Desigualdades y sistemas de desigualdades es uno de los temas que se enseña en álgebra de secundaria. En cuanto a la dificultad, no es de lo más difícil, pues tiene reglas sencillas (sobre ellas un poco más adelante). Por regla general, los escolares aprenden la solución de sistemas de desigualdades con bastante facilidad. Esto también se debe al hecho de que los profesores simplemente "capacitan" a sus alumnos sobre este tema. Y no pueden dejar de hacer esto, porque se estudia en el futuro con el uso de otras cantidades matemáticas, y también se verifica para el OGE y el Examen de Estado Unificado. En los libros de texto escolares se trata con gran detalle el tema de las desigualdades y los sistemas de desigualdades, por lo que si vas a estudiarlo, entonces lo mejor es recurrir a ellos. Este artículo es solo una paráfrasis de mucho material y puede contener algunas omisiones.
El concepto de sistema de desigualdades
Si recurrimos al lenguaje científico, podemos definir el concepto de "sistemadesigualdades". Este es un modelo matemático que representa varias desigualdades. Por supuesto, este modelo requiere una solución, y será la respuesta general para todas las desigualdades del sistema propuesto en la tarea (generalmente se escribe así, por ejemplo: "Resolver el sistema de desigualdades 4 x + 1 > 2 y 30 - x > 6… ").
Sistemas de desigualdades y sistemas de ecuaciones
En el proceso de aprender un nuevo tema, a menudo surgen malentendidos. Por un lado, todo está claro y preferiría comenzar a resolver tareas, pero por otro lado, algunos momentos quedan en la "sombra", no se entienden bien. Además, algunos elementos del conocimiento ya adquirido pueden entrelazarse con otros nuevos. A menudo se producen errores como resultado de esta superposición.
Por lo tanto, antes de proceder al análisis de nuestro tema, debemos recordar las diferencias entre ecuaciones y desigualdades, sus sistemas. Para ello, es necesario aclarar una vez más cuáles son estos conceptos matemáticos. Una ecuación siempre es una igualdad y siempre es igual a algo (en matemáticas, esta palabra se denota con el signo "="). La desigualdad es un modelo en el que un valor es mayor o menor que otro, o contiene la afirmación de que no son iguales. Así, en el primer caso, es apropiado hablar de igualdad, y en el segundo, por más obvio que pueda sonar deel propio nombre, sobre la desigualdad de los datos iniciales. Los sistemas de ecuaciones y desigualdades prácticamente no difieren entre sí y los métodos para su solución son los mismos. La única diferencia es que el primero usa igualdades mientras que el segundo usa desigualdades.
Tipos de desigualdades
Hay dos tipos de desigualdades: numéricas y con variable desconocida. El primer tipo son valores proporcionados (números) que no son iguales entre sí, por ejemplo, 8 > 10. El segundo tipo son desigualdades que contienen una variable desconocida (indicada por alguna letra del alfabeto latino, con mayor frecuencia X). Esta variable debe ser encontrada. Según cuantas sean, el modelo matemático distingue entre desigualdades de una (forman un sistema de desigualdades con una variable) o de varias variables (forman un sistema de desigualdades con varias variables).
Los dos últimos tipos, según el grado de su construcción y el nivel de complejidad de la solución, se dividen en simples y complejos. Las simples también se llaman desigualdades lineales. Ellos, a su vez, se dividen en estrictos y no estrictos. Estrictamente "decir" específicamente que un valor debe ser menor o mayor, por lo que esto es pura desigualdad. Hay varios ejemplos: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, etc. Los no estrictos también incluyen la igualdad. Es decir, un valor puede ser mayor o igual a otro valor (signo "≧") o menor o igual a otro valor (signo "≦"). todavía en líneaEn las desigualdades, la variable no está en la raíz, el cuadrado, no es divisible por nada, por eso se les llama "simples". Los complejos incluyen variables desconocidas, cuyo hallazgo requiere más operaciones matemáticas. Suelen estar en un cuadrado, cubo o debajo de la raíz, pueden ser modulares, logarítmicos, fraccionarios, etc. Pero como nuestra tarea es entender la solución de sistemas de desigualdades, hablaremos de un sistema de desigualdades lineales. Sin embargo, antes de eso, se deben decir algunas palabras sobre sus propiedades.
Propiedades de las desigualdades
Las propiedades de las desigualdades incluyen las siguientes disposiciones:
- El signo de desigualdad se invierte si se aplica la operación para cambiar la secuencia de lados (por ejemplo, si t1 ≦ t2, entonces t 2 ≧ t1).
