Los problemas matemáticos se utilizan en muchas ciencias. Estos incluyen no solo la física, la química, la ingeniería y la economía, sino también la medicina, la ecología y otras disciplinas. Un concepto importante a dominar para encontrar soluciones a dilemas importantes es la derivada de una función. El significado físico de la misma no es tan difícil de explicar como puede parecer a los no iniciados en la esencia de la cuestión. Basta con encontrar ejemplos adecuados de esto en la vida real y en situaciones cotidianas ordinarias. De hecho, cualquier automovilista se enfrenta a una tarea similar todos los días cuando mira el velocímetro, determinando la velocidad de su automóvil en un instante particular de un tiempo fijo. Después de todo, es en este parámetro donde reside la esencia del significado físico de la derivada.
Cómo encontrar la velocidad
Determinar la velocidad de una persona en la carretera, sabiendo la distancia recorrida y el tiempo de viaje, cualquier estudiante de quinto grado puede hacerlo fácilmente. Para hacer esto, el primero de los valores dados se divide por el segundo. PeroNo todos los jóvenes matemáticos saben que actualmente están encontrando la razón de los incrementos de una función y un argumento. De hecho, si imaginamos el movimiento en forma de gráfico, trazando la trayectoria en el eje y, y el tiempo en la abscisa, será exactamente así.
Sin embargo, la velocidad de un peatón o cualquier otro objeto que determinemos en un gran tramo del camino, considerando que el movimiento es uniforme, bien puede cambiar. Hay muchas formas de movimiento en la física. Se puede realizar no solo con una aceleración constante, sino también disminuir la velocidad y aumentar de forma arbitraria. Cabe señalar que en este caso la línea que describe el movimiento ya no será una línea recta. Gráficamente, puede asumir las configuraciones más complejas. Pero para cualquiera de los puntos del gráfico, siempre podemos dibujar una tangente representada por una función lineal.
Para aclarar el parámetro de cambio de desplazamiento en función del tiempo, es necesario acortar los segmentos medidos. Cuando se vuelven infinitamente pequeños, la velocidad calculada será instantánea. Esta experiencia nos ayuda a definir la derivada. Su significado físico también se sigue lógicamente de tal razonamiento.
En términos de geometría
Se sabe que cuanto mayor es la velocidad del cuerpo, más inclinada es la gráfica de la dependencia del desplazamiento con el tiempo y, por lo tanto, el ángulo de inclinación de la tangente a la gráfica en un punto determinado. Un indicador de tales cambios puede ser la tangente del ángulo entre el eje x y la línea tangente. Solo determina el valor de la derivada y se calcula por la razón de longitudesopuesto al cateto adyacente en un triángulo rectángulo formado por una perpendicular caída desde algún punto al eje x.
Este es el significado geométrico de la primera derivada. El físico se revela en el hecho de que el valor del tramo opuesto en nuestro caso es la distancia recorrida, y el adyacente es el tiempo. Su relación es la velocidad. Y nuevamente llegamos a la conclusión de que la velocidad instantánea, determinada cuando ambos espacios tienden a ser infinitamente pequeños, es la esencia del concepto de derivada, indicando su significado físico. La segunda derivada en este ejemplo será la aceleración del cuerpo, que a su vez demuestra la tasa de cambio de velocidad.
Ejemplos de cómo encontrar derivadas en física
La derivada es un indicador de la tasa de cambio de cualquier función, incluso cuando no estamos hablando de movimiento en el sentido literal de la palabra. Para demostrar esto claramente, tomemos algunos ejemplos concretos. Suponga que la intensidad de la corriente, dependiendo del tiempo, cambia según la siguiente ley: I=0, 4t2. Se requiere encontrar el valor de la tasa a la que cambia este parámetro al final del octavo segundo del proceso. Tenga en cuenta que el valor deseado en sí mismo, como se puede juzgar a partir de la ecuación, aumenta constantemente.
Para resolverlo, necesitas encontrar la primera derivada, cuyo significado físico se consideró anteriormente. Aquí dI/dt=0,8t. Luego, lo encontramos en t \u003d 8, obtenemos que la velocidad a la que cambia la intensidad actual es 6.4 A / c. Aquí se considera quela corriente se mide en amperios y el tiempo, respectivamente, en segundos.
Todo cambia
El mundo circundante visible, que consiste en materia, experimenta cambios constantemente, estando en movimiento de varios procesos que ocurren en él. Se puede utilizar una variedad de parámetros para describirlos. Si están unidos por dependencia, entonces se escriben matemáticamente como una función que muestra claramente sus cambios. Y donde hay movimiento (en cualquier forma que se exprese), también existe una derivada, cuyo significado físico estamos considerando en este momento.
En esta ocasión, el siguiente ejemplo. Suponga que la temperatura del cuerpo cambia según la ley T=0, 2 t 2. Debe encontrar la velocidad de su calentamiento al final del décimo segundo. El problema se resuelve de manera similar a la descrita en el caso anterior. Es decir, encontramos la derivada y sustituimos el valor de t \u003d 10 en ella, obtenemos T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Esto significa que la respuesta final es 4 grados por segundo, es decir, el proceso de calentamiento y el cambio de temperatura, medido en grados, ocurre precisamente a esa velocidad.
