En 1900, uno de los más grandes científicos del siglo pasado, David Hilbert, compiló una lista de 23 problemas matemáticos sin resolver. El trabajo sobre ellos tuvo un tremendo impacto en el desarrollo de esta área del conocimiento humano. 100 años después, el Clay Mathematical Institute presentó una lista de 7 problemas conocidos como los Problemas del Milenio. A cada uno de ellos se le ofreció un premio de $1 millón.
El único problema que apareció entre ambas listas de acertijos que han estado obsesionando a los científicos durante más de un siglo fue la hipótesis de Riemann. Todavía está esperando su decisión.
Breve nota biográfica
Georg Friedrich Bernhard Riemann nació en 1826 en Hannover, en una familia numerosa de un pastor pobre, y vivió solo 39 años. Logró publicar 10 obras. Sin embargo, ya en vida, Riemann fue considerado el sucesor de su maestro Johann Gauss. A la edad de 25 años, el joven científico defendió su disertación "Fundamentos de la teoría de funciones de una variable compleja". Más tarde formulósu famosa hipótesis.
Números primos
Las matemáticas aparecieron cuando el hombre aprendió a contar. Al mismo tiempo, surgieron las primeras ideas sobre los números, que luego intentaron clasificar. Se ha observado que algunos de ellos tienen propiedades comunes. En particular, entre los números naturales, es decir, aquellos que se usaban para contar (numerar) o designar el número de objetos, se distinguía un grupo que eran divisibles solo por uno y por sí mismos. Se llaman simples. Una elegante prueba del teorema de la infinidad del conjunto de tales números la dio Euclides en sus Elementos. Por el momento, su búsqueda continúa. En particular, el número más grande ya conocido es 274 207 281 – 1.
Fórmula de Euler
Junto al concepto de infinito del conjunto de primos, Euclides también determinó el segundo teorema sobre la única descomposición posible en factores primos. Según él, cualquier número entero positivo es el producto de un solo conjunto de números primos. En 1737, el gran matemático alemán Leonhard Euler expresó el primer teorema del infinito de Euclides con la siguiente fórmula.
Se llama la función zeta, donde s es una constante yp toma todos los valores primos. La afirmación de Euclides sobre la singularidad de la expansión se deriva directamente de ella.
Función Zeta de Riemann
La fórmula de Euler, en una inspección más cercana, es completamentesorprendente porque define la relación entre números primos y enteros. Después de todo, infinitas expresiones que dependen solo de números primos se multiplican en su lado izquierdo, y la suma asociada con todos los números enteros positivos se encuentra en el lado derecho.
Riemann fue más allá que Euler. Para encontrar la clave del problema de la distribución de números, propuso definir una fórmula tanto para variables reales como complejas. Fue ella quien posteriormente recibió el nombre de función zeta de Riemann. En 1859, el científico publicó un artículo titulado "Sobre el número de números primos que no superan un valor dado", donde resumía todas sus ideas.
Riemann sugirió usar la serie de Euler, que converge para cualquier s>1 real. Si se usa la misma fórmula para s complejos, entonces la serie convergerá para cualquier valor de esta variable con una parte real mayor que 1. Riemann aplicó el procedimiento de continuación analítica, extendiendo la definición de zeta(s) a todos los números complejos, pero "tirado" la unidad. Se excluyó porque en s=1 la función zeta aumenta hasta el infinito.
Sentido práctico
Surge una pregunta lógica: ¿por qué la función zeta, que es clave en el trabajo de Riemann sobre la hipótesis nula, es interesante e importante? Como sabes, por el momento no se ha identificado un patrón simple que describa la distribución de los números primos entre los números naturales. Riemann pudo descubrir que el número pi(x) de números primos que no excedían x se expresa en términos de la distribución de ceros no triviales de la función zeta. Además, la hipótesis de Riemann esuna condición necesaria para probar las estimaciones de tiempo para el funcionamiento de algunos algoritmos criptográficos.
Hipótesis de Riemann
Una de las primeras formulaciones de este problema matemático, que no ha sido probado hasta el día de hoy, suena así: las funciones zeta 0 no triviales son números complejos con parte real igual a ½. En otras palabras, se ubican en la línea Re s=½.
También existe una hipótesis de Riemann generalizada, que es la misma declaración, pero para generalizaciones de funciones zeta, que comúnmente se denominan funciones L de Dirichlet (ver foto a continuación).
En la fórmula χ(n) - algún carácter numérico (módulo k).
La declaración de Riemann se considera la llamada hipótesis nula, ya que se ha probado su consistencia con los datos de muestra existentes.
Como argumentó Riemann
El comentario del matemático alemán fue redactado originalmente de manera bastante casual. El caso es que en ese momento el científico iba a demostrar el teorema de la distribución de los números primos, y en este contexto, esta hipótesis no tenía especial importancia. Sin embargo, su papel en la solución de muchos otros problemas es enorme. Es por eso que la suposición de Riemann ahora es reconocida por muchos científicos como el más importante de los problemas matemáticos no probados.
