La rotación de los cuerpos es uno de los tipos importantes de movimiento mecánico en la tecnología y la naturaleza. A diferencia del movimiento lineal, se describe por su propio conjunto de características cinemáticas. Uno de ellos es la aceleración angular. Caracterizamos este valor en el artículo.
Movimiento de rotación
Antes de hablar sobre la aceleración angular, describamos el tipo de movimiento al que se aplica. Estamos hablando de rotación, que es el movimiento de cuerpos a lo largo de trayectorias circulares. Para que se produzca la rotación, se deben cumplir ciertas condiciones:
- presencia de un eje o punto de rotación;
- la presencia de una fuerza centrípeta que mantendría el cuerpo en una órbita circular.
Ejemplos de este tipo de movimiento son varias atracciones, como un carrusel. En ingeniería, la rotación se manifiesta en el movimiento de ruedas y ejes. En la naturaleza, el ejemplo más llamativo de este tipo de movimiento es la rotación de los planetas alrededor de su propio eje y alrededor del Sol. El papel de la fuerza centrípeta en estos ejemplos lo desempeñan las fuerzas de interacción interatómica en los sólidos y la fuerza gravitacional.interacción.
Características cinemáticas de rotación
Estas características incluyen tres cantidades: aceleración angular, velocidad angular y ángulo de rotación. Los denotaremos con los símbolos griegos α, ω y θ, respectivamente.
Como el cuerpo se mueve en un círculo, es conveniente calcular el ángulo θ, que girará en un tiempo determinado. Este ángulo se expresa en radianes (raramente en grados). Como el círculo tiene 2 × pi radianes, podemos escribir una ecuación que relacione θ con la longitud del arco L de la vuelta:
L=θ × r
Donde r es el radio de rotación. Esta fórmula es fácil de obtener si recuerdas la expresión correspondiente a la circunferencia.
La velocidad angular ω, al igual que su equivalente lineal, describe la velocidad de rotación alrededor del eje, es decir, se determina según la siguiente expresión:
ω¯=re θ / re t
La cantidad ω¯ es un valor vectorial. Está dirigido a lo largo del eje de rotación. Su unidad es radianes por segundo (rad/s).
Finalmente, la aceleración angular es una característica física que determina la tasa de cambio en el valor de ω¯, que se escribe matemáticamente de la siguiente manera:
α¯=re ω¯/ re t
El vector α¯ está dirigido a cambiar el vector de velocidad ω¯. Además se dirá que la aceleración angular está dirigida hacia el vector del momento de la fuerza. Este valor se mide en radianes.segundo cuadrado (rad/s2).
Momento de fuerza y aceleración
Si recordamos la ley de Newton, que relaciona la fuerza y la aceleración lineal en una sola igualdad, entonces, trasladando esta ley al caso de la rotación, podemos escribir la siguiente expresión:
M¯=yo × α¯
Aquí M¯ es el momento de la fuerza, que es el producto de la fuerza que tiende a hacer girar el sistema por la palanca, la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje. El valor I es análogo a la masa del cuerpo y se llama momento de inercia. La fórmula escrita se llama ecuación de momentos. A partir de él, la aceleración angular se puede calcular de la siguiente manera:
α¯=M¯/ I
Dado que I es un escalar, α¯ siempre se dirige hacia el momento de fuerza actuante M¯. La dirección de M¯ está determinada por la regla de la mano derecha o la regla de la barrena. Los vectores M¯ y α¯ son perpendiculares al plano de rotación. Cuanto mayor sea el momento de inercia del cuerpo, menor será el valor de la aceleración angular que el momento fijo M¯ puede impartir al sistema.
Ecuaciones cinemáticas
Para comprender el importante papel que juega la aceleración angular en la descripción del movimiento de rotación, escribamos las fórmulas que conectan las cantidades cinemáticas estudiadas anteriormente.
En el caso de rotación uniformemente acelerada, las siguientes relaciones matemáticas son válidas:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
La primera fórmula muestra que el ángulola velocidad aumentará con el tiempo de acuerdo con una ley lineal. La segunda expresión te permite calcular el ángulo por el cual el cuerpo girará en un tiempo conocido t. La gráfica de la función θ(t) es una parábola. En ambos casos, la aceleración angular es una constante.
Si usamos la fórmula de relación entre L y θ dada al principio del artículo, podemos obtener una expresión para α en términos de aceleración lineal a:
α=a / r
Si α es constante, entonces a medida que aumenta la distancia desde el eje de rotación r, la aceleración lineal a aumentará proporcionalmente. Es por eso que las características angulares se utilizan para la rotación, a diferencia de las lineales, no cambian al aumentar o disminuir r.
Problema de ejemplo
El eje de metal, que giraba a una frecuencia de 2000 revoluciones por segundo, comenzó a disminuir la velocidad y se detuvo por completo después de 1 minuto. Es necesario calcular con qué aceleración angular tuvo lugar el proceso de desaceleración del eje. También debe calcular el número de revoluciones que dio el eje antes de detenerse.
El proceso de desaceleración de la rotación se describe mediante la siguiente expresión:
ω=ω0-α × t
La velocidad angular inicial ω0se determina a partir de la frecuencia de rotación f de la siguiente manera:
ω0=2 × pi × f
Ya que conocemos el tiempo de desaceleración, entonces obtenemos el valor de aceleración α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Este número debe tomarse con un signo menos,porque estamos hablando de ralentizar el sistema, no de acelerarlo.
Para determinar el número de revoluciones que dará el eje durante el frenado, aplique la expresión:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
El valor obtenido del ángulo de rotación θ en radianes se convierte simplemente en el número de revoluciones realizadas por el eje antes de que se detenga por completo mediante una simple división por 2 × pi:
n=θ / (2 × pi)=60 001 vueltas.
Así obtuvimos todas las respuestas a las preguntas del problema: α=-209, 33 rad/s2, n=60,001 revoluciones.
