En la naturaleza y la tecnología, a menudo nos encontramos con la manifestación del movimiento de rotación de cuerpos sólidos, como ejes y engranajes. Cómo se describe este tipo de movimiento en física, qué fórmulas y ecuaciones se usan para esto, estos y otros temas se tratan en este artículo.
¿Qué es la rotación?
Cada uno de nosotros imagina intuitivamente de qué tipo de movimiento estamos hablando. La rotación es un proceso en el que un cuerpo o punto material se mueve a lo largo de una trayectoria circular alrededor de algún eje. Desde un punto de vista geométrico, el eje de rotación de un cuerpo rígido es una línea recta, cuya distancia permanece constante durante el movimiento. Esta distancia se llama radio de rotación. En lo que sigue, lo denotaremos con la letra r. Si el eje de rotación pasa por el centro de masa del cuerpo, entonces se llama su propio eje. Un ejemplo de rotación alrededor de su propio eje es el correspondiente movimiento de los planetas del sistema solar.
Para que ocurra la rotación, debe haber una aceleración centrípeta, que ocurre debido afuerza centrípeta. Esta fuerza se dirige desde el centro de masa del cuerpo hacia el eje de rotación. La naturaleza de la fuerza centrípeta puede ser muy diferente. Entonces, en una escala cósmica, la gravedad juega su papel, si el cuerpo está sujeto por un hilo, entonces la fuerza de tensión de este último será centrípeta. Cuando un cuerpo gira alrededor de su propio eje, el papel de la fuerza centrípeta lo desempeña la interacción electroquímica interna entre los elementos (moléculas, átomos) que forman el cuerpo.
Debe entenderse que sin la presencia de una fuerza centrípeta, el cuerpo se moverá en línea recta.
Cantidades físicas que describen la rotación
Primero, sus características dinámicas. Estos incluyen:
- impulso L;
- momento de inercia I;
- momento de fuerza M.
En segundo lugar, estas son las características cinemáticas. Vamos a enumerarlos:
- ángulo de rotación θ;
- velocidad angular ω;
- aceleración angular α.
Vamos a describir brevemente cada una de estas cantidades.
El momento angular se determina mediante la fórmula:
L=pr=mvr
Donde p es el momento lineal, m es la masa del punto material, v es su velocidad lineal.
El momento de inercia de un punto material se calcula mediante la expresión:
I=mr2
Para cualquier cuerpo de forma compleja, el valor de I se calcula como la suma integral de los momentos de inercia de los puntos materiales.
El momento de la fuerza M se calcula de la siguiente manera:
M=Mp
Aquí F -fuerza externa, d - distancia desde el punto de su aplicación hasta el eje de rotación.
El significado físico de todas las cantidades, en cuyo nombre está presente la palabra "momento", es similar al significado de las cantidades lineales correspondientes. Por ejemplo, el momento de la fuerza muestra la capacidad de una fuerza aplicada para impartir aceleración angular a un sistema de cuerpos giratorios.
Las características cinemáticas se definen matemáticamente mediante las siguientes fórmulas:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Como puede ver en estas expresiones, las características angulares tienen un significado similar a las lineales (velocidad v y aceleración a), solo que son aplicables a una trayectoria circular.
Dinámica de rotación
En física, el estudio del movimiento de rotación de un cuerpo rígido se lleva a cabo con la ayuda de dos ramas de la mecánica: la dinámica y la cinemática. Comencemos con la dinámica.
La dinámica estudia las fuerzas externas que actúan sobre un sistema de cuerpos en rotación. Escribamos inmediatamente la ecuación del movimiento de rotación de un cuerpo rígido y luego analicemos sus partes constituyentes. Así que esta ecuación se ve así:
M=Yoα
El momento de la fuerza, que actúa sobre un sistema con momento de inercia I, provoca la aparición de la aceleración angular α. Cuanto menor sea el valor de I, más fácil será, con la ayuda de un cierto momento M, hacer girar el sistema a altas velocidades en intervalos de tiempo cortos. Por ejemplo, es más fácil girar una barra de metal a lo largo de su eje que perpendicularmente a él. Sin embargo, es más fácil hacer girar la misma varilla alrededor de un eje perpendicular a ella y que pasa por el centro de masa que por su extremo.
