La planimetría es una rama de la geometría que estudia las propiedades de las figuras planas. Estos incluyen no solo triángulos, cuadrados y rectángulos bien conocidos, sino también líneas rectas y ángulos. En planimetría, también existen conceptos tales como ángulos en un círculo: central e inscrito. Pero, ¿qué significan?
¿Cuál es el ángulo central?
Para entender qué es un ángulo central, necesitas definir un círculo. Un círculo es una colección de todos los puntos equidistantes de un punto dado (el centro del círculo).
Es muy importante distinguirlo de un círculo. Debe recordarse que un círculo es una línea cerrada y un círculo es una parte de un plano limitado por ella. En una circunferencia se puede inscribir un polígono o un ángulo.
Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice coincide con el centro del círculo y cuyos lados intersecan el círculo en dos puntos. El arco, que el ángulo limita por los puntos de intersección, se llama el arco sobre el cual descansa el ángulo dado.
Considere el ejemplo 1.
En la imagen, el ángulo AOB es central, porque el vértice del ángulo y el centro del círculo son un punto O. Se apoya en el arco AB, que no contiene el punto C.
¿En qué se diferencia un ángulo inscrito de uno central?
Sin embargo, además de los centrales, también hay ángulos inscritos. ¿Cuál es su diferencia? Al igual que el central, el ángulo inscrito en un círculo descansa sobre un arco determinado. Pero su vértice no coincide con el centro del círculo, sino que se encuentra sobre él.
Tomemos el siguiente ejemplo.
Se llama ángulo ACB al ángulo inscrito en una circunferencia con centro en el punto O. El punto C pertenece a la circunferencia, es decir, se encuentra sobre ella. El ángulo descansa sobre el arco AB.
¿Cuál es el ángulo central
Para resolver con éxito los problemas de geometría, no es suficiente poder distinguir entre ángulos inscritos y centrales. Como regla general, para resolverlos, debe saber exactamente cómo encontrar el ángulo central en un círculo y poder calcular su valor en grados.
Entonces, el ángulo central es igual a la medida en grados del arco sobre el que descansa.
En la imagen, el ángulo AOB descansa sobre el arco AB igual a 66°. Entonces el ángulo AOB también es igual a 66°.
Así, los ángulos centrales basados en arcos iguales son iguales.
En la figura, el arco DC es igual al arco AB. Entonces el ángulo AOB es igual al ángulo DOC.
Cómo encontrar un ángulo inscrito
Puede parecer que el ángulo inscrito en el círculo es igual al ángulo central,que se basa en el mismo arco. Sin embargo, esto es un grave error. De hecho, incluso con solo mirar el dibujo y comparar estos ángulos entre sí, puedes ver que sus medidas en grados tendrán valores diferentes. Entonces, ¿cuál es el ángulo inscrito en el círculo?
La medida en grados de un ángulo inscrito es la mitad del arco sobre el que descansa, o la mitad del ángulo central si se basan en el mismo arco.
Consideremos un ejemplo. El ángulo ACB se basa en un arco igual a 66°.
Entonces el ángulo DIA=66°: 2=33°
Consideremos algunas consecuencias de este teorema.
- Los ángulos inscritos, si se basan en el mismo arco, cuerda o arcos iguales, son iguales.
- Si los ángulos inscritos están basados en la misma cuerda, pero sus vértices están en lados opuestos de ella, la suma de las medidas en grados de tales ángulos es 180°, ya que en este caso ambos ángulos están basados en arcos, cuya medida total en grados es 360° (círculo completo), 360°: 2=180°
- Si el ángulo inscrito se basa en el diámetro del círculo dado, su medida en grados es 90°, ya que el diámetro subtiende un arco igual a 180°, 180°: 2=90°
- Si los ángulos central e inscrito en un círculo están basados en el mismo arco o cuerda, entonces el ángulo inscrito es igual a la mitad del central.
¿Dónde se pueden encontrar problemas sobre este tema? Sus tipos y soluciones
Dado que el círculo y sus propiedades son una de las secciones más importantes de la geometría, la planimetría en particular, los ángulos inscritos y centrales en el círculo son un tema que se trata ampliamente y en detalleestudiado en el currículo escolar. Las tareas dedicadas a sus propiedades se encuentran en el examen estatal principal (OGE) y el examen estatal unificado (USE). Como regla, para resolver estos problemas, debes encontrar los ángulos en el círculo en grados.
Ángulos basados en el mismo arco
Este tipo de problema es quizás uno de los más fáciles, ya que para resolverlo solo necesitas conocer dos propiedades simples: si ambos ángulos están inscritos y se apoyan en la misma cuerda, son iguales, si uno de ellos es central, entonces el ángulo inscrito correspondiente es igual a la mitad de él. Sin embargo, al resolverlos, se debe tener mucho cuidado: a veces es difícil notar esta propiedad, y los estudiantes, al resolver problemas tan simples, llegan a un callejón sin salida. Considere un ejemplo.
