Si el movimiento lineal de los cuerpos se describe en la mecánica clásica usando las leyes de Newton, entonces las características del movimiento de los sistemas mecánicos a lo largo de trayectorias circulares se calculan usando una expresión especial, que se llama ecuación de momentos. ¿De qué momentos estamos hablando y cuál es el significado de esta ecuación? Estas y otras preguntas se revelan en el artículo.
Momento de fuerza
Todo el mundo es muy consciente de la fuerza newtoniana que, actuando sobre el cuerpo, conduce a impartirle una aceleración. Cuando dicha fuerza se aplica a un objeto que está fijo en un cierto eje de rotación, esta característica generalmente se denomina momento de fuerza. La ecuación del momento de la fuerza se puede escribir de la siguiente manera:
M¯=L¯F¯
La imagen que explica esta expresión se muestra a continuación.
Aquí puedes ver que la fuerza F¯ está dirigida al vector L¯ en un ángulo Φ. Se supone que el propio vector L¯ está dirigido desde el eje de rotación (indicado por la flecha) hasta el punto de aplicaciónF¯.
La fórmula anterior es un producto de dos vectores, por lo que M¯ también es direccional. ¿Hacia dónde girará el momento de la fuerza M¯? Esto se puede determinar mediante la regla de la mano derecha (cuatro dedos se dirigen a lo largo de la trayectoria desde el final del vector L¯ hasta el final de F¯, y el pulgar izquierdo indica la dirección de M¯).
En la figura anterior, la expresión del momento de fuerza en forma escalar tomará la forma:
M=LFsen(Φ)
Si miras de cerca la figura, puedes ver que Lsen(Φ)=d, entonces tenemos la fórmula:
M=dF
El valor de d es una característica importante en el cálculo del momento de fuerza, ya que refleja la efectividad de la F aplicada al sistema. Este valor se llama palanca de fuerza.
El significado físico de M radica en la capacidad de la fuerza para hacer girar el sistema. Todos pueden sentir esta habilidad si abren la puerta por la manija, empujándola cerca de las bisagras, o si intentan desenroscar la tuerca con una llave corta y una llave larga.
Equilibrio del sistema
El concepto de momento de fuerza es muy útil cuando se considera el equilibrio de un sistema sobre el que actúan múltiples fuerzas y tiene un eje o punto de rotación. En tales casos, aplique la fórmula:
∑iMi¯=0
Es decir, el sistema estará en equilibrio si la suma de todos los momentos de las fuerzas que se le aplican es cero. Tenga en cuenta que en esta fórmula hay un vector de signo sobre el momento, es decir, al resolver, no debe olvidarse de tener en cuenta el signo de estecantidades. La regla generalmente aceptada es que la fuerza que actúa y hace girar el sistema en sentido contrario a las agujas del reloj crea un positivo Mi¯.
Un ejemplo sorprendente de problemas de este tipo son los problemas con el equilibrio de las palancas de Arquímedes.
Momento de impulso
Esta es otra característica importante del movimiento circular. En física, se describe como el producto del impulso y la palanca. La ecuación de cantidad de movimiento se ve así:
T¯=r¯p¯
Aquí p¯ es el vector de momento, r¯ es el vector que conecta el punto material giratorio con el eje.
La siguiente figura ilustra esta expresión.
Aquí ω es la velocidad angular, que aparecerá más adelante en la ecuación del momento. Tenga en cuenta que la dirección del vector T¯ se encuentra mediante la misma regla que M¯. En la figura anterior, T¯ en dirección coincidirá con el vector de velocidad angular ω¯.
El significado físico de T¯ es el mismo que las características de p¯ en el caso del movimiento lineal, es decir, el momento angular describe la cantidad de movimiento de rotación (energía cinética almacenada).
Momento de inercia
La tercera característica importante, sin la cual es imposible formular la ecuación de movimiento de un objeto giratorio, es el momento de inercia. Aparece en física como resultado de transformaciones matemáticas de la fórmula del momento angular de un punto material. Vamos a mostrarte cómo se hace.
Imaginemos el valorT¯ como sigue:
T¯=r¯mv¯, donde p¯=mv¯
Usando la relación entre las velocidades angular y lineal, podemos reescribir esta expresión de la siguiente manera:
T¯=r¯mr¯ω¯, donde v¯=r¯ω¯
Escribe la última expresión de la siguiente manera:
T¯=r2mω¯
El valor r2m es el momento de inercia I para un punto de masa m que realiza un movimiento circular alrededor de un eje a una distancia r de él. Este caso especial nos permite introducir la ecuación general del momento de inercia para un cuerpo de forma arbitraria:
I=∫m (r2dm)
I es una cantidad aditiva, cuyo significado radica en la inercia del sistema giratorio. Cuanto más grande es I, más difícil es hacer girar el cuerpo y se necesita un esfuerzo considerable para detenerlo.
Ecuación del momento
Hemos considerado tres cantidades, cuyo nombre comienza con la palabra "momento". Esto se hizo intencionalmente, ya que todos están conectados en una expresión, llamada ecuación de 3 momentos. Vamos a sacarlo.
Considere la expresión para el momento angular T¯:
T¯=Iω¯
Encuentre cómo cambia el valor de T¯ en el tiempo, tenemos:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Dado que la derivada de la velocidad angular es igual a la de la velocidad lineal dividida por r, y ampliando el valor de I, llegamos a la expresión:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, donde a¯=dv¯/dt es la aceleración lineal.
Tenga en cuenta que el producto de la masa y la aceleración no es más que la fuerza externa actuante F¯. Como resultado, obtenemos:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Llegamos a una conclusión interesante: el cambio en el momento angular es igual al momento de la fuerza externa que actúa. Esta expresión generalmente se escribe en una forma ligeramente diferente:
M¯=Iα¯, donde α¯=dω¯/dt - aceleración angular.
Esta igualdad se llama ecuación de momentos. Permite calcular cualquier característica de un cuerpo en rotación, conociendo los parámetros del sistema y la magnitud del impacto externo sobre el mismo.
Ley de conservación T¯
La conclusión obtenida en el párrafo anterior indica que si el momento externo de las fuerzas es igual a cero, entonces el momento angular no cambiará. En este caso, escribimos la expresión:
T¯=const. o I1ω1¯=I2ω2 ¯
Esta fórmula se llama ley de conservación de T¯. Es decir, cualquier cambio dentro del sistema no cambia el momento angular total.
Este hecho lo utilizan los patinadores artísticos y las bailarinas durante sus actuaciones. También se utiliza si es necesario girar un satélite artificial que se mueve en el espacio alrededor de su eje.
