¿Qué son los números irracionales? ¿Por qué se llaman así? ¿Dónde se usan y qué son? Pocos pueden responder a estas preguntas sin dudarlo. Pero, de hecho, las respuestas a ellas son bastante simples, aunque no todos las necesitan y en situaciones muy raras
Esencia y designación
Los números irracionales son fracciones decimales infinitas no periódicas. La necesidad de introducir este concepto se debe a que los conceptos previamente existentes de números reales o reales, enteros, naturales y racionales ya no eran suficientes para resolver los nuevos problemas emergentes. Por ejemplo, para calcular cuál es el cuadrado de 2, necesitas usar decimales infinitos no recurrentes. Además, muchas de las ecuaciones más simples tampoco tienen solución sin introducir el concepto de número irracional.
Este conjunto se denota como I. Y, como ya está claro, estos valores no se pueden representar como una fracción simple, en cuyo numerador habrá un número entero, y en el denominador, un número natural.
Por primera vez en la historiade lo contrario, los matemáticos indios se encontraron con este fenómeno en el siglo VII a. C., cuando descubrieron que las raíces cuadradas de algunas cantidades no podían indicarse explícitamente. Y la primera prueba de la existencia de tales números se atribuye al pitagórico Hippasus, quien hizo esto en el proceso de estudiar un triángulo rectángulo isósceles. Algunos otros científicos que vivieron antes de nuestra era hicieron una contribución seria al estudio de este conjunto. La introducción del concepto de números irracionales supuso una revisión del sistema matemático existente, por lo que son tan importantes.
Origen del nombre
Si razón en latín significa "fracción", "razón", entonces el prefijo "ir"
le da a esta palabra el significado opuesto. Así, el nombre del conjunto de estos números indica que no se pueden correlacionar con un número entero o fraccionario, tienen un lugar aparte. Esto se sigue de su esencia.
Puesto en la clasificación general
Los números irracionales, junto con los números racionales, pertenecen al grupo de los números reales o reales, que a su vez pertenecen a los números complejos. No hay subconjuntos, sin embargo, hay variedades algebraicas y trascendentales, que se discutirán a continuación.
Propiedades
Dado que los números irracionales son parte del conjunto de los números reales, se les aplican todas sus propiedades que se estudian en aritmética (también llamadas leyes algebraicas básicas).
a + b=b + a (conmutatividad);
(a + b) + c=a + (b + c)(asociatividad);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (la existencia del número opuesto);
ab=ba (ley de desplazamiento);
(ab)c=a(bc) (distributividad);
a(b+c)=ab + ac (ley distributiva);
a x 1=a
a x 1/a=1 (la existencia de un número inverso);
La comparación también se lleva a cabo de acuerdo con leyes y principios generales:
Si a > b y b > c, entonces a > c (transitividad de la razón) y. etc.
Por supuesto, todos los números irracionales se pueden convertir usando aritmética básica. No hay reglas especiales para esto.
Además, el axioma de Arquímedes se aplica a los números irracionales. Dice que para cualesquiera dos cantidades a y b, la afirmación es verdadera de que al tomar a como término suficientes veces, puedes superar a b.
Usar
A pesar de que en la vida ordinaria no tienes que lidiar con ellos a menudo, los números irracionales no se pueden contar. Hay muchos de ellos, pero son casi invisibles. Estamos rodeados de números irracionales por todas partes. Ejemplos familiares para todos son el número pi, igual a 3, 1415926…, o e, que es esencialmente la base del logaritmo natural, 2, 718281828… En álgebra, trigonometría y geometría, tienen que usarse constantemente.. Por cierto, el famoso valor de la "sección áurea", es decir, la relación entre la parte más grande y la más pequeña, y viceversa, también es
pertenece a este conjunto. Menos conocido "plata" - también.
Están ubicados muy densamente en la recta numérica, por lo que entre dos valores cualesquiera relacionados con el conjunto de los racionales, seguramente ocurrirá uno irracional.
Todavía hay muchos problemas sin resolver relacionados con este conjunto. Existen criterios tales como la medida de la irracionalidad y la normalidad de un número. Los matemáticos continúan examinando los ejemplos más significativos por su pertenencia a un grupo u otro. Por ejemplo, se cree que e es un número normal, es decir, la probabilidad de que aparezcan dígitos diferentes en su registro es la misma. En cuanto a pi, todavía se están realizando investigaciones al respecto. Una medida de irracionalidad también se denomina valor que muestra qué tan bien se puede aproximar este o aquel número mediante números racionales.
Algebraico y trascendental
Como ya se mencionó, los números irracionales se dividen condicionalmente en algebraicos y trascendentales. Condicionalmente, ya que, en sentido estricto, esta clasificación se utiliza para dividir el conjunto C.
Esta designación esconde números complejos, que incluyen números reales o reales.
Entonces, un valor algebraico es un valor que es la raíz de un polinomio que no es idénticamente igual a cero. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 estaría en esta categoría porque es la solución a la ecuación x2 - 2=0.
Todos los demás números reales que no cumplen esta condición se llaman trascendentales. A esta variedadincluye los ejemplos más famosos y ya mencionados: el número pi y la base del logaritmo natural e.
Curiosamente, ni uno ni el segundo fueron originalmente deducidos por los matemáticos en esta capacidad, su irracionalidad y trascendencia fueron probadas muchos años después de su descubrimiento. Para pi, la prueba se dio en 1882 y se simplificó en 1894, lo que puso fin a la controversia de 2500 años sobre el problema de la cuadratura del círculo. Todavía no se entiende por completo, por lo que los matemáticos modernos tienen algo en lo que trabajar. Por cierto, Arquímedes realizó el primer cálculo suficientemente preciso de este valor. Antes de él, todos los cálculos eran demasiado aproximados.
Para e (los números de Euler o Napier), la prueba de su trascendencia se encontró en 1873. Se utiliza para resolver ecuaciones logarítmicas.
Otros ejemplos incluyen valores de seno, coseno y tangente para cualquier valor algebraico distinto de cero.
