Creo que deberíamos comenzar con la historia de una herramienta matemática tan gloriosa como las ecuaciones diferenciales. Como todo cálculo diferencial e integral, estas ecuaciones fueron inventadas por Newton a fines del siglo XVII. Consideró este mismo descubrimiento suyo tan importante que incluso codificó el mensaje, que hoy se puede traducir más o menos así: "Todas las leyes de la naturaleza se describen mediante ecuaciones diferenciales". Esto puede parecer una exageración, pero es cierto. Cualquier ley de la física, la química o la biología puede describirse mediante estas ecuaciones.
Los matemáticos Euler y Lagrange hicieron una gran contribución al desarrollo y la creación de la teoría de las ecuaciones diferenciales. Ya en el siglo XVIII descubrieron y desarrollaron lo que ahora estudian en los cursos superiores de las universidades.
Un nuevo hito en el estudio de las ecuaciones diferenciales comenzó gracias a Henri Poincaré. Creó una "teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales", que, en combinación con la teoría de funciones de una variable compleja, hizo una contribución significativa a la fundación de la topología - la ciencia del espacio y supropiedades.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales?
Mucha gente tiene miedo de una frase "ecuación diferencial". Sin embargo, en este artículo detallaremos toda la esencia de este útil aparato matemático, que en realidad no es tan complicado como parece por el nombre. Para comenzar a hablar sobre ecuaciones diferenciales de primer orden, primero debe familiarizarse con los conceptos básicos que están inherentemente relacionados con esta definición. Y empezaremos con el diferencial.
Diferencial
Muchos conocen este concepto de la escuela. Sin embargo, echemos un vistazo más de cerca. Imagina la gráfica de una función. Podemos aumentarlo hasta tal punto que cualquiera de sus segmentos tome la forma de una línea recta. En él tomamos dos puntos que están infinitamente cerca uno del otro. La diferencia entre sus coordenadas (x o y) será un valor infinitesimal. Se llama diferencial y se denota con los signos dy (diferencial de y) y dx (diferencial de x). Es muy importante entender que el diferencial no es un valor finito, y este es su significado y función principal.
Y ahora debemos considerar el siguiente elemento, que nos será útil para explicar el concepto de ecuación diferencial. Esta es la derivada.
Derivada
Probablemente todos escuchamos en la escuela este concepto. Se dice que la derivada es la tasa de crecimiento o decrecimiento de una función. Sin embargo, a partir de esta definiciónmucho se vuelve confuso. Tratemos de explicar la derivada en términos de diferenciales. Volvamos a un segmento infinitesimal de una función con dos puntos que están a una distancia mínima entre sí. Pero incluso para esta distancia, la función logra cambiar en cierta medida. Y para describir este cambio, se les ocurrió una derivada, que de otro modo se puede escribir como una razón de diferenciales: f(x)'=df/dx.
Ahora vale la pena considerar las propiedades básicas de la derivada. Solo hay tres de ellos:
- La derivada de la suma o diferencia se puede representar como la suma o diferencia de derivadas: (a+b)'=a'+b' y (a-b)'=a'-b'.
- La segunda propiedad está relacionada con la multiplicación. La derivada de un producto es la suma de los productos de una función y la derivada de otra: (ab)'=a'b+ab'.
- La derivada de la diferencia se puede escribir como la siguiente igualdad: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Todas estas propiedades serán útiles para encontrar soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden.
También hay derivadas parciales. Digamos que tenemos una función z que depende de las variables x e y. Para calcular la derivada parcial de esta función, digamos, con respecto a x, necesitamos tomar la variable y como una constante y simplemente derivar.
Integral
Otro concepto importante es la integral. De hecho, este es el opuesto directo de la derivada. Hay varios tipos de integrales, pero para resolver las ecuaciones diferenciales más simples, necesitamos las integrales indefinidas más triviales.
Entonces, ¿qué es una integral? Digamos que tenemos alguna dependencia fde x Tomamos la integral y obtenemos la función F (x) (a menudo llamada antiderivada), cuya derivada es igual a la función original. Así F(x)'=f(x). También se sigue de esto que la integral de la derivada es igual a la función original.
Al resolver ecuaciones diferenciales, es muy importante comprender el significado y la función de la integral, ya que tendrás que tomarlas muy a menudo para encontrar la solución.
Las ecuaciones son diferentes según su naturaleza. En la siguiente sección, consideraremos los tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden y luego aprenderemos a resolverlas.
Clases de ecuaciones diferenciales
"Diffury" se dividen según el orden de los derivados que intervienen en ellos. Así, existe el primer, segundo, tercer y más orden. También se pueden dividir en varias clases: derivadas ordinarias y parciales.
