluso en la escuela, cada uno de nosotros estudiaba ecuaciones y, por supuesto, sistemas de ecuaciones. Pero no mucha gente sabe que hay varias formas de resolverlos. Hoy analizaremos en detalle todos los métodos para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales, que constan de más de dos igualdades.
Historia
Hoy se sabe que el arte de resolver ecuaciones y sus sistemas se originó en la antigua Babilonia y Egipto. Sin embargo, las igualdades en su forma habitual aparecieron después de la aparición del signo igual "=", que fue introducido en 1556 por el matemático inglés Record. Por cierto, este signo fue elegido por una razón: significa dos segmentos iguales paralelos. De hecho, no hay mejor ejemplo de igualdad.
El fundador de las designaciones de letras modernas de incógnitas y signos de grados es el matemático francés Francois Viet. Sin embargo, sus designaciones diferían significativamente de las de hoy. Por ejemplo, denotó el cuadrado de un número desconocido con la letra Q (lat. "quadratus") y el cubo con la letra C (lat. "cubus"). Estas designaciones ahora parecen inconvenientes, pero luegoera la forma más comprensible de escribir sistemas de ecuaciones algebraicas lineales.
Sin embargo, la desventaja de los métodos de solución de entonces era que los matemáticos solo consideraban raíces positivas. Quizás esto se deba a que los valores negativos no tenían ningún uso práctico. De una forma u otra, fueron los matemáticos italianos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano y Rafael Bombelli quienes fueron los primeros en considerar las raíces negativas en el siglo XVI. Y el aspecto moderno, el método principal para resolver ecuaciones cuadráticas (a través del discriminante) se creó solo en el siglo XVII gracias al trabajo de Descartes y Newton.
A mediados del siglo XVIII, el matemático suizo Gabriel Cramer encontró una nueva forma de facilitar la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Posteriormente, este método recibió su nombre y hasta el día de hoy lo usamos. Pero hablaremos sobre el método de Cramer un poco más adelante, pero por ahora discutiremos las ecuaciones lineales y los métodos para resolverlas por separado del sistema.
Ecuaciones lineales
Las ecuaciones lineales son las igualdades más simples con variable(s). Se clasifican como algebraicos. Las ecuaciones lineales se escriben en forma general de la siguiente manera: 2+…a x =b. Necesitaremos su representación en esta forma al compilar más sistemas y matrices.
Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales
La definición de este término es esta: es un conjunto de ecuaciones que tienen incógnitas comunes y una solución común. Como regla general, en la escuela todo se decidía por sistemas.con dos o incluso tres ecuaciones. Pero hay sistemas con cuatro o más componentes. Primero descubramos cómo escribirlos para que sea conveniente resolverlos más tarde. Primero, los sistemas de ecuaciones algebraicas lineales se verán mejor si todas las variables se escriben como x con el índice apropiado: 1, 2, 3, etc. En segundo lugar, todas las ecuaciones deben reducirse a la forma canónica: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Después de todos estos pasos, podemos comenzar a hablar sobre cómo encontrar una solución a los sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices serán muy útiles para esto.
Matrices
Una matriz es una tabla que consta de filas y columnas, y sus elementos se encuentran en su intersección. Estos pueden ser valores específicos o variables. La mayoría de las veces, para designar elementos, se colocan subíndices debajo de ellos (por ejemplo, a11 o a23). El primer índice significa el número de fila y el segundo el número de columna. En matrices, así como en cualquier otro elemento matemático, puede realizar varias operaciones. Entonces puedes:
1) Resta y suma tablas del mismo tamaño.
2) Multiplica una matriz por algún número o vector.
3) Transposición: convierte las filas de la matriz en columnas y las columnas en filas.
4) Multiplica matrices si el número de filas de una de ellas es igual al número de columnas de la otra.
Discutiremos todas estas técnicas con más detalle, ya que nos serán útiles en el futuro. Restar y sumar matrices es muy fácil. Asi quecomo tomamos matrices del mismo tamaño, entonces cada elemento de una tabla corresponde a cada elemento de otra. Por lo tanto, sumamos (restamos) estos dos elementos (es importante que estén en los mismos lugares en sus matrices). Al multiplicar una matriz por un número o vector, simplemente necesita multiplicar cada elemento de la matriz por ese número (o vector). La transposición es un proceso muy interesante. Es muy interesante a veces verlo en la vida real, por ejemplo, al cambiar la orientación de una tableta o teléfono. Los íconos en el escritorio son una matriz, y cuando cambias la posición, se transpone y se ensancha, pero disminuye en altura.
