Uno de los temas más difíciles e incomprensibles de las matemáticas universitarias es la integración y el cálculo diferencial. Necesita conocer y comprender estos conceptos, así como ser capaz de aplicarlos. Muchas disciplinas técnicas universitarias están ligadas a diferenciales e integrales.
Breve información sobre ecuaciones
Estas ecuaciones son uno de los conceptos matemáticos más importantes en el sistema educativo. Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona las variables independientes, la función que se va a encontrar y las derivadas de esa función con las variables que se supone que son independientes. El cálculo diferencial para encontrar una función de una variable se llama ordinario. Si la función deseada depende de varias variables, entonces se habla de una ecuación diferencial parcial.
De hecho, encontrar una determinada respuesta a la ecuación se reduce a la integración, y el método de solución está determinado por el tipo de ecuación.
Ecuaciones de primer orden
Una ecuación diferencial de primer orden es una ecuación que puede describir una variable, una función deseada y su primera derivada. Tales ecuaciones se pueden dar en tres formas: explícita, implícita, diferencial.
Conceptos necesarios para resolver
Condición inicial: establecer el valor de la función deseada para un valor dado de una variable que es independiente.
Solución de una ecuación diferencial: cualquier función diferenciable, sustituida exactamente en la ecuación original, la convierte en idénticamente igual. La solución obtenida, que no es explícita, es la integral de la ecuación.
La solución general de las ecuaciones diferenciales es una función y=y(x;C), que puede satisfacer los siguientes juicios:
- Una función solo puede tener una constante arbitraria С.
- La función resultante debe ser una solución a la ecuación para cualquier valor arbitrario de una constante arbitraria.
- Con una condición inicial dada, una constante arbitraria se puede definir de una manera única para que la solución particular resultante sea consistente con la condición inicial temprana dada.
En la práctica, se suele utilizar el problema de Cauchy: encontrar una solución que sea particular y pueda compararse con la condición establecida al principio.
El teorema de Cauchy es un teorema que enfatiza la existencia y unicidad de una solución particular en cálculo diferencial.
Sentido geométrico:
- Solución general y=y(x;C)ecuación es el número total de curvas integrales.
- El cálculo diferencial le permite conectar las coordenadas de un punto en el plano XOY y la tangente dibujada a la curva integral.
- Establecer la condición inicial significa establecer un punto en el plano.
- Resolver el problema de Cauchy significa que de todo el conjunto de curvas integrales que representan la misma solución de la ecuación, es necesario seleccionar la única que pasa por el único punto posible.
- El cumplimiento de las condiciones del teorema de Cauchy en un punto significa que una curva integral (además, una sola) pasa necesariamente por el punto elegido en el plano.
Ecuación de variables separables
Por definición, una ecuación diferencial es una ecuación en la que su lado derecho describe o se refleja como un producto (a veces una razón) de dos funciones, una que depende solo de "x" y la otra, solo de "y ". Un claro ejemplo de este tipo: y'=f1(x)f2(y).
Para resolver ecuaciones de una forma particular, primero debes transformar la derivada y'=dy/dx. Luego, al manipular la ecuación, debe llevarla a una forma en la que pueda integrar las dos partes de la ecuación. Después de las transformaciones necesarias, integramos ambas partes y simplificamos el resultado.
Ecuaciones homogéneas
Por definición, una ecuación diferencial puede llamarse homogénea si tiene la siguiente forma: y'=g(y/x).
En este caso, el reemplazo y/x=se usa con mayor frecuenciat(x).
Para resolver tales ecuaciones, es necesario reducir una ecuación homogénea a una forma con variables separables. Para ello, debe realizar las siguientes operaciones:
- Muestra, expresando la derivada de la función original, a partir de cualquier función original como una nueva ecuación.
- El siguiente paso es transformar la función resultante en la forma f(x;y)=g(y/x). En palabras más simples, haz que la ecuación contenga solo la relación y/x y las constantes.
- Haz el siguiente reemplazo: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. La sustitución realizada ayudará a dividir las variables en la ecuación, llevándola gradualmente a una forma más simple.
Ecuaciones lineales
La definición de tales ecuaciones es la siguiente: una ecuación diferencial lineal es una ecuación en la que su lado derecho se expresa como una expresión lineal con respecto a la función original. La función deseada en este caso: y'=a(x)y + b(x).
Reformulemos la definición de la siguiente manera: cualquier ecuación de primer orden se volverá lineal en su forma si la función original y su derivada se incluyen en la ecuación de primer grado y no se multiplican entre sí. La "forma clásica" de una ecuación diferencial lineal tiene la siguiente estructura: y' + P(x)y=Q(x).
Antes de resolver tal ecuación, debe convertirse a la "forma clásica". El siguiente paso será la elección del método de solución: el método de Bernoulli o el método de Lagrange.
Resolviendo la ecuación conusando el método introducido por Bernoulli, implica la sustitución y reducción de una ecuación diferencial lineal a dos ecuaciones con variables separadas relativas a las funciones U(x) y V(x), las cuales fueron dadas en su forma original.
El método de Lagrange es encontrar una solución general a la ecuación original.
- Es necesario encontrar la misma solución de la ecuación homogénea. Después de buscar, tenemos la función y=y(x, C), donde C es una constante arbitraria.
- Estamos buscando una solución a la ecuación original de la misma forma, pero consideramos C=C(x). Sustituimos la función y=y(x, C(x)) en la ecuación original, encontramos la función C(x) y escribimos la solución de la ecuación original general.
Ecuación de Bernoulli
Ecuación de Bernoulli - si el lado derecho del cálculo toma la forma f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, donde k es cualquier valor numérico racional posible, no tomando como casos de ejemplo cuando k=0 y k=1.
Si k=1, entonces el cálculo se vuelve separable, y cuando k=0, la ecuación permanece lineal.
Consideremos el caso general de resolver este tipo de ecuación. Tenemos la ecuación estándar de Bernoulli. Debe reducirse a uno lineal, para esto necesitas dividir la ecuación por yk. Después de esta operación, reemplaza z(x)=y1-k. Después de una serie de transformaciones, la ecuación se reducirá a una lineal, generalmente por el método de sustitución z=UV.
Ecuaciones en diferenciales totales
Definición. Una ecuación con la estructura P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 se llama ecuación en su totalidaddiferenciales, si se cumple la siguiente condición (en esta condición, "d" es una diferencial parcial): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Todas las ecuaciones diferenciales de primer orden consideradas anteriormente pueden mostrarse como diferenciales.
Tales cálculos se resuelven de varias maneras. Pero, sin embargo, todos comienzan con una verificación de condición. Si se cumple la condición, entonces la región más a la izquierda de la ecuación es el diferencial total de la función aún desconocida U(x;y). Luego, de acuerdo con la ecuación, dU (x; y) será igual a cero y, por lo tanto, la misma integral de la ecuación en diferenciales totales se mostrará en la forma U (x; y) u003d C. Por lo tanto, el la solución de la ecuación se reduce a encontrar la función U (x; y).
Factor de integración
Si la condición dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx no se cumple en la ecuación, entonces la ecuación no tiene la forma que consideramos anteriormente. Pero a veces es posible elegir alguna función M(x;y), cuando se multiplica por la cual la ecuación toma la forma de una ecuación en "diffurs" completos. La función M (x;y) se denomina factor integrante.
Solo se puede encontrar un integrador cuando se convierte en función de una sola variable.