Como ya se mencionó, la hipótesis de Riemann completa no es necesaria para probar el teorema de distribución, y es suficiente para justificar lógicamente que la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta está enentre 0 y 1. De esta propiedad se deduce que la suma de todos los 0 de la función zeta que aparece en la fórmula exacta anterior es una constante finita. Para valores grandes de x, puede perderse por completo. El único miembro de la fórmula que permanece igual incluso para x muy grande es x mismo. Los términos complejos restantes se desvanecen asintóticamente en comparación con él. Entonces la suma ponderada tiende a x. Esta circunstancia puede considerarse una confirmación de la verdad del teorema sobre la distribución de los números primos. Así, los ceros de la función zeta de Riemann tienen un papel especial. Consiste en probar que tales valores no pueden hacer una contribución significativa a la fórmula de descomposición.
Seguidores de Riemann
La trágica muerte por tuberculosis no le permitió a este científico llevar su programa a su fin lógico. Sin embargo, Sh-Zh se hizo cargo de él. de la Vallée Poussin y Jacques Hadamard. Independientemente unos de otros, dedujeron un teorema sobre la distribución de los números primos. Hadamard y Poussin lograron demostrar que todas las funciones zeta 0 no triviales están dentro de la banda crítica.
Gracias al trabajo de estos científicos, ha aparecido una nueva dirección en las matemáticas: la teoría analítica de los números. Más tarde, otros investigadores obtuvieron varias pruebas más primitivas del teorema en el que estaba trabajando Riemann. En particular, Pal Erdős y Atle Selberg incluso descubrieron una cadena lógica muy compleja que lo confirmaba, que no requería el uso de análisis complejos. Sin embargo, en este punto, varios importantesteoremas, incluyendo aproximaciones de muchas funciones de la teoría de números. En este sentido, el nuevo trabajo de Erdős y Atle Selberg prácticamente no afectó en nada.
Una de las pruebas más simples y bellas del problema fue encontrada en 1980 por Donald Newman. Se basó en el famoso teorema de Cauchy.
¿La hipótesis de Riemann amenaza los cimientos de la criptografía moderna
El cifrado de datos surgió junto con la aparición de los jeroglíficos, más precisamente, ellos mismos pueden considerarse los primeros códigos. En este momento, existe un área completa de criptografía digital que está desarrollando algoritmos de encriptación.
Los números primos y "semiprimos", es decir, aquellos que solo son divisibles por otros 2 números de la misma clase, forman la base del sistema de clave pública conocido como RSA. Tiene la aplicación más amplia. En particular, se utiliza al generar una firma electrónica. Hablando en términos accesibles a los tontos, la hipótesis de Riemann afirma la existencia de un sistema en la distribución de los números primos. Por lo tanto, la fortaleza de las claves criptográficas, de las que depende la seguridad de las transacciones en línea en el campo del comercio electrónico, se reduce significativamente.
Otros problemas matemáticos sin resolver
Vale la pena terminar el artículo dedicando unas palabras a otros objetivos del milenio. Estos incluyen:
- Igualdad de las clases P y NP. El problema se formula de la siguiente manera: si una respuesta positiva a una pregunta en particular se verifica en tiempo polinomial, entonces es cierto que la respuesta a esta pregunta en sí mismase puede encontrar rápidamente?
- Conjetura de Hodge. En palabras simples, se puede formular de la siguiente manera: para algunos tipos de variedades algebraicas proyectivas (espacios), los ciclos de Hodge son combinaciones de objetos que tienen una interpretación geométrica, es decir, ciclos algebraicos.
- Conjetura de Poincaré. Este es el único Desafío del Milenio que ha sido probado hasta ahora. Según él, cualquier objeto tridimensional que tenga las propiedades específicas de una esfera tridimensional debe ser una esfera, hasta la deformación.
- Afirmación de la teoría cuántica de Yang - Mills. Se requiere demostrar que la teoría cuántica presentada por estos científicos para el espacio R 4 existe y tiene un defecto de masa 0 para cualquier grupo de calibre compacto simple G.
- Hipótesis de Birch-Swinnerton-Dyer. Este es otro tema relacionado con la criptografía. Toca curvas elípticas.
- El problema de la existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes.
Ahora conoces la hipótesis de Riemann. En términos simples, hemos formulado algunos de los otros Desafíos del Milenio. Que se solucionen o se demuestre que no tienen solución es cuestión de tiempo. Además, es poco probable que esto tenga que esperar demasiado, ya que las matemáticas utilizan cada vez más las capacidades informáticas de las computadoras. Sin embargo, no todo está sujeto a la tecnología y, ante todo, se requiere intuición y creatividad para resolver problemas científicos.
