Para empezar, vale la pena recordar qué es un diferencial y qué significado matemático tiene.
La diferencial de una función es el producto de la derivada de una función a partir de un argumento y la diferencial del propio argumento. Matemáticamente, este concepto se puede escribir como una expresión: dy=y'dx.
A su vez, según la definición de la derivada de la función, la igualdad y'=lim dx-0(dy/dx) es verdadera, y según la definición del límite, la expresión dy/dx=x'+α, donde el parámetro α es un valor matemático infinitesimal.
Por lo tanto, ambas partes de la expresión deben multiplicarse por dx, lo que finalmente da dy=y'dx+αdx, donde dx es un cambio infinitesimal en el argumento, (αdx) es un valor que se puede despreciar, entonces dy es el incremento de la función, y (ydx) es la parte principal del incremento o diferencial.
La diferencial de una función es el producto de la derivada de una función y la diferencial del argumento.
Ahora vale la pena considerar las reglas básicas de diferenciación, que se utilizan con bastante frecuencia en el análisis matemático.
Teorema. La derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas obtenidas de los términos: (a+c)'=a'+c'.
Del mismo modoesta regla también se aplicará para encontrar la derivada de la diferencia.
La consecuencia de esta regla de diferenciación es la afirmación de que la derivada de un cierto número de términos es igual a la suma de las derivadas obtenidas de estos términos.
Por ejemplo, si necesita encontrar la derivada de la expresión (a+c-k)', entonces el resultado será la expresión a'+c'-k'.
Teorema. La derivada del producto de funciones matemáticas diferenciables en un punto es igual a la suma formada por el producto del primer factor por la derivada del segundo y el producto del segundo factor por la derivada del primero.
Matemáticamente, el teorema se escribirá de la siguiente manera: (ac)'=ac'+a'c. Una consecuencia del teorema es la conclusión de que el factor constante en la derivada del producto se puede sacar de la derivada de la función.
En forma de expresión algebraica, esta regla se escribirá de la siguiente manera: (ac)'=ac', donde a=const.
Por ejemplo, si necesita encontrar la derivada de la expresión (2a3)', entonces el resultado será la respuesta: 2(a3)'=23a2=6a2.
Teorema. La derivada de la razón de funciones es igual a la razón entre la diferencia entre la derivada del numerador multiplicada por el denominador y el numerador multiplicado por la derivada del denominador y el cuadrado del denominador.
Matemáticamente, el teorema se escribirá de la siguiente manera: (a/c)'=(a'c-ac')/c2.
En conclusión, es necesario considerar las reglas para diferenciar funciones complejas.
Teorema. Deje que la función y \u003d f (x), donde x \u003d c (t), luego la función y, con respecto aa la variable m, se llama complejo.
Así, en el análisis matemático, la derivada de una función compleja se interpreta como la derivada de la función misma, multiplicada por la derivada de su subfunción. Por conveniencia, las reglas para derivar funciones complejas se presentan en forma de tabla.
f(x) |
f'(x) |
| (1/s)' | -(1/s2)s' |
| (с)' | ac(ln a)c' |
| (èс)' | ecc' |
| (ln s)' | (1/s)s' |
| (registrar ac)' | 1/(ñlg a)c' |
| (sin c)' | porque ss' |
| (porque c)' | -pecado ss' |
Con el uso regular de esta tabla, las derivadas son fáciles de recordar. Las derivadas restantes de funciones complejas se pueden encontrar aplicando las reglas para diferenciar funciones que se establecieron en los teoremas y corolarios.