Echemos otro vistazo a un proceso como la multiplicación de matrices. Aunque no nos será útil, seguirá siendo útil saberlo. Puede multiplicar dos matrices solo si el número de columnas en una tabla es igual al número de filas en la otra. Ahora tomemos los elementos de una fila de una matriz y los elementos de la columna correspondiente de otra. Los multiplicamos entre sí y luego los sumamos (es decir, por ejemplo, el producto de los elementos a11 y a12 por b 12y b22 serán iguales a: a11b12 + a 12 b22). Por lo tanto, se obtiene un elemento de la tabla y se completa con un método similar.
Ahora podemos empezar a ver cómo se resuelve el sistema de ecuaciones lineales.
Método de Gauss
Este tema empieza a pasar incluso en la escuela. Conocemos bien el concepto de "sistema de dos ecuaciones lineales" y sabemos cómo resolverlos. Pero, ¿y si el número de ecuaciones es más de dos? El método de Gauss nos ayudará con esto.
Por supuesto, este método es conveniente si hace una matriz del sistema. Pero no puedes transformarlo y resolverlo en su forma más pura.
Entonces, ¿cómo resuelve este método el sistema de ecuaciones gaussianas lineales? Por cierto, aunque este método lleva su nombre, fue descubierto en la antigüedad. Gauss propone lo siguiente: realizar operaciones con ecuaciones para eventualmente reducir todo el conjunto a una forma escalonada. Es decir, es necesario que de arriba a abajo (si se coloca correctamente) desde la primera ecuación hasta la última, disminuya una incógnita. En otras palabras, debemos asegurarnos de obtener, digamos, tres ecuaciones: en la primera, tres incógnitas, en la segunda, dos, en la tercera, una. Luego, a partir de la última ecuación, encontramos la primera incógnita, sustituimos su valor en la segunda o primera ecuación, y luego encontramos las dos variables restantes.
Método Cramer
Para dominar este método, es vital dominar las habilidades de suma, resta de matrices, y también debe ser capaz de encontrar determinantes. Por lo tanto, si hace todo esto mal o no sabe cómo hacerlo, tendrá que aprender y practicar.
¿Cuál es la esencia de este método y cómo lograr que se obtenga un sistema de ecuaciones de Cramer lineales? Todo es muy simple. Tenemos que construir una matriz a partir de coeficientes numéricos (casi siempre) de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Para hacer esto, simplemente tome los números frente a las incógnitas y organícelos entabla en el orden en que se registran en el sistema. Si el número está precedido por un signo "-", entonces escribimos un coeficiente negativo. Entonces, hemos compilado la primera matriz a partir de los coeficientes de las incógnitas, sin incluir los números después de los signos iguales (naturalmente, la ecuación debe reducirse a la forma canónica, cuando solo el número está a la derecha y todas las incógnitas con coeficientes a la izquierda). Luego, debe crear varias matrices más, una para cada variable. Para ello, reemplazamos a su vez cada columna con coeficientes en la primera matriz con una columna de números después del signo igual. Así, obtenemos varias matrices y luego encontramos sus determinantes.
Después de haber encontrado los determinantes, el asunto es pequeño. Tenemos una matriz inicial, y hay varias matrices resultantes que corresponden a diferentes variables. Para obtener las soluciones del sistema, dividimos el determinante de la tabla resultante por el determinante de la tabla inicial. El número resultante es el valor de una de las variables. Del mismo modo, encontramos todas las incógnitas.
Otros métodos
Hay varios métodos más para obtener la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Por ejemplo, el llamado método de Gauss-Jordan, que se utiliza para encontrar soluciones a un sistema de ecuaciones cuadráticas y también está asociado al uso de matrices. También existe un método de Jacobi para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Es el más fácil de adaptar a un ordenador y se utiliza en informática.
Casos difíciles
La complejidad generalmente ocurre cuando el número de ecuaciones es menor que el número de variables. Entonces podemos decir con certeza que el sistema es inconsistente (es decir, no tiene raíces) o que el número de sus soluciones tiende a infinito. Si tenemos el segundo caso, entonces necesitamos escribir la solución general del sistema de ecuaciones lineales. Contendrá al menos una variable.
Conclusión
Aquí llegamos al final. En resumen: hemos analizado qué es un sistema y una matriz, hemos aprendido a encontrar una solución general a un sistema de ecuaciones lineales. Además, se consideraron otras opciones. Descubrimos cómo se resuelve el sistema de ecuaciones lineales: el método de Gauss y el método de Cramer. Hablamos de casos difíciles y otras formas de encontrar soluciones.
De hecho, este tema es mucho más extenso, y si desea comprenderlo mejor, le recomendamos que lea literatura más especializada.