- Ambas partes de la desigualdad te permiten agregarte el mismo número (por ejemplo, si t1 ≦ t2, entonces t 1 + número ≦ t2 + número).
- Dos o más desigualdades con el signo de la misma dirección te permiten sumar sus partes izquierda y derecha (por ejemplo, si t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, luego t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Ambas partes de la desigualdad se pueden multiplicar o dividir por el mismo número positivo (por ejemplo, si t1 ≦ t2y número ≦ 0, luego número t1 ≧ número t2).
- Dos o más desigualdades que tienen términos positivos y un signo de la misma dirección permitense multiplican entre sí (por ejemplo, si t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 luego t1 t3 ≦ t2 t4).
- Ambas partes de la desigualdad se permiten multiplicar o dividir por el mismo número negativo, pero el signo de la desigualdad cambia (por ejemplo, si t1 ≦ t2 y número ≦ 0, luego número t1 ≧ número t2).
- Todas las desigualdades son transitivas (por ejemplo, si t1 ≦ t2 y t2≦ t3, luego t1 ≦ t3).
Ahora, después de estudiar las principales disposiciones de la teoría relacionada con las desigualdades, podemos pasar directamente a la consideración de las reglas para resolver sus sistemas.
Solución de sistemas de desigualdades. Información general. Soluciones
Como se mencionó anteriormente, la solución son los valores de la variable que se ajustan a todas las desigualdades del sistema dado. La solución de sistemas de desigualdades es la realización de operaciones matemáticas que finalmente conducen a la solución de todo el sistema o prueban que no tiene soluciones. En este caso, se dice que la variable se refiere al conjunto de números vacío (escrito de la siguiente manera: la letra que denota la variable ∈ (el signo "pertenece") ø (el signo "conjunto vacío"), por ejemplo, x ∈ ø (se lee así: "La variable "x" pertenece al conjunto vacío"). Hay varias formas de resolver sistemas de desigualdades:método gráfico, algebraico, de sustitución. Cabe señalar que se refieren a aquellos modelos matemáticos que tienen varias variables desconocidas. En el caso de que solo haya uno, el método de espaciado servirá.
Método gráfico
Te permite resolver un sistema de desigualdades con varias incógnitas (de dos o más). Gracias a este método, el sistema de desigualdades lineales se resuelve con bastante facilidad y rapidez, por lo que es el método más común. Esto se debe a que el trazado reduce la cantidad de operaciones matemáticas escritas. Se vuelve especialmente agradable tomar un pequeño descanso de la pluma, tomar un lápiz con una regla y continuar con otras acciones con su ayuda cuando se ha hecho mucho trabajo y desea un poco de variedad. Sin embargo, a algunos no les gusta este método debido al hecho de que tienes que alejarte de la tarea y cambiar tu actividad mental a dibujar. Sin embargo, es una forma muy efectiva.
Para resolver un sistema de desigualdades usando un método gráfico, es necesario transferir todos los miembros de cada desigualdad a su lado izquierdo. Los signos se invertirán, el cero debe escribirse a la derecha, luego cada desigualdad debe escribirse por separado. Como resultado, se obtendrán funciones a partir de desigualdades. Después de eso, puede obtener un lápiz y una regla: ahora necesita dibujar un gráfico de cada función obtenida. Todo el conjunto de números que estarán en el intervalo de su intersección será la solución del sistema de desigualdades.
Forma algebraica
Te permite resolver un sistema de desigualdades con dos variables desconocidas. Las desigualdades también deben tener el mismo signo de desigualdad (es decir, deben contener solo el signo "mayor que", o solo el signo "menor que", etc.) A pesar de sus limitaciones, este método también es más complicado. Se aplica en dos pasos.
La primera consiste en deshacerse de una de las variables desconocidas. Primero debe seleccionarlo, luego verificar la presencia de números delante de esta variable. Si no hay ninguno (entonces la variable se verá como una sola letra), entonces no cambiamos nada, si lo hay (el tipo de la variable será, por ejemplo, 5y o 12y), entonces es necesario asegurarse que en cada desigualdad el número delante de la variable seleccionada es el mismo. Para hacer esto, debe multiplicar cada miembro de las desigualdades por un factor común, por ejemplo, si se escribe 3y en la primera desigualdad y 5y en la segunda, entonces debe multiplicar todos los miembros de la primera desigualdad por 5, y el segundo por 3. Obtienes 15y y 15y, respectivamente.