Problema 1
Dado un círculo con centro en el punto O. El ángulo AOB es 54°. Encuentra la medida en grados del ángulo DIA.
Esta tarea se resuelve en un solo paso. Lo único que necesitas para encontrar la respuesta rápidamente es notar que el arco en el que descansan ambas esquinas es común. Al ver esto, puede aplicar la propiedad ya familiar. El ángulo ACB es la mitad del ángulo AOB. Así que
1) AOB=54°: 2=27°.
Respuesta: 54°.
Ángulos basados en diferentes arcos del mismo círculo
A veces, el tamaño del arco sobre el que descansa el ángulo requerido no se especifica directamente en las condiciones del problema. Para calcularlo, debes analizar la magnitud de estos ángulos y compararlos con las propiedades conocidas del círculo.
Problema 2
En un círculo con centro en O, ángulo AOCes de 120° y el ángulo AOB es de 30°. Encuentra la esquina TÚ.
Para empezar, vale la pena decir que es posible resolver este problema usando las propiedades de los triángulos isósceles, pero esto requerirá más operaciones matemáticas. Por lo tanto, aquí analizaremos la solución usando las propiedades de los ángulos centrales e inscritos en un círculo.
Entonces, el ángulo AOC descansa sobre el arco AC y es central, lo que significa que el arco AC es igual al ángulo AOC.
CA=120°
De la misma manera, el ángulo AOB descansa sobre el arco AB.
AB=30°.
Sabiendo esto y la medida en grados de todo el círculo (360°), puedes encontrar fácilmente la magnitud del arco BC.
BC=360° - CA - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
El vértice del ángulo CAB, punto A, se encuentra en la circunferencia. Por tanto, el ángulo CAB está inscrito y es igual a la mitad del arco CB.
Ángulo CAB=210°: 2=110°
Respuesta: 110°
Problemas basados en relaciones de arco
Algunos problemas no contienen datos sobre ángulos en absoluto, por lo que deben buscarse basándose únicamente en teoremas conocidos y propiedades de un círculo.
Problema 1
Encuentra el ángulo inscrito en un círculo sostenido por una cuerda igual al radio del círculo dado.
Si dibujas líneas mentalmente que conectan los extremos del segmento con el centro del círculo, obtienes un triángulo. Habiéndolo examinado, puede ver que estas líneas son los radios del círculo, lo que significa que todos los lados del triángulo son iguales. Sabemos que todos los ángulos de un triángulo equiláteroson iguales a 60°. Por lo tanto, el arco AB que contiene el vértice del triángulo es igual a 60°. A partir de aquí encontramos el arco AB, en el que se basa el ángulo deseado.
AB=360° - 60°=300°
Ángulo ABC=300°: 2=150°
Respuesta: 150°
Problema 2
En un círculo con centro en el punto O, los arcos están relacionados como 3:7. Encuentra el ángulo inscrito más pequeño.
Para la solución, denotamos una parte como X, luego un arco es igual a 3X y el segundo, respectivamente, 7X. Sabiendo que la medida en grados de un círculo es 360°, podemos escribir una ecuación.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
Según la condición, necesitas encontrar un ángulo más pequeño. Obviamente, si el valor del ángulo es directamente proporcional al arco sobre el que descansa, entonces el ángulo requerido (menor) corresponde a un arco igual a 3X.
Así que el ángulo más pequeño es (36°3): 2=108°: 2=54°
Respuesta: 54°
Problema 3
En un círculo con centro en el punto O, el ángulo AOB es de 60° y la longitud del arco más pequeño es de 50. Calcula la longitud del arco más grande.
Para calcular la longitud de un arco más grande, necesitas hacer una proporción: cómo se relaciona el arco más pequeño con el más grande. Para ello, calculamos la magnitud de ambos arcos en grados. El arco más pequeño es igual al ángulo que descansa sobre él. Su medida en grados es 60°. El arco mayor es igual a la diferencia entre la medida en grados del círculo (es igual a 360° independientemente de otros datos) y el arco menor.
El gran arco es 360° - 60°=300°.
Como 300°: 60°=5, el arco mayor es 5 veces el menor.
Gran arco=505=250
Respuesta: 250
Así que, por supuesto, hay otrosenfoques para resolver problemas similares, pero todos ellos se basan de alguna manera en las propiedades de los ángulos, triángulos y círculos centrales e inscritos. Para resolverlos con éxito, debe estudiar cuidadosamente el dibujo y compararlo con los datos del problema, así como también poder aplicar sus conocimientos teóricos en la práctica.
