Una de las ramas de las matemáticas con las que los escolares se enfrentan a mayores dificultades es la trigonometría. No es de extrañar: para dominar libremente esta área de conocimiento, necesita pensamiento espacial, la capacidad de encontrar senos, cosenos, tangentes, cotangentes usando fórmulas, simplificar expresiones y poder usar el número pi en los cálculos. Además, debe poder aplicar la trigonometría al probar teoremas, y esto requiere una memoria matemática desarrollada o la capacidad de deducir cadenas lógicas complejas.
Los orígenes de la trigonometría
La introducción a esta ciencia debe comenzar con la definición del seno, el coseno y la tangente de un ángulo, pero primero debes descubrir qué hace la trigonometría en general.
Históricamente, los triángulos rectángulos han sido el principal objeto de investigación en esta sección de las ciencias matemáticas. La presencia de un ángulo de 90 grados permite realizar varias operaciones que permiten doslados y una esquina o dos esquinas y un lado para determinar los valores de todos los parámetros de la figura en cuestión. En el pasado, la gente notó este patrón y comenzó a usarlo activamente en la construcción de edificios, navegación, astronomía e incluso arte.
Inicio
Inicialmente, la gente hablaba de la relación entre ángulos y lados exclusivamente en el ejemplo de los triángulos rectángulos. Luego se descubrieron fórmulas especiales que permitieron ampliar los límites de uso en la vida cotidiana de esta sección de las matemáticas.
El estudio de la trigonometría en la escuela hoy comienza con triángulos rectángulos, después de lo cual los estudiantes de física utilizan el conocimiento adquirido y resuelven ecuaciones trigonométricas abstractas, cuyo trabajo comienza en la escuela secundaria.
Trigonometría esférica
Más tarde, cuando la ciencia alcanzó el siguiente nivel de desarrollo, las fórmulas con seno, coseno, tangente y cotangente comenzaron a usarse en geometría esférica, donde se aplican otras reglas, y la suma de los ángulos en un triángulo siempre es mayor de 180 grados. Esta sección no se estudia en la escuela, pero es necesario saber sobre su existencia, al menos porque la superficie de la tierra, y la superficie de cualquier otro planeta, es convexa, lo que significa que cualquier marca de la superficie tendrá "forma de arco". " en el espacio tridimensional.
Toma un globo terráqueo y un hilo. Conecte el hilo a cualquiera de los dos puntos del globo para que quede tenso. Presta atención: ha adquirido la forma de un arco. Se trata de tales formasgeometría esférica utilizada en geodesia, astronomía y otros campos teóricos y aplicados.
Triángulo rectángulo
Habiendo aprendido un poco sobre las formas de usar la trigonometría, volvamos a la trigonometría básica para comprender mejor qué son el seno, el coseno y la tangente, qué cálculos se pueden realizar con su ayuda y qué fórmulas usar.
Primero que nada, necesitas entender los conceptos relacionados con un triángulo rectángulo. Primero, la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo de 90 grados. Ella es la más larga. Recordamos que según el teorema de Pitágoras, su valor numérico es igual a la raíz de la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Por ejemplo, si dos lados miden 3 y 4 centímetros respectivamente, la longitud de la hipotenusa será de 5 centímetros. Por cierto, los antiguos egipcios lo sabían hace unos cuatro mil quinientos años.
Los dos lados restantes que forman un ángulo recto se llaman catetos. Además, debemos recordar que la suma de los ángulos de un triángulo en un sistema de coordenadas rectangulares es 180 grados.
Definición
Finalmente, teniendo una sólida comprensión de la base geométrica, podemos pasar a la definición de seno, coseno y tangente de un ángulo.
El seno de un ángulo es la razón del cateto opuesto (es decir, el lado opuesto al ángulo deseado) a la hipotenusa. El coseno de un ángulo es la razón del cateto adyacente a la hipotenusa.
¡Recuerda que ni el seno ni el coseno pueden ser mayores que uno! ¿Por qué?Porque la hipotenusa es por defecto el lado más largo de un triángulo rectángulo. Por muy largo que sea el cateto, será más corto que la hipotenusa, lo que significa que su razón siempre será menor que uno. Así, si obtienes un seno o coseno con un valor mayor a 1 en la respuesta al problema, busca un error en los cálculos o en el razonamiento. Esta respuesta es claramente incorrecta.
Finalmente, la tangente de un ángulo es la razón del lado opuesto al lado adyacente. El mismo resultado dará la división del seno por el coseno. Mira: de acuerdo con la fórmula, dividimos la longitud del lado por la hipotenusa, luego dividimos por la longitud del segundo lado y multiplicamos por la hipotenusa. Por lo tanto, obtenemos la misma razón que en la definición de la tangente.
Cotangente, respectivamente, es la razón del lado adyacente a la esquina al lado opuesto. Obtenemos el mismo resultado al dividir la unidad por la tangente.
Entonces, hemos considerado las definiciones de lo que es seno, coseno, tangente y cotangente, y podemos tratar con fórmulas.
Fórmulas sencillas
En trigonometría no se puede prescindir de las fórmulas: ¿cómo encontrar el seno, el coseno, la tangente y la cotangente sin ellas? Pero esto es exactamente lo que se requiere para resolver problemas.
La primera fórmula que debes saber al comenzar a estudiar trigonometría dice que la suma de los cuadrados del seno y el coseno de un ángulo es igual a uno. Esta fórmula es una consecuencia directa del teorema de Pitágoras, pero ahorra tiempo si necesita averiguar el valor del ángulo, no del lado.
