La cinemática es una parte de la física que considera las leyes del movimiento de los cuerpos. Su diferencia con la dinámica es que no considera las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento. Este artículo está dedicado a la cuestión de la cinemática del movimiento de rotación.
Movimiento de rotación y su diferencia con el movimiento de avance
Si prestas atención a los objetos que se mueven alrededor, puedes ver que se mueven en línea recta (el auto está conduciendo en la carretera, el avión está volando en el cielo) o en un círculo (el mismo coche entrando en una curva, la rotación de la rueda). Los tipos más complejos de movimiento de objetos pueden reducirse, como primera aproximación, a una combinación de los dos tipos mencionados.
El movimiento progresivo implica cambiar las coordenadas espaciales del cuerpo. En este caso, a menudo se considera como un punto material (no se tienen en cuenta las dimensiones geométricas).
El movimiento de rotación es un tipo de movimiento en el queel sistema se mueve en un círculo alrededor de algún eje. Además, el objeto en este caso rara vez se considera como un punto material, la mayoría de las veces se usa otra aproximación: un cuerpo absolutamente rígido. Esto último significa que se desprecian las fuerzas elásticas que actúan entre los átomos del cuerpo y se supone que las dimensiones geométricas del sistema no cambian durante la rotación. El caso más simple es un eje fijo.
La cinemática del movimiento de traslación y rotación obedece a las mismas leyes de Newton. Se utilizan cantidades físicas similares para describir ambos tipos de movimiento.
¿Qué cantidades describen el movimiento en la física?
La cinemática del movimiento de rotación y traslación utiliza tres cantidades básicas:
- El camino recorrido. Lo denotaremos con la letra L para el movimiento de traslación y θ - para el movimiento de rotación.
- Velocidad. Para un caso lineal, generalmente se escribe con la letra latina v, para el movimiento a lo largo de una trayectoria circular, con la letra griega ω.
- Aceleración. Para una trayectoria lineal y circular, se utilizan los símbolos a y α, respectivamente.
El concepto de trayectoria también se usa a menudo. Pero para los tipos de movimiento de objetos en consideración, este concepto se vuelve trivial, ya que el movimiento de traslación se caracteriza por una trayectoria lineal y rotacional, por un círculo.
Velocidades lineales y angulares
Comencemos la cinemática del movimiento de rotación de un punto materialvisto desde el concepto de velocidad. Se sabe que para el movimiento de traslación de los cuerpos, este valor describe qué camino será superado por unidad de tiempo, es decir:
v=L / t
V se mide en metros por segundo. Para la rotación, es inconveniente considerar esta velocidad lineal, ya que depende de la distancia al eje de rotación. Se introduce una característica ligeramente diferente:
ω=θ / t
Esta es una de las principales fórmulas de la cinemática del movimiento de rotación. Muestra en qué ángulo θ todo el sistema girará alrededor de un eje fijo en el tiempo t.
Las dos fórmulas anteriores reflejan el mismo proceso físico de velocidad de movimiento. Solo para el caso lineal, la distancia es importante, y para el caso circular, el ángulo de rotación.
Ambas fórmulas interactúan entre sí. Consigamos esta conexión. Si expresamos θ en radianes, entonces un punto material que gira a una distancia R del eje, después de haber hecho una revolución, recorrerá la trayectoria L=2piR. La expresión para la velocidad lineal tomará la forma:
v=L / t=2piR / t
Pero la razón de 2pi radianes al tiempo t no es más que la velocidad angular. Entonces obtenemos:
v=ωR
A partir de aquí se puede ver que cuanto mayor es la velocidad lineal v y menor el radio de rotación R, mayor es la velocidad angular ω.
Aceleración lineal y angular
Otra característica importante en la cinemática del movimiento de rotación de un punto material es la aceleración angular. Antes de conocerlo, vamosfórmula para un valor lineal similar:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
La primera expresión refleja la aceleración instantánea (dt ->0), mientras que la segunda fórmula es apropiada si la velocidad cambia uniformemente en el tiempo Δt. La aceleración obtenida en la segunda variante se denomina media.
Dada la similitud de las cantidades que describen el movimiento lineal y rotacional, para la aceleración angular podemos escribir:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
La interpretación de estas fórmulas es exactamente la misma que para el caso lineal. La única diferencia es que a muestra cuántos metros por segundo cambia la velocidad por unidad de tiempo, y α muestra cuántos radianes por segundo cambia la velocidad angular durante el mismo período de tiempo.
Encontremos la conexión entre estas aceleraciones. Sustituyendo el valor de v, expresado en términos de ω, en cualquiera de las dos igualdades de α, obtenemos:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Se deduce que cuanto menor sea el radio de rotación y mayor sea la aceleración lineal, mayor será el valor de α.
Distancia recorrida y ángulo de giro
Queda por dar fórmulas para la última de las tres cantidades básicas en la cinemática del movimiento de rotación alrededor de un eje fijo - para el ángulo de rotación. Como en los párrafos anteriores, primero escribimos la fórmula para el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, tenemos:
L=v0 t + a t2 / 2
La analogía completa con el movimiento de rotación conduce a la siguiente fórmula:
θ=ω0 t + αt2 / 2
La última expresión te permite obtener el ángulo de rotación para cualquier tiempo t. Tenga en cuenta que la circunferencia es 2pi radianes (≈ 6,3 radianes). Si, como resultado de resolver el problema, el valor de θ es mayor que el valor especificado, entonces el cuerpo ha dado más de una vuelta alrededor del eje.
La fórmula de la relación entre L y θ se obtiene sustituyendo los valores correspondientes por ω0y α mediante características lineales:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
La expresión resultante refleja el significado del propio ángulo θ en radianes. Si θ=1 rad, entonces L=R, es decir, un ángulo de un radián descansa sobre un arco de longitud de un radio.
Ejemplo de resolución de problemas
Resolvamos el siguiente problema de cinemática rotacional: sabemos que el automóvil se mueve a una velocidad de 70 km/h. Sabiendo que el diámetro de su rueda es D=0.4 metros, es necesario determinar el valor de ω para ella, así como el número de revoluciones que dará cuando el auto recorra una distancia de 1 kilómetro.
Para encontrar la velocidad angular, basta con sustituir los datos conocidos en la fórmula para relacionarla con la velocidad lineal, obtenemos:
ω=v / R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
Del mismo modo para el ángulo θ al que girará la rueda después de pasar1 km, obtenemos:
θ=L / R=1000 / 0, 2=5000 rad.
Dado que una revolución es 6,2832 radianes, obtenemos el número de revoluciones de la rueda que corresponde a este ángulo:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 vueltas.
Respondimos las preguntas usando las fórmulas del artículo. También fue posible resolver el problema de otra manera: calcular el tiempo durante el cual el automóvil recorrerá 1 km y sustituirlo en la fórmula del ángulo de rotación, a partir de la cual podemos obtener la velocidad angular ω. Respuesta encontrada.