En este artículo consideraremos ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. También discutiremos ejemplos y formas de resolverlos en las siguientes secciones. Consideraremos solo las ODE, porque estos son los tipos de ecuaciones más comunes. Las ordinarias se dividen en subespecies: con variables separables, homogéneas y heterogéneas. A continuación, aprenderá en qué se diferencian entre sí y cómo resolverlos.
Además, estas ecuaciones se pueden combinar, de manera que luego obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden. También consideraremos tales sistemas y aprenderemos a resolverlos.
¿Por qué consideramos solo el primer pedido? Porque necesita comenzar con uno simple y describir todo lo relacionado con el diferencialecuaciones, en un artículo es simplemente imposible.
Ecuaciones de variables separables
Estas son quizás las ecuaciones diferenciales de primer orden más simples. Estos incluyen ejemplos que se pueden escribir así: y'=f(x)f(y). Para resolver esta ecuación, necesitamos una fórmula para representar la derivada como una razón de diferenciales: y'=dy/dx. Usándolo, obtenemos la siguiente ecuación: dy/dx=f(x)f(y). Ahora podemos pasar al método para resolver ejemplos estándar: dividiremos las variables en partes, es decir, transferiremos todo lo que tenga la variable y a la parte donde se encuentra dy, y haremos lo mismo con la variable x. Obtenemos una ecuación de la forma: dy/f(y)=f(x)dx, que se resuelve tomando las integrales de ambas partes. No te olvides de la constante que se debe configurar después de tomar la integral.
La solución a cualquier "diferencia" es una función de la dependencia de x sobre y (en nuestro caso) o, si hay una condición numérica, entonces la respuesta es en forma de número. Analicemos todo el curso de la solución usando un ejemplo específico:
y'=2ysin(x)
Mover variables en diferentes direcciones:
dy/y=2sin(x)dx
Ahora tomamos integrales. Todos ellos se pueden encontrar en una tabla especial de integrales. Y obtenemos:
ln(y)=-2cos(x) + C
Si es necesario, podemos expresar "y" como una función de "x". Ahora podemos decir que nuestra ecuación diferencial se resuelve si no se da ninguna condición. Se puede dar una condición, por ejemplo, y(n/2)=e. Entonces simplemente sustituimos el valor de estas variables en la solución yencontrar el valor de la constante. En nuestro ejemplo, es igual a 1.
Ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden
Ahora vamos a la parte más difícil. Las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden se pueden escribir en forma general como sigue: y'=z(x, y). Cabe señalar que la función correcta de dos variables es homogénea y no se puede dividir en dos dependencias: z en x y z en y. Comprobar si la ecuación es homogénea o no es bastante sencillo: hacemos la sustitución x=kx y y=ky. Ahora cancelamos todo k. Si todas estas letras se reducen, entonces la ecuación es homogénea y puedes proceder con seguridad a resolverla. De cara al futuro, digamos: el principio para resolver estos ejemplos también es muy simple.
Necesitamos hacer una sustitución: y=t(x)x, donde t es una función que también depende de x. Entonces podemos expresar la derivada: y'=t'(x)x+t. Sustituyendo todo esto en nuestra ecuación original y simplificándola, obtenemos un ejemplo con variables separables t y x. Lo resolvemos y obtenemos la dependencia t(x). Cuando lo tengamos, simplemente sustituimos y=t(x)x en nuestro reemplazo anterior. Entonces obtenemos la dependencia de y en x.
Para que quede más claro, veamos un ejemplo: xy'=y-xey/x.
Al consultar con el reemplazo, todo se reduce. Así que la ecuación es realmente homogénea. Ahora hacemos otra sustitución de la que hablamos: y=t(x)x y y'=t'(x)x+t(x). Después de la simplificación, obtenemos la siguiente ecuación: t'(x)x=-et. Resolvemos el ejemplo resultante con variables separadas y obtenemos: e-t=ln(Cx). Solo necesitamos reemplazar t con y/x (después de todo, si y=tx, entonces t=y/x), y obtenemosrespuesta: e-y/x=ln(xC).
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Es hora de otro gran tema. Analizaremos ecuaciones diferenciales no homogéneas de primer orden. ¿En qué se diferencian de los dos anteriores? Averigüémoslo. Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma general se pueden escribir como sigue: y' + g(x)y=z(x). Vale aclarar que z(x) y g(x) pueden ser constantes.
Y ahora un ejemplo: y' - yx=x2.
Hay dos formas de resolverlo, y trataremos ambas en orden. El primero es el método de variación de constantes arbitrarias.
Para resolver la ecuación de esta manera, primero debes igualar el lado derecho a cero y resolver la ecuación resultante, que después de mover las partes tomará la forma:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Ahora necesitamos reemplazar la constante C1 con la función v(x) que tenemos que encontrar.
y=vex2/2.
