El método axiomático es una forma de construir teorías científicas que ya están establecidas. Se basa en argumentos, hechos, afirmaciones que no requieren prueba o refutación. De hecho, esta versión del conocimiento se presenta en forma de estructura deductiva, que inicialmente incluye una justificación lógica del contenido a partir de los fundamentos: los axiomas.
Este método no puede ser un descubrimiento, sino sólo un concepto clasificador. Es más adecuado para la enseñanza. La base contiene las disposiciones iniciales, y el resto de la información sigue como consecuencia lógica. ¿Dónde está el método axiomático para construir una teoría? Se encuentra en el centro de la mayoría de las ciencias modernas y establecidas.
Formación y desarrollo del concepto de método axiomático, definición de la palabra
En primer lugar, este concepto surgió en la Antigua Grecia gracias a Euclides. Se convirtió en el fundador del método axiomático en geometría. Hoy es común en todas las ciencias, pero sobre todo en las matemáticas. Este método se forma sobre la base de enunciados establecidos, y las teorías subsiguientes se derivan por construcción lógica.
Esto se explica de la siguiente manera: hay palabras y conceptos quedefinida por otros términos. Como resultado, los investigadores llegaron a la conclusión de que existen conclusiones elementales que están justificadas y son constantes: básicas, es decir, axiomas. Por ejemplo, al probar un teorema, por lo general se basan en hechos que ya están bien establecidos y no requieren refutación.
Sin embargo, antes de eso, necesitaban ser fundamentados. En el proceso, resulta que una afirmación no razonada se toma como un axioma. Con base en un conjunto de conceptos constantes, se prueban otros teoremas. Forman la base de la planimetría y son la estructura lógica de la geometría. Los axiomas establecidos en esta ciencia se definen como objetos de cualquier naturaleza. Ellos, a su vez, tienen propiedades que se especifican en conceptos constantes.
Más exploración de los axiomas
El método se consideró ideal hasta el siglo XIX. Los medios lógicos de búsqueda de conceptos básicos no se estudiaron en aquellos días, pero en el sistema de Euclides se puede observar la estructura de obtención de consecuencias significativas del método axiomático. La investigación del científico mostró la idea de cómo obtener un sistema completo de conocimiento geométrico basado en un camino puramente deductivo. Se les ofreció un número relativamente pequeño de axiomas afirmados que son demostrablemente verdaderos.
Mérito de las antiguas mentes griegas
Euclides demostró muchos conceptos, y algunos de ellos estaban justificados. Sin embargo, la mayoría atribuye estos méritos a Pitágoras, Demócrito e Hipócrates. Este último compiló un curso completo de geometría. Es cierto, más tarde en Alejandría saliócolección "Principio", cuyo autor fue Euclides. Luego, pasó a llamarse "Geometría elemental". Después de un tiempo, comenzaron a criticarlo por algunas razones:
- todos los valores fueron construidos solo con regla y compás;
- geometría y aritmética fueron separadas y probadas con números y conceptos válidos;
- axiomas, algunos de ellos, en particular, el quinto postulado, fueron propuestos para ser eliminados de la lista general.
Como resultado, la geometría no euclidiana aparece en el siglo XIX, en la que no hay un postulado objetivamente verdadero. Esta acción dio impulso al mayor desarrollo del sistema geométrico. Así, los investigadores matemáticos llegaron a los métodos de construcción deductivos.
Desarrollo del conocimiento matemático basado en axiomas
Cuando comenzó a desarrollarse un nuevo sistema de geometría, el método axiomático también cambió. En matemáticas, comenzaron a volverse más a menudo hacia una construcción teórica puramente deductiva. Como resultado, ha surgido todo un sistema de pruebas en la lógica numérica moderna, que es la sección principal de toda ciencia. En la estructura matemática se empezó a entender la necesidad de la justificación.
Así, a finales de siglo, se formaron tareas claras y la construcción de conceptos complejos, que de un teorema complejo se redujeron al enunciado lógico más simple. Así, la geometría no euclidiana estimuló una base sólida para la posterior existencia del método axiomático, así como para resolver problemas de carácter general.construcciones matemáticas:
- coherencia;
- plenitud;
- independencia.
En el proceso, surgió un método de interpretación y se desarrolló con éxito. Este método se describe de la siguiente manera: para cada concepto de salida en la teoría, se establece un objeto matemático, la totalidad del cual se denomina campo. La declaración sobre los elementos especificados puede ser falsa o verdadera. Como resultado, los enunciados se nombran según las conclusiones.
Características de la teoría de la interpretación
Por regla general, el campo y las propiedades también se consideran en el sistema matemático y éste, a su vez, puede volverse axiomático. La interpretación prueba afirmaciones en las que existe una relativa consistencia. Una opción adicional es una serie de hechos en los que la teoría se vuelve contradictoria.
De hecho, la condición se cumple en algunos casos. Como resultado, resulta que si hay dos conceptos falsos o verdaderos en las declaraciones de una de las declaraciones, se considera negativo o positivo. Este método se utilizó para probar la consistencia de la geometría de Euclides. Usando el método interpretativo, uno puede resolver la cuestión de la independencia de los sistemas de axiomas. Si necesita refutar alguna teoría, basta con probar que uno de los conceptos no se deriva del otro y es erróneo.
Sin embargo, junto con declaraciones exitosas, el método también tiene debilidades. La consistencia e independencia de los sistemas de axiomas se resuelven como cuestiones que obtienen resultados relativos. El único logro importante de la interpretación esdescubrimiento del papel de la aritmética como estructura en la que la cuestión de la consistencia se reduce a una serie de otras ciencias.
