Polinomio, o polinomio - una de las estructuras algebraicas básicas, que se encuentra en la escuela y las matemáticas superiores. El estudio de un polinomio es el tema más importante en un curso de álgebra, ya que, por un lado, los polinomios son bastante simples en comparación con otro tipo de funciones y, por otro lado, son muy utilizados en la resolución de problemas de análisis matemático.. Entonces, ¿qué es un polinomio?
Definición
La definición del término polinomio se puede dar a través del concepto de monomio, o monomio.
Un monomio es una expresión de la forma cx1i1x2 i2 …x in. Aquí с es una constante, x1, x2, … x - variables, i1, i2, … en - exponentes de variables. Entonces un polinomio es cualquier suma finita de monomios.
Para entender qué es un polinomio, puedes mirar ejemplos específicos.
El trinomio cuadrado, discutido en detalle en el curso de matemáticas de octavo grado, es un polinomio: ax2+bx+c.
Un polinomio con dos variables podría verse así: x2-xy+y2. Talun polinomio también se denomina cuadrado incompleto de la diferencia entre x e y.
Clasificaciones de polinomios
Grado polinomial
Para cada monomio en el polinomio, encuentra la suma de los exponentes i1+i2+…+in. La mayor de las sumas se llama exponente del polinomio, y el monomio correspondiente a esta suma se llama término más alto.
Por cierto, cualquier constante puede considerarse un polinomio de grado cero.
Polinomios reducidos y no reducidos
Si el coeficiente c es igual a 1 para el término más alto, entonces se da el polinomio, de lo contrario no lo es.
Por ejemplo, la expresión x2+2x+1 es un polinomio reducido, y 2x2+2x+1 no se reduce.
Polinomios homogéneos y no homogéneos
Si los grados de todos los miembros de un polinomio son iguales, entonces decimos que dicho polinomio es homogéneo. Todos los demás polinomios se consideran no homogéneos.
Polinomios homogéneos: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogéneo: x+1, x2+y.
Hay nombres especiales para un polinomio de dos y tres términos: binomio y trinomio, respectivamente.
Los polinomios de una variable se asignan a una categoría separada.
Aplicación de un polinomio de una variable
Los polinomios de una variable se aproximan a funciones bien continuas de complejidad variable a partir de un argumento.
El hecho es que tales polinomios se pueden considerar como sumas parciales de una serie de potencias, y una función continua se puede representar como una serie con un error arbitrariamente pequeño. Las series de desarrollo de una función se denominan series de Taylor y sussumas parciales en forma de polinomios - polinomios de Taylor.
Estudiar gráficamente el comportamiento de una función aproximándola con algún polinomio suele ser más fácil que investigar la misma función directamente o usar una serie.
Es fácil buscar derivadas de polinomios. Para encontrar las raíces de polinomios de grado 4 e inferior, existen fórmulas preparadas, y para trabajar con grados más altos, se utilizan algoritmos aproximados de alta precisión.
También hay una generalización de los polinomios descritos para funciones de varias variables.
Binomio de Newton
Los polinomios famosos son polinomios de Newton, derivados por científicos para encontrar los coeficientes de la expresión (x + y).
Basta con observar las primeras potencias de la descomposición binomial para asegurarse de que la fórmula no es trivial:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
Para cada coeficiente hay una expresión que te permite calcularlo. Sin embargo, memorizar fórmulas engorrosas y realizar las operaciones aritméticas necesarias cada vez sería extremadamente inconveniente para aquellos matemáticos que a menudo necesitan tales expansiones. El triángulo de Pascal les hizo la vida mucho más fácil.
La figura está construida según el siguiente principio. Se escribe 1 en la parte superior del triángulo, y en cada línea siguiente se convierte en un dígito más, se pone 1 en los bordes, y el medio de la línea se llena con las sumas de dos números adyacentes de la anterior.
Cuando miras la ilustración, todo se aclara.
Por supuesto, el uso de polinomios en matemáticas no se limita a los ejemplos dados, los más conocidos.