La segunda etapa de la decisión. Es necesario trasladar el lado izquierdo de cada desigualdad a sus lados derechos con un cambio en el signo de cada término al contrario, escribir cero a la derecha. Luego viene la parte divertida: deshacerse de la variable elegida (también conocida como "reducción") mientras se suman las desigualdades. Obtendrás una desigualdad con una variable que necesita ser resuelta. Después de eso, debes hacer lo mismo, solo que con otra variable desconocida. Los resultados obtenidos serán la solución del sistema.
Método de sustitución
Te permite resolver un sistema de desigualdades cuando tienes la oportunidad de introducir una nueva variable. Por lo general, este método se usa cuando la variable desconocida en un término de la desigualdad se eleva a la cuarta potencia y en el otro término se eleva al cuadrado. Por lo tanto, este método tiene como objetivo reducir el grado de desigualdades en el sistema. La desigualdad muestral x4 - x2 - 1 ≦ 0 se resuelve de la siguiente manera. Se introduce una nueva variable, por ejemplo t. Escriben: "Sea t=x2", luego el modelo se reescribe en una nueva forma. En nuestro caso, obtenemos t2 - t - 1 ≦0. Esta desigualdad necesita ser resuelta por el método de intervalo (sobre esto un poco más adelante), luego regrese a la variable X, luego haga lo mismo con otra desigualdad. Las respuestas recibidas serán decisión del sistema.
Método de intervalo
Esta es la forma más fácil de resolver sistemas de desigualdades, y al mismo tiempo es universal y generalizada. Se usa en la escuela secundaria, e incluso en la escuela secundaria. Su esencia radica en el hecho de que el estudiante está buscando intervalos de desigualdad en la recta numérica, que está dibujada en un cuaderno (esto no es un gráfico, sino una línea recta ordinaria con números). Donde los intervalos de desigualdades se cortan, se encuentra la solución del sistema. Para utilizar el método de espaciado, siga estos pasos:
- Todos los miembros de cada desigualdad se trasladan al lado izquierdo con un cambio de signo al opuesto (el cero se escribe a la derecha).
- Las desigualdades se escriben por separado, se determina la solución de cada una de ellas.
- Las intersecciones de desigualdades en el númeroderecho. Todos los números en estas intersecciones serán la solución.
¿Qué forma de usar?
Obviamente el que parece más fácil y cómodo, pero hay veces que las tareas requieren de un método determinado. La mayoría de las veces, dicen que necesita resolver usando un gráfico o usando el método de intervalo. El método algebraico y la sustitución se usan muy pocas veces o nunca, ya que son bastante complejos y confusos, y además, se usan más para resolver sistemas de ecuaciones que para resolver desigualdades, por lo que debes recurrir a dibujar gráficos e intervalos. Brindan visibilidad, lo que no puede sino contribuir a la realización eficiente y rápida de operaciones matemáticas.
Si algo no funciona
Durante el estudio de un tema particular en álgebra, por supuesto, puede haber problemas con su comprensión. Y esto es normal, porque nuestro cerebro está diseñado de tal manera que no es capaz de comprender material complejo de una sola vez. A menudo, necesita volver a leer un párrafo, tomar la ayuda de un maestro o practicar la resolución de problemas típicos. En nuestro caso, se ven, por ejemplo, así: "Resolver el sistema de desigualdades 3 x + 1 ≧ 0 y 2 x - 1 > 3". Por lo tanto, el esfuerzo personal, la ayuda de personas externas y la ayuda práctica para comprender cualquier tema complejo.
Resebnik?
Y el libro de soluciones también es muy bueno, pero no para hacer trampa con la tarea, sino para la autoayuda. En ellos puedes encontrar sistemas de desigualdades con solución, miraellos (como plantillas), intente comprender exactamente cómo el autor de la solución hizo frente a la tarea y luego intente hacerlo por su cuenta.
Conclusiones
Álgebra es una de las materias más difíciles de la escuela. Bueno, ¿qué puedes hacer? Las matemáticas siempre han sido así: para algunos es fácil y para otros es difícil. Pero en cualquier caso, debe recordarse que el programa de educación general está diseñado de tal manera que cualquier estudiante pueda afrontarlo. Además, debe tener en cuenta una gran cantidad de asistentes. Algunos de ellos se han mencionado anteriormente.