Cambiemos la derivada:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Y sustituye estas expresiones en la ecuación original:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Puedes ver que dos términos se cancelan en el lado izquierdo. Si en algún ejemplo esto no sucedió, entonces hiciste algo mal. Continuar:
v'ex2/2 =x2.
Ahora resolvemos la ecuación habitual en la que necesitamos separar las variables:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
Para extraer la integral, tenemos que aplicar aquí la integración por partes. Sin embargo, este no es el tema de nuestro artículo. Si está interesado, puede aprender cómo realizar tales acciones usted mismo. No es difícil, y con suficiente habilidad y atención no toma mucho tiempo.
Pasemos al segundo método para resolver ecuaciones no homogéneas: el método de Bernoulli. Tú decides qué método es más rápido y más fácil.
Entonces, al resolver la ecuación con este método, necesitamos hacer un reemplazo: y=kn. Aquí k y n son algunas funciones dependientes de x. Entonces la derivada se verá así: y'=k'n+kn'. Sustituye ambas sustituciones en la ecuación:
k'n+kn'+xkn=x2.
Grupo:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Ahora necesitamos igualar a cero lo que está entre paréntesis. Ahora, si combinas las dos ecuaciones resultantes, obtienes un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden que necesitas resolver:
n'+xn=0;
k'n=x2.
La primera igualdad se resuelve como una ecuación normal. Para hacer esto, necesitas separar las variables:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Tome la integral y obtenga: ln(n)=x2/2. Entonces, si expresamos n:
n=ex2/2.
Ahora sustituimos la igualdad resultante en la segunda ecuación del sistema:
k'ex2/2=x2.
Y transformando, obtenemos la misma igualdad que en el primer método:
dk=x2/ex2/2.
Tampoco entraremos en más pasos. Vale la pena decir que, al principio, la solución de ecuaciones diferenciales de primer orden presenta importantes dificultades. Sin embargo, a medida que profundiza en el tema, comienza a mejorar cada vez más.
¿Dónde se usan las ecuaciones diferenciales?
Las ecuaciones diferenciales se usan de forma muy activa en la física, ya que casi todas las leyes básicas están escritas en forma diferencial, y las fórmulas que vemos son la solución de estas ecuaciones. En química, se utilizan por la misma razón: las leyes básicas se derivan de ellos. En biología, las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de los sistemas, como depredador-presa. También se pueden utilizar para crear modelos de reproducción de, por ejemplo, una colonia de microorganismos.
¿Cómo ayudarán las ecuaciones diferenciales en la vida?
La respuesta a esta pregunta es simple: de ninguna manera. Si no es científico o ingeniero, es poco probable que le sean útiles. Sin embargo, para el desarrollo general, no está de más saber qué es una ecuación diferencial y cómo se resuelve. Y luego la pregunta de un hijo o hija "¿qué es una ecuación diferencial?" no te confundirá. Bueno, si eres científico o ingeniero, entonces tú mismo comprendes la importancia de este tema en cualquier ciencia. Pero lo más importante es que ahora la pregunta "¿cómo resolver una ecuación diferencial de primer orden?" siempre puedes responder. De acuerdo, siempre es agradable.cuando entiendes lo que la gente tiene miedo de entender.
Principales problemas de aprendizaje
El principal problema para comprender este tema es la poca habilidad para integrar y diferenciar funciones. Si no se le da bien sacar derivadas e integrales, probablemente debería aprender más, dominar diferentes métodos de integración y diferenciación, y solo entonces empezar a estudiar el material que se describe en el artículo.
Algunas personas se sorprenden cuando descubren que dx se puede transferir, porque anteriormente (en la escuela) se dijo que la fracción dy/dx es indivisible. Aquí debe leer la literatura sobre la derivada y comprender que es la relación de cantidades infinitesimales que se pueden manipular al resolver ecuaciones.
Muchos no se dan cuenta inmediatamente de que la solución de las ecuaciones diferenciales de primer orden suele ser una función o una integral que no se puede calcular, y esta ilusión les causa muchos problemas.
¿Qué más se puede estudiar para una mejor comprensión?
Lo mejor es iniciar una mayor inmersión en el mundo del cálculo diferencial con libros de texto especializados, por ejemplo, en cálculo para estudiantes de especialidades no matemáticas. Luego puede pasar a literatura más especializada.
Cabe decir que, además de las ecuaciones diferenciales, también existen las ecuaciones integrales, por lo que siempre tendrás algo por lo que esforzarte y algo que estudiar.
Conclusión
Esperamos que después de leerEste artículo te dio una idea de qué son las ecuaciones diferenciales y cómo resolverlas correctamente.
En cualquier caso, las matemáticas de alguna manera nos serán útiles en la vida. Desarrolla la lógica y la atención, sin las cuales toda persona es como si no tuviera manos.
