Pitágoras argumentó que el número subyace al mundo junto con los elementos básicos. Platón creía que el número conecta el fenómeno y el noúmeno, ayudando a conocer, medir y sacar conclusiones. La aritmética proviene de la palabra "arithmos" - un número, el comienzo de los comienzos de las matemáticas. Puede describir cualquier objeto, desde una manzana elemental hasta espacios abstractos.
Las necesidades como factor de desarrollo
En las primeras etapas de la formación de la sociedad, las necesidades de las personas se limitaban a la necesidad de llevar la cuenta: un saco de grano, dos sacos de grano, etc. Los números naturales eran suficientes para esto, cuyo conjunto es una secuencia positiva infinita de números enteros N.
Más tarde, con el desarrollo de las matemáticas como ciencia, surgió la necesidad de un campo separado de números enteros Z: incluye valores negativos y cero. Su aparición a nivel del hogar fue provocada por el hecho de que en la contabilidad primaria era necesario arreglar de alguna maneradeudas y pérdidas. A nivel científico, los números negativos han hecho posible resolver las ecuaciones lineales más simples. Entre otras cosas, ahora es posible la imagen de un sistema de coordenadas trivial, ya que ha aparecido un punto de referencia.
El siguiente paso fue la necesidad de introducir los números fraccionarios, ya que la ciencia no se detuvo, cada vez más descubrimientos requerían una base teórica para un nuevo impulso de crecimiento. Así apareció el campo de los números racionales Q.
Finalmente, la racionalidad dejó de satisfacer las solicitudes, porque todas las nuevas conclusiones requerían una justificación. Apareció el campo de los números reales R, los trabajos de Euclides sobre la inconmensurabilidad de ciertas cantidades por su irracionalidad. Es decir, los antiguos matemáticos griegos posicionaron el número no solo como una constante, sino también como una cantidad abstracta, que se caracteriza por la relación de cantidades inconmensurables. Debido al hecho de que aparecieron los números reales, cantidades como "pi" y "e" "vieron la luz", sin las cuales las matemáticas modernas no podrían tener lugar.
La innovación final fue el número complejo C. Respondió a una serie de preguntas y refutó los postulados introducidos anteriormente. Debido al rápido desarrollo del álgebra, el resultado era predecible: tener números reales era imposible resolver muchos problemas. Por ejemplo, gracias a los números complejos, se destacó la teoría de las cuerdas y el caos, y se ampliaron las ecuaciones de la hidrodinámica.
Teoría de conjuntos. Cantor
El concepto de infinito en todo momentocausó controversia, ya que no se pudo probar ni refutar. En el contexto de las matemáticas, que operaban con postulados estrictamente verificados, esto se manifestaba con mayor claridad, sobre todo porque el aspecto teológico todavía tenía peso en la ciencia.
Sin embargo, gracias al trabajo del matemático Georg Kantor, todo encajó con el tiempo. Demostró que hay un número infinito de conjuntos infinitos y que el campo R es mayor que el campo N, incluso si ambos no tienen fin. A mediados del siglo XIX, sus ideas fueron tildadas de disparates y crímenes contra los cánones clásicos e inquebrantables, pero el tiempo puso todo en su lugar.
Propiedades básicas del campo R
Los números reales no solo tienen las mismas propiedades que los subconjuntos que se incluyen en ellos, sino que además se complementan con otros debido a la escala de sus elementos:
- El cero existe y pertenece al campo R. c + 0=c para cualquier c de R.
- El cero existe y pertenece al campo R. c x 0=0 para cualquier c de R.
- La relación c: d para d ≠ 0 existe y es válida para cualquier c, d de R.
- El campo R es ordenado, es decir, si c ≦ d, d ≦ c, entonces c=d para cualquier c, d de R.
- La suma en el campo R es conmutativa, es decir, c + d=d + c para cualquier c, d de R.
- La multiplicación en el campo R es conmutativa, es decir, c x d=d x c para cualquier c, d de R.
- La suma en el campo R es asociativa, es decir, (c + d) + f=c + (d + f) para cualquier c, d, f de R.
- La multiplicación en el campo R es asociativa, es decir, (c x d) x f=c x (d x f) para cualquier c, d, f de R.
- Para cada número en el campo R, hay un opuesto, tal que c + (-c)=0, donde c, -c es de R.
- Para cada número del campo R existe su inverso, tal que c x c-1 =1, donde c, c-1 de R.
- La unidad existe y pertenece a R, entonces c x 1=c, para cualquier c de R.
- La ley de distribución es válida, entonces c x (d + f)=c x d + c x f, para cualquier c, d, f de R.
- En el campo R, cero no es igual a uno.
- El cuerpo R es transitivo: si c ≦ d, d ≦ f, entonces c ≦ f para cualquier c, d, f de R.
- En el campo R, el orden y la suma están relacionados: si c ≦ d, entonces c + f ≦ d + f para cualquier c, d, f de R.
- En el campo R, el orden y la multiplicación están relacionados: si 0 ≦ c, 0 ≦ d, entonces 0 ≦ c x d para cualquier c, d de R.
- Tanto los números reales negativos como los positivos son continuos, es decir, para cualquier c, d de R, existe una f de R tal que c ≦ f ≦ d.
Módulo en campo R
Los números reales incluyen módulo.
Denotado como |f| para cualquier f de R. |f|=f si 0 ≦ f y |f|=-f si 0 > f. Si consideramos el módulo como una cantidad geométrica, entonces es la distancia recorrida, no importa si "pasó" de cero a menos o pasó a más.
Números complejos y reales. ¿Cuáles son las similitudes y cuáles las diferencias?
En general, los números complejos y reales son lo mismo, excepto queunidad imaginaria i, cuyo cuadrado es -1. Los elementos de los campos R y C se pueden representar con la siguiente fórmula:
c=d + f x i, donde d, f pertenecen al campo R e i es la unidad imaginaria
Para obtener c de R en este caso, f simplemente se iguala a cero, es decir, solo queda la parte real del número. Debido al hecho de que el campo de los números complejos tiene el mismo conjunto de propiedades que el campo de los números reales, f x i=0 si f=0.
En cuanto a las diferencias prácticas, por ejemplo, en el campo R, la ecuación cuadrática no se resuelve si el discriminante es negativo, mientras que el campo C no impone tal restricción debido a la introducción de la unidad imaginaria i.
Resultados
Los "ladrillos" de los axiomas y postulados en los que se basan las matemáticas no cambian. Debido al aumento de información y la introducción de nuevas teorías, sobre algunas de ellas se colocan los siguientes “ladrillos”, que en un futuro pueden convertirse en la base para el siguiente paso. Por ejemplo, los números naturales, a pesar de que son un subconjunto del campo real R, no pierden su relevancia. En ellos se basa toda la aritmética elemental, con la que comienza el conocimiento humano del mundo.
Desde un punto de vista práctico, los números reales parecen una línea recta. En él puedes elegir la dirección, designar el origen y el paso. Una línea recta consta de un número infinito de puntos, cada uno de los cuales corresponde a un solo número real, independientemente de si es racional o no. De la descripción se desprende claramente que estamos hablando de un concepto sobre el que se construyen tanto las matemáticas en general como el análisis matemático en general.particular.
