Los estudiantes de matemáticas superiores deben ser conscientes de que la suma de algunas series de potencias pertenecientes al intervalo de convergencia de la serie dada resulta ser una función continua e ilimitada de veces diferenciada. Surge la pregunta: ¿es posible afirmar que una determinada función arbitraria f(x) es la suma de alguna serie de potencias? Es decir, ¿bajo qué condiciones se puede representar la función f(x) mediante una serie de potencias? La importancia de esta pregunta radica en que es posible reemplazar aproximadamente la función f(x) por la suma de los primeros términos de la serie de potencias, es decir, por un polinomio. Tal reemplazo de una función por una expresión bastante simple, un polinomio, también es conveniente cuando se resuelven algunos problemas de análisis matemático, a saber: cuando se resuelven integrales, cuando se calculan ecuaciones diferenciales, etc.
Se ha demostrado que para alguna función f(х) donde las derivadas hasta (n+1)ésimo orden, incluida la última, pueden calcularse en el entorno (α - R; x0 + R) de algún punto x=α la fórmula es válida:
Esta fórmula lleva el nombre del famoso científico Brook Taylor. La serie que se obtiene de la anterior se denomina serie de Maclaurin:
La regla que permite expandir en una serie de Maclaurin:
- Determinar las derivadas de primer, segundo, tercer… orden.
- Calcula a qué equivalen las derivadas en x=0.
- Registra la serie de Maclaurin para esta función y luego determina el intervalo de su convergencia.
- Determinar el intervalo (-R;R) donde queda el resto de la fórmula de Maclaurin
R (x) -> 0 para n -> infinito. Si existe, la función f(x) debe coincidir con la suma de la serie de Maclaurin.
Ahora considere la serie de Maclaurin para funciones individuales.
1. Entonces, el primero será f(x)=ex. Por supuesto, según sus características, tal función tiene derivadas de varios órdenes, y f(k)(x)=ex, donde k es igual a todos números naturales. Sustituyamos x=0. Obtenemos f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… se vería así:
2. La serie de Maclaurin para la función f(x)=sen x. Inmediatamente aclare que la función para todas las incógnitas tendrá derivadas, además de f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f(k)(x)=sin(x+k n/2), donde k es igual a cualquier número natural. Es decir, después de hacer cálculos simples, podemos llegar a la conclusión de que la serie para f(x)=sen x se verá así:
3. Ahora intentemos considerar la función f(x)=cos x. Ella es para todo lo desconocidotiene derivadas de orden arbitrario, y |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Nuevamente, después de hacer algunos cálculos, obtenemos que la serie para f(x)=cos x se verá así:
Entonces, hemos enumerado las funciones más importantes que se pueden expandir en la serie de Maclaurin, pero se complementan con la serie de Taylor para algunas funciones. Ahora los enumeraremos. También vale la pena señalar que las series de Taylor y Maclaurin son una parte importante de la práctica de resolver series en matemáticas superiores. Entonces, serie de Taylor.
1. La primera será una serie para f-ii f(x)=ln(1+x). Como en los ejemplos anteriores, dados f (x)=ln (1 + x), podemos sumar una serie usando la forma general de la serie de Maclaurin. sin embargo, para esta función, la serie de Maclaurin se puede obtener de forma mucho más sencilla. Luego de integrar cierta serie geométrica, obtenemos una serie para f(x)=ln(1+x) de esta muestra:
2. Y el segundo, que será el final de nuestro artículo, será una serie para f (x) u003d arctg x. Para x perteneciente al intervalo [-1;1], la expansión es válida:
Eso es todo. Este artículo examinó las series de Taylor y Maclaurin más utilizadas en matemáticas superiores, en particular, en universidades económicas y técnicas.