Desarrollo moderno de las matemáticas axiomáticas
El método axiomático comenzó a desarrollarse en el trabajo de Gilbert. En su escuela se aclaró el concepto mismo de teoría y sistema formal. Como resultado, surgió un sistema general y los objetos matemáticos se volvieron precisos. Además, se hizo posible resolver los problemas de justificación. Así, un sistema formal está construido por una clase exacta, que contiene subsistemas de fórmulas y teoremas.
Para construir esta estructura, solo necesitas guiarte por la conveniencia técnica, ya que no tienen carga semántica. Se pueden inscribir con signos, símbolos. Es decir, de hecho, el sistema en sí está construido de tal manera que la teoría formal se puede aplicar adecuada y completamente.
Como resultado, una meta o tarea matemática específica se vierte en una teoría basada en contenido fáctico o razonamiento deductivo. El lenguaje de la ciencia numérica se transfiere a un sistema formal, en el proceso cualquier expresión concreta y significativa es determinada por la fórmula.
Método de formalización
En el estado natural de las cosas, dicho método podrá resolver cuestiones tan globales como la consistencia, así como construir una esencia positiva de las teorías matemáticas de acuerdo con las fórmulas derivadas. Y básicamente todo esto se resolverá mediante un sistema formal basado en declaraciones comprobadas. Las teorías matemáticas se complicaban constantemente con justificaciones yGilbert propuso investigar esta estructura usando métodos finitos. Pero este programa fracasó. Los resultados de Gödel ya en el siglo XX llevaron a las siguientes conclusiones:
- la consistencia natural es imposible debido al hecho de que la aritmética formalizada u otra ciencia similar de este sistema estará incompleta;
- aparecieron fórmulas irresolubles;
- las afirmaciones son indemostrables.
Los juicios verdaderos y el acabado finito razonable se consideran formalizables. Con esto en mente, el método axiomático tiene ciertos y claros límites y posibilidades dentro de esta teoría.
Resultados del desarrollo de axiomas en las obras de los matemáticos
A pesar de que algunos juicios han sido refutados y no desarrollados adecuadamente, el método de los conceptos constantes juega un papel importante en la formación de los fundamentos de las matemáticas. Además, la interpretación y el método axiomático en la ciencia han revelado los resultados fundamentales de la coherencia, la independencia de los enunciados de elección y las hipótesis en la teoría múltiple.
Al abordar el tema de la consistencia, lo principal es aplicar no solo los conceptos establecidos. También deben complementarse con ideas, conceptos y medios de acabado finito. En este caso, se consideran varios puntos de vista, métodos y teorías, que deben tener en cuenta el significado lógico y la justificación.
La consistencia del sistema formal indica un acabado similar de la aritmética, que se basa en la inducción, el conteo, el número transfinito. En el campo científico, la axiomatización es la más importante.una herramienta que tiene conceptos y afirmaciones irrefutables que se toman como base.
La esencia de los enunciados iniciales y su papel en las teorías
La evaluación de un método axiomático indica que alguna estructura reside en su esencia. Este sistema se construye a partir de la identificación del concepto subyacente y las declaraciones fundamentales que no están definidas. Lo mismo ocurre con los teoremas que se consideran originales y se aceptan sin demostración. En las ciencias naturales, tales declaraciones están respaldadas por reglas, suposiciones, leyes.
Luego se lleva a cabo el proceso de fijación de las bases de razonamiento establecidas. Por regla general, inmediatamente se indica que de una posición se deduce otra, y en el proceso salen las demás, que, en esencia, coinciden con el método deductivo.
Características del sistema en los tiempos modernos
El sistema axiomático incluye:
- conclusiones lógicas;
- términos y definiciones;
- afirmaciones y conceptos parcialmente incorrectos.
En la ciencia moderna, este método ha perdido su abstracción. La axiomatización geométrica euclidiana se basó en proposiciones intuitivas y verdaderas. Y la teoría fue interpretada de una manera única y natural. Hoy, un axioma es una disposición que es obvia en sí misma, y un acuerdo, y cualquier acuerdo, puede actuar como un concepto inicial que no requiere justificación. Como resultado, los valores originales pueden estar lejos de ser descriptivos. Este método requiere creatividad, conocimiento de las relaciones y la teoría subyacente.
Principios básicos para sacar conclusiones
El método deductivamente axiomático es el conocimiento científico, construido de acuerdo con un cierto esquema, que se basa en hipótesis correctamente realizadas, derivando declaraciones sobre hechos empíricos. Tal conclusión se construye sobre la base de estructuras lógicas, por derivación dura. Los axiomas son afirmaciones inicialmente irrefutables que no requieren demostración.
Durante la deducción, se aplican ciertos requisitos a los conceptos iniciales: coherencia, integridad, independencia. Como muestra la práctica, la primera condición se basa en el conocimiento lógico formal. Es decir, la teoría no debería tener los significados de verdad y falsedad, porque ya no tendrá significado ni valor.
Si esta condición no se cumple, entonces se considera incompatible y se pierde todo sentido en ella, porque se pierde la carga semántica entre la verdad y la falsedad. Deductivamente, el método axiomático es una forma de construir y fundamentar el conocimiento científico.
Aplicación práctica del método
El método axiomático de construcción del conocimiento científico tiene una aplicación práctica. De hecho, esta forma influye y tiene un significado global para las matemáticas, aunque este conocimiento ya ha alcanzado su punto máximo. Ejemplos del método axiomático son los siguientes:
- los planos afines tienen tres declaraciones y una definición;
- la teoría de la equivalencia tiene tres demostraciones;
- las relaciones binarias se dividen en un sistema de definiciones, conceptos y ejercicios adicionales.
Si quieres formular el significado original, necesitas conocer la naturaleza de los conjuntos y elementos. En esencia, el método axiomático formó la base de varios campos de la ciencia.