Resolución de problemas prácticos
Por supuesto, en la vida real todo es mucho más complicado que en los problemas teóricos. En la práctica, el valor de las cantidades suele determinarse durante el experimento. En este caso, se utilizan instrumentos que dan lecturas durante las mediciones con cierto error. Por lo tanto, en los cálculos, uno tiene que lidiar con valores aproximados de los parámetros y recurrir al redondeo de números inconvenientes,así como otras simplificaciones. Teniendo esto en cuenta, pasaremos de nuevo a los problemas sobre el significado físico de la derivada, dado que no son más que una especie de modelo matemático de los procesos más complejos que ocurren en la naturaleza.
Erupción del volcán
Imaginemos que un volcán entra en erupción. ¿Qué tan peligroso puede ser? Para responder a esta pregunta, es necesario considerar muchos factores. Intentaremos acomodar a uno de ellos.
Desde la boca del "monstruo de fuego" se lanzan piedras verticalmente hacia arriba, teniendo una velocidad inicial desde que salen al exterior de 120 m/s. Hay que calcular a que altura máxima pueden llegar.
Para encontrar el valor deseado, compondremos una ecuación para la dependencia de la altura H, medida en metros, de otros valores. Estos incluyen la velocidad inicial y el tiempo. El valor de la aceleración se considera conocido y aproximadamente igual a 10 m/s2.
Derivada parcial
Ahora consideremos el significado físico de la derivada de una función desde un ángulo ligeramente diferente, porque la ecuación en sí puede contener no una, sino varias variables. Por ejemplo, en el problema anterior, la dependencia de la altura de las piedras expulsadas por la chimenea del volcán estaba determinada no solo por el cambio en las características del tiempo, sino también por el valor de la velocidad inicial. Este último se consideró un valor constante y fijo. Pero en otras tareas con condiciones completamente diferentes, todo podría ser diferente. Si las cantidades en las que se basa el complejofunción, varios, los cálculos se realizan de acuerdo con las fórmulas a continuación.
El significado físico de la derivada frecuente debe determinarse como en el caso habitual. Esta es la tasa a la que cambia la función en algún punto particular a medida que aumenta el parámetro de la variable. Se calcula de tal manera que todos los demás componentes se toman como constantes, solo uno se considera como variable. Entonces todo sucede de acuerdo con las reglas habituales.
Asesor indispensable en muchos temas
Al comprender el significado físico de la derivada, no es difícil dar ejemplos de cómo resolver problemas intrincados y complejos, en los que la respuesta se puede encontrar con tal conocimiento. Si tenemos una función que describe el consumo de combustible en función de la velocidad del coche, podemos calcular en qué parámetros de este último el consumo de gasolina será menor.
En medicina, puedes predecir cómo reaccionará el cuerpo humano a un medicamento recetado por un médico. Tomar el medicamento afecta una variedad de parámetros fisiológicos. Estos incluyen cambios en la presión arterial, la frecuencia cardíaca, la temperatura corporal y más. Todos ellos dependen de la dosis del medicamento tomado. Estos cálculos ayudan a predecir el curso del tratamiento, tanto en manifestaciones favorables como en accidentes indeseables que pueden afectar fatalmente los cambios en el cuerpo del paciente.
Sin duda, es importante entender el significado físico de la derivada en técnicasproblemas, en particular en ingeniería eléctrica, electrónica, diseño y construcción.
Distancia de frenado
Consideremos el siguiente problema. Moviéndose a una velocidad constante, el automóvil, al acercarse al puente, tuvo que reducir la velocidad 10 segundos antes de la entrada, ya que el conductor notó una señal de tráfico que prohibía el movimiento a una velocidad superior a 36 km/h. ¿El conductor violó las reglas si la distancia de frenado puede describirse mediante la fórmula S=26t - t2?
Calculando la primera derivada, encontramos la fórmula de la velocidad, obtenemos v=28 – 2t. A continuación, sustituya el valor t=10 en la expresión especificada.
Como este valor se expresó en segundos, la velocidad es de 8 m/s, lo que significa 28,8 km/h. Esto permite comprender que el conductor comenzó a reducir la velocidad a tiempo y no violó las normas de tránsito y, por lo tanto, el límite indicado en la señal de velocidad.
Esto demuestra la importancia del significado físico de la derivada. Un ejemplo de cómo resolver este problema demuestra la amplitud del uso de este concepto en varias esferas de la vida. Incluso en situaciones cotidianas.
Derivadas en economía
Hasta el siglo XIX, los economistas operaban principalmente con promedios, ya fuera la productividad laboral o el precio de producción. Pero a partir de algún momento, los valores límite se hicieron más necesarios para hacer pronósticos efectivos en esta área. Estos incluyen utilidad marginal, ingreso o costo. Comprender esto impulsó la creación de una herramienta completamente nueva en la investigación económica,que existe y se desarrolla desde hace más de cien años.
Para hacer tales cálculos, donde predominan conceptos como mínimo y máximo, simplemente es necesario comprender el significado geométrico y físico de la derivada. Entre los creadores de la base teórica de estas disciplinas, se pueden nombrar economistas ingleses y austriacos tan destacados como US Jevons, K. Menger y otros. Por supuesto, los valores límite en los cálculos económicos no siempre son convenientes de usar. Y, por ejemplo, los informes trimestrales no necesariamente encajan en el esquema existente, pero aun así, la aplicación de tal teoría en muchos casos es útil y efectiva.