Muchos estudiantes no pueden recordar la segunda fórmula, también muypopular para resolver problemas escolares: la suma de uno y el cuadrado de la tangente de un ángulo es igual a uno dividido por el cuadrado del coseno del ángulo. Mire más de cerca: después de todo, esta es la misma declaración que en la primera fórmula, solo que ambos lados de la identidad se dividieron por el cuadrado del coseno. Resulta que una simple operación matemática hace que la fórmula trigonométrica sea completamente irreconocible. Recuerde: sabiendo qué es un seno, un coseno, una tangente y una cotangente, las reglas de conversión y algunas fórmulas básicas, en cualquier momento puede derivar independientemente las fórmulas más complejas requeridas en una hoja de papel.
Fórmulas de doble ángulo y adición de argumentos
Dos fórmulas más para aprender están relacionadas con los valores de seno y coseno para la suma y diferencia de ángulos. Se muestran en la siguiente figura. Tenga en cuenta que en el primer caso, el seno y el coseno se multiplican ambas veces, y en el segundo caso, se suma el producto por pares del seno y el coseno.
También hay fórmulas asociadas con argumentos de doble ángulo. Se derivan completamente de los anteriores: como práctica, intente obtenerlos usted mismo, tomando el ángulo alfa igual al ángulo beta.
Finalmente, tenga en cuenta que las fórmulas de doble ángulo se pueden convertir para reducir el grado de seno, coseno, tangente alfa.
Teoremas
Los dos teoremas principales en trigonometría básica son el teorema del seno y el teorema del coseno. Con la ayuda de estos teoremas, puede comprender fácilmente cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente y, por lo tanto, el área de la figura y la magnitud.cada lado, etc.
El teorema del seno establece que al dividir la longitud de cada uno de los lados de un triángulo por el valor del ángulo opuesto, obtenemos el mismo número. Además, este número será igual a dos radios del círculo circunscrito, es decir, el círculo que contiene todos los puntos del triángulo dado.
El teorema del coseno generaliza el teorema de Pitágoras, proyectándolo sobre cualquier triángulo. Resulta que de la suma de los cuadrados de los dos lados, reste su producto, multiplicado por el doble coseno del ángulo adyacente a ellos; el valor resultante será igual al cuadrado del tercer lado. Así, el teorema de Pitágoras resulta ser un caso especial del teorema del coseno.
Errores por f alta de atención
Aún sabiendo qué es el seno, el coseno y la tangente, es fácil equivocarse por descuido o error en los cálculos más simples. Para evitar tales errores, echemos un vistazo a los más populares.
En primer lugar, no convierta fracciones comunes a decimales antes de obtener el resultado final; puede dejar la respuesta como una fracción común, a menos que se indique lo contrario en la condición. Tal transformación no puede llamarse un error, pero debe recordarse que en cada etapa de la tarea pueden aparecer nuevas raíces que, según la idea del autor, deben reducirse. En este caso, perderá tiempo en operaciones matemáticas innecesarias. Esto es especialmente cierto para valores como la raíz de tres o dos, porque ocurren en tareas en cada paso. Lo mismo ocurre con el redondeo. Números "feos".
A continuación, tenga en cuenta que el teorema del coseno se aplica a cualquier triángulo, ¡pero no al teorema de Pitágoras! Si olvida restar por error el doble del producto de los lados multiplicado por el coseno del ángulo entre ellos, no solo obtendrá un resultado completamente incorrecto, sino que también demostrará un completo malentendido del tema. Esto es peor que un error por descuido.
Tercero, no confundas los valores para ángulos de 30 y 60 grados para senos, cosenos, tangentes, cotangentes. Recuerda estos valores, porque el seno de 30 grados es igual al coseno de 60, y viceversa. Es fácil confundirlos e inevitablemente obtendrá un resultado erróneo.
Solicitud
Muchos estudiantes no tienen prisa por empezar a estudiar trigonometría porque no entienden su significado aplicado. ¿Qué es seno, coseno, tangente para un ingeniero o astrónomo? Son conceptos gracias a los cuales se puede calcular la distancia a estrellas lejanas, predecir la caída de un meteorito, enviar una sonda de investigación a otro planeta. Sin ellos, es imposible construir un edificio, diseñar un automóvil, calcular la carga en la superficie o la trayectoria de un objeto. ¡Y estos son solo los ejemplos más obvios! Después de todo, la trigonometría de una forma u otra se usa en todas partes, desde la música hasta la medicina.
En conclusión
Entonces, ya sabes lo que son el seno, el coseno y la tangente. Puede usarlos en cálculos y resolver con éxito problemas escolares.
Todo el puntola trigonometría se reduce al hecho de que, de acuerdo con los parámetros conocidos del triángulo, es necesario calcular las incógnitas. Hay seis parámetros en total: las longitudes de tres lados y las magnitudes de tres ángulos. Toda la diferencia en las tareas radica en el hecho de que se dan diferentes datos de entrada.
Cómo encontrar el seno, el coseno y la tangente en función de las longitudes conocidas de los catetos o la hipotenusa, ya lo sabes. Dado que estos términos no significan más que una razón, y una razón es una fracción, el objetivo principal del problema trigonométrico es encontrar las raíces de una ecuación ordinaria o un sistema de ecuaciones. Y aquí te ayudarán las matemáticas habituales de la escuela.