Ley de conservaciónvalores L
Este valor se introdujo anteriormente, se llama momento angular. La ecuación del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, presentada en el párrafo anterior, a menudo se escribe en una forma diferente:
Mdt=dL
Si el momento de las fuerzas externas M actúa sobre el sistema durante el tiempo dt, entonces provoca un cambio en el momento angular del sistema de dL. En consecuencia, si el momento de las fuerzas es igual a cero, entonces L=const. Esta es la ley de conservación del valor L. Para ello, usando la relación entre velocidad lineal y angular, podemos escribir:
L=mvr=mωr2=Iω.
Así, en ausencia del momento de las fuerzas, el producto de la velocidad angular y el momento de inercia es un valor constante. Esta ley física la utilizan los patinadores artísticos en sus actuaciones o los satélites artificiales que deben rotar alrededor de su propio eje en el espacio exterior.
Aceleración centrípeta
Anteriormente, en el estudio del movimiento de rotación de un cuerpo rígido, ya se ha descrito esta cantidad. También se señaló la naturaleza de las fuerzas centrípetas. Aquí solo complementaremos esta información y daremos las fórmulas correspondientes para calcular esta aceleración. Indicarlo como c.
Dado que la fuerza centrípeta se dirige perpendicularmente al eje y lo atraviesa, no crea un momento. Es decir, esta fuerza no tiene absolutamente ningún efecto sobre las características cinemáticas de rotación. Sin embargo, crea una aceleración centrípeta. Damos dos fórmulas parasus definiciones:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Por lo tanto, cuanto mayor sea la velocidad angular y el radio, mayor será la fuerza que se debe aplicar para mantener el cuerpo en una trayectoria circular. Un ejemplo sorprendente de este proceso físico es el derrape de un automóvil durante un giro. Un derrape ocurre cuando la fuerza centrípeta, que es ejercida por la fuerza de fricción, se vuelve menor que la fuerza centrífuga (característica de inercia).
Cinemática de rotación
Tres características cinemáticas principales se enumeraron anteriormente en el artículo. La cinemática del movimiento de rotación de un cuerpo rígido se describe mediante las siguientes fórmulas:
θ=ωt=>ω=constante, α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=const.
La primera línea contiene fórmulas para la rotación uniforme, que asume la ausencia de un momento externo de fuerzas que actúan sobre el sistema. La segunda línea contiene fórmulas para el movimiento uniformemente acelerado en un círculo.
Tenga en cuenta que la rotación puede ocurrir no solo con una aceleración positiva, sino también con una negativa. En este caso, en las fórmulas de la segunda línea, coloque un signo menos antes del segundo término.
Ejemplo de resolución de problemas
Un momento de fuerza de 1000 Nm actuó sobre el eje de metal durante 10 segundos. Sabiendo que el momento de inercia del eje es 50kgm2, es necesario determinar la velocidad angular que el mencionado momento de fuerza le dio al eje.
Aplicando la ecuación básica de rotación, calculamos la aceleración del eje:
M=Iα=>
α=M/I.
Dado que esta aceleración angular actuó sobre el eje durante el tiempo t=10 segundos, usamos la fórmula de movimiento uniformemente acelerado para calcular la velocidad angular:
ω=ω0+ αt=M/It.
Aquí ω0=0 (el eje no giró hasta el momento de fuerza M).
Sustituyendo los valores numéricos de las cantidades en la igualdad, obtenemos:
ω=1000/5010=200 rad/s.
Para traducir este número a las revoluciones por segundo habituales, debes dividirlo por 2pi. Después de realizar esta acción, obtenemos que el eje girará a una frecuencia de 31,8 rpm.
